Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  congrep Structured version   Unicode version

Theorem congrep 27038
Description: Every integer is congruent to some number in the fundamental domain. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
congrep  |-  ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  ->  E. a  e.  ( 0 ... ( A  -  1 ) ) A  ||  ( a  -  N ) )
Distinct variable groups:    A, a    N, a

Proof of Theorem congrep
StepHypRef Expression
1 zmodfz 11268 . . 3  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  A  e.  NN )  ->  ( N  mod  A
)  e.  ( 0 ... ( A  - 
1 ) ) )
21ancoms 440 . 2  |-  ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( N  mod  A
)  e.  ( 0 ... ( A  - 
1 ) ) )
3 nnz 10303 . . . 4  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  ZZ )
43adantr 452 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  ->  A  e.  ZZ )
5 simpr 448 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  ->  N  e.  ZZ )
6 zmodcl 11266 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  A  e.  NN )  ->  ( N  mod  A
)  e.  NN0 )
76ancoms 440 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( N  mod  A
)  e.  NN0 )
87nn0zd 10373 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( N  mod  A
)  e.  ZZ )
9 zre 10286 . . . . 5  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  RR )
10 nnrp 10621 . . . . 5  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  RR+ )
11 moddifz 11260 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  RR  /\  A  e.  RR+ )  -> 
( ( N  -  ( N  mod  A ) )  /  A )  e.  ZZ )
129, 10, 11syl2anr 465 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( N  -  ( N  mod  A ) )  /  A )  e.  ZZ )
13 nnne0 10032 . . . . . 6  |-  ( A  e.  NN  ->  A  =/=  0 )
1413adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  ->  A  =/=  0 )
155, 8zsubcld 10380 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( N  -  ( N  mod  A ) )  e.  ZZ )
16 dvdsval2 12855 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  A  =/=  0  /\  ( N  -  ( N  mod  A ) )  e.  ZZ )  ->  ( A  ||  ( N  -  ( N  mod  A ) )  <->  ( ( N  -  ( N  mod  A ) )  /  A
)  e.  ZZ ) )
174, 14, 15, 16syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A  ||  ( N  -  ( N  mod  A ) )  <->  ( ( N  -  ( N  mod  A ) )  /  A )  e.  ZZ ) )
1812, 17mpbird 224 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  ->  A  ||  ( N  -  ( N  mod  A ) ) )
19 congsym 27033 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( ( N  mod  A )  e.  ZZ  /\  A  ||  ( N  -  ( N  mod  A ) ) ) )  ->  A  ||  ( ( N  mod  A )  -  N ) )
204, 5, 8, 18, 19syl22anc 1185 . 2  |-  ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  ->  A  ||  ( ( N  mod  A )  -  N ) )
21 oveq1 6088 . . . 4  |-  ( a  =  ( N  mod  A )  ->  ( a  -  N )  =  ( ( N  mod  A
)  -  N ) )
2221breq2d 4224 . . 3  |-  ( a  =  ( N  mod  A )  ->  ( A  ||  ( a  -  N
)  <->  A  ||  ( ( N  mod  A )  -  N ) ) )
2322rspcev 3052 . 2  |-  ( ( ( N  mod  A
)  e.  ( 0 ... ( A  - 
1 ) )  /\  A  ||  ( ( N  mod  A )  -  N ) )  ->  E. a  e.  (
0 ... ( A  - 
1 ) ) A 
||  ( a  -  N ) )
242, 20, 23syl2anc 643 1  |-  ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  ->  E. a  e.  ( 0 ... ( A  -  1 ) ) A  ||  ( a  -  N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2599   E.wrex 2706   class class class wbr 4212  (class class class)co 6081   RRcr 8989   0cc0 8990   1c1 8991    - cmin 9291    / cdiv 9677   NNcn 10000   NN0cn0 10221   ZZcz 10282   RR+crp 10612   ...cfz 11043    mod cmo 11250    || cdivides 12852
This theorem is referenced by:  acongrep  27045
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-sup 7446  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-rp 10613  df-fz 11044  df-fl 11202  df-mod 11251  df-dvds 12853
  Copyright terms: Public domain W3C validator