MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  conhmph Unicode version

Theorem conhmph 17480
Description: Connectedness is a topological property. (Contributed by Jeff Hankins, 3-Jul-2009.)
Assertion
Ref Expression
conhmph  |-  ( J  ~=  K  ->  ( J  e.  Con  ->  K  e.  Con ) )

Proof of Theorem conhmph
Dummy variable  f is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hmph 17467 . 2  |-  ( J  ~=  K  <->  ( J  Homeo  K )  =/=  (/) )
2 n0 3464 . . 3  |-  ( ( J  Homeo  K )  =/=  (/)  <->  E. f  f  e.  ( J  Homeo  K ) )
3 eqid 2283 . . . . . . 7  |-  U. J  =  U. J
4 eqid 2283 . . . . . . 7  |-  U. K  =  U. K
53, 4hmeof1o 17455 . . . . . 6  |-  ( f  e.  ( J  Homeo  K )  ->  f : U. J -1-1-onto-> U. K )
6 f1ofo 5479 . . . . . 6  |-  ( f : U. J -1-1-onto-> U. K  ->  f : U. J -onto-> U. K )
75, 6syl 15 . . . . 5  |-  ( f  e.  ( J  Homeo  K )  ->  f : U. J -onto-> U. K )
8 hmeocn 17451 . . . . 5  |-  ( f  e.  ( J  Homeo  K )  ->  f  e.  ( J  Cn  K
) )
94cnconn 17148 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Con  /\  f : U. J -onto-> U. K  /\  f  e.  ( J  Cn  K ) )  ->  K  e.  Con )
1093expb 1152 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Con  /\  ( f : U. J -onto-> U. K  /\  f  e.  ( J  Cn  K
) ) )  ->  K  e.  Con )
1110expcom 424 . . . . 5  |-  ( ( f : U. J -onto-> U. K  /\  f  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  ( J  e.  Con  ->  K  e.  Con ) )
127, 8, 11syl2anc 642 . . . 4  |-  ( f  e.  ( J  Homeo  K )  ->  ( J  e.  Con  ->  K  e.  Con ) )
1312exlimiv 1666 . . 3  |-  ( E. f  f  e.  ( J  Homeo  K )  ->  ( J  e.  Con  ->  K  e.  Con )
)
142, 13sylbi 187 . 2  |-  ( ( J  Homeo  K )  =/=  (/)  ->  ( J  e.  Con  ->  K  e.  Con ) )
151, 14sylbi 187 1  |-  ( J  ~=  K  ->  ( J  e.  Con  ->  K  e.  Con ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358   E.wex 1528    e. wcel 1684    =/= wne 2446   (/)c0 3455   U.cuni 3827   class class class wbr 4023   -onto->wfo 5253   -1-1-onto->wf1o 5254  (class class class)co 5858    Cn ccn 16954   Conccon 17137    Homeo chmeo 17444    ~= chmph 17445
This theorem is referenced by:  xrcon  18447
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-suc 4398  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-1o 6479  df-map 6774  df-top 16636  df-topon 16639  df-cld 16756  df-cn 16957  df-con 17138  df-hmeo 17446  df-hmph 17447
  Copyright terms: Public domain W3C validator