Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  congrep Unicode version

Theorem congrep 27060
Description: Every integer is congruent to some number in the fundamental domain. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
congrep  |-  ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  ->  E. a  e.  ( 0 ... ( A  -  1 ) ) A  ||  ( a  -  N ) )
Distinct variable groups:    A, a    N, a

Proof of Theorem congrep
StepHypRef Expression
1 zmodfz 10991 . . 3  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  A  e.  NN )  ->  ( N  mod  A
)  e.  ( 0 ... ( A  - 
1 ) ) )
21ancoms 439 . 2  |-  ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( N  mod  A
)  e.  ( 0 ... ( A  - 
1 ) ) )
3 nnz 10045 . . . 4  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  ZZ )
43adantr 451 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  ->  A  e.  ZZ )
5 simpr 447 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  ->  N  e.  ZZ )
6 zmodcl 10989 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  A  e.  NN )  ->  ( N  mod  A
)  e.  NN0 )
76ancoms 439 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( N  mod  A
)  e.  NN0 )
87nn0zd 10115 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( N  mod  A
)  e.  ZZ )
9 zre 10028 . . . . 5  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  RR )
10 nnrp 10363 . . . . 5  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  RR+ )
11 moddifz 10983 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  RR  /\  A  e.  RR+ )  -> 
( ( N  -  ( N  mod  A ) )  /  A )  e.  ZZ )
129, 10, 11syl2anr 464 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( N  -  ( N  mod  A ) )  /  A )  e.  ZZ )
13 nnne0 9778 . . . . . 6  |-  ( A  e.  NN  ->  A  =/=  0 )
1413adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  ->  A  =/=  0 )
155, 8zsubcld 10122 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( N  -  ( N  mod  A ) )  e.  ZZ )
16 dvdsval2 12534 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  A  =/=  0  /\  ( N  -  ( N  mod  A ) )  e.  ZZ )  ->  ( A  ||  ( N  -  ( N  mod  A ) )  <->  ( ( N  -  ( N  mod  A ) )  /  A
)  e.  ZZ ) )
174, 14, 15, 16syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A  ||  ( N  -  ( N  mod  A ) )  <->  ( ( N  -  ( N  mod  A ) )  /  A )  e.  ZZ ) )
1812, 17mpbird 223 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  ->  A  ||  ( N  -  ( N  mod  A ) ) )
19 congsym 27055 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( ( N  mod  A )  e.  ZZ  /\  A  ||  ( N  -  ( N  mod  A ) ) ) )  ->  A  ||  ( ( N  mod  A )  -  N ) )
204, 5, 8, 18, 19syl22anc 1183 . 2  |-  ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  ->  A  ||  ( ( N  mod  A )  -  N ) )
21 oveq1 5865 . . . 4  |-  ( a  =  ( N  mod  A )  ->  ( a  -  N )  =  ( ( N  mod  A
)  -  N ) )
2221breq2d 4035 . . 3  |-  ( a  =  ( N  mod  A )  ->  ( A  ||  ( a  -  N
)  <->  A  ||  ( ( N  mod  A )  -  N ) ) )
2322rspcev 2884 . 2  |-  ( ( ( N  mod  A
)  e.  ( 0 ... ( A  - 
1 ) )  /\  A  ||  ( ( N  mod  A )  -  N ) )  ->  E. a  e.  (
0 ... ( A  - 
1 ) ) A 
||  ( a  -  N ) )
242, 20, 23syl2anc 642 1  |-  ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  ->  E. a  e.  ( 0 ... ( A  -  1 ) ) A  ||  ( a  -  N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   E.wrex 2544   class class class wbr 4023  (class class class)co 5858   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    - cmin 9037    / cdiv 9423   NNcn 9746   NN0cn0 9965   ZZcz 10024   RR+crp 10354   ...cfz 10782    mod cmo 10973    || cdivides 12531
This theorem is referenced by:  acongrep  27067
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-rp 10355  df-fz 10783  df-fl 10925  df-mod 10974  df-dvds 12532
  Copyright terms: Public domain W3C validator