Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  congrep Unicode version

Theorem congrep 27163
Description: Every integer is congruent to some number in the fundamental domain. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
congrep  |-  ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  ->  E. a  e.  ( 0 ... ( A  -  1 ) ) A  ||  ( a  -  N ) )
Distinct variable groups:    A, a    N, a

Proof of Theorem congrep
StepHypRef Expression
1 zmodfz 11007 . . 3  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  A  e.  NN )  ->  ( N  mod  A
)  e.  ( 0 ... ( A  - 
1 ) ) )
21ancoms 439 . 2  |-  ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( N  mod  A
)  e.  ( 0 ... ( A  - 
1 ) ) )
3 nnz 10061 . . . 4  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  ZZ )
43adantr 451 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  ->  A  e.  ZZ )
5 simpr 447 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  ->  N  e.  ZZ )
6 zmodcl 11005 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  A  e.  NN )  ->  ( N  mod  A
)  e.  NN0 )
76ancoms 439 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( N  mod  A
)  e.  NN0 )
87nn0zd 10131 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( N  mod  A
)  e.  ZZ )
9 zre 10044 . . . . 5  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  RR )
10 nnrp 10379 . . . . 5  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  RR+ )
11 moddifz 10999 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  RR  /\  A  e.  RR+ )  -> 
( ( N  -  ( N  mod  A ) )  /  A )  e.  ZZ )
129, 10, 11syl2anr 464 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( N  -  ( N  mod  A ) )  /  A )  e.  ZZ )
13 nnne0 9794 . . . . . 6  |-  ( A  e.  NN  ->  A  =/=  0 )
1413adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  ->  A  =/=  0 )
155, 8zsubcld 10138 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( N  -  ( N  mod  A ) )  e.  ZZ )
16 dvdsval2 12550 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  A  =/=  0  /\  ( N  -  ( N  mod  A ) )  e.  ZZ )  ->  ( A  ||  ( N  -  ( N  mod  A ) )  <->  ( ( N  -  ( N  mod  A ) )  /  A
)  e.  ZZ ) )
174, 14, 15, 16syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A  ||  ( N  -  ( N  mod  A ) )  <->  ( ( N  -  ( N  mod  A ) )  /  A )  e.  ZZ ) )
1812, 17mpbird 223 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  ->  A  ||  ( N  -  ( N  mod  A ) ) )
19 congsym 27158 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( ( N  mod  A )  e.  ZZ  /\  A  ||  ( N  -  ( N  mod  A ) ) ) )  ->  A  ||  ( ( N  mod  A )  -  N ) )
204, 5, 8, 18, 19syl22anc 1183 . 2  |-  ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  ->  A  ||  ( ( N  mod  A )  -  N ) )
21 oveq1 5881 . . . 4  |-  ( a  =  ( N  mod  A )  ->  ( a  -  N )  =  ( ( N  mod  A
)  -  N ) )
2221breq2d 4051 . . 3  |-  ( a  =  ( N  mod  A )  ->  ( A  ||  ( a  -  N
)  <->  A  ||  ( ( N  mod  A )  -  N ) ) )
2322rspcev 2897 . 2  |-  ( ( ( N  mod  A
)  e.  ( 0 ... ( A  - 
1 ) )  /\  A  ||  ( ( N  mod  A )  -  N ) )  ->  E. a  e.  (
0 ... ( A  - 
1 ) ) A 
||  ( a  -  N ) )
242, 20, 23syl2anc 642 1  |-  ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  ->  E. a  e.  ( 0 ... ( A  -  1 ) ) A  ||  ( a  -  N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   E.wrex 2557   class class class wbr 4039  (class class class)co 5874   RRcr 8752   0cc0 8753   1c1 8754    - cmin 9053    / cdiv 9439   NNcn 9762   NN0cn0 9981   ZZcz 10040   RR+crp 10370   ...cfz 10798    mod cmo 10989    || cdivides 12547
This theorem is referenced by:  acongrep  27170
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-rp 10371  df-fz 10799  df-fl 10941  df-mod 10990  df-dvds 12548
  Copyright terms: Public domain W3C validator