MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  conhmph Unicode version

Theorem conhmph 17742
Description: Connectedness is a topological property. (Contributed by Jeff Hankins, 3-Jul-2009.)
Assertion
Ref Expression
conhmph  |-  ( J  ~=  K  ->  ( J  e.  Con  ->  K  e.  Con ) )

Proof of Theorem conhmph
Dummy variable  f is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hmph 17729 . 2  |-  ( J  ~=  K  <->  ( J  Homeo  K )  =/=  (/) )
2 n0 3580 . . 3  |-  ( ( J  Homeo  K )  =/=  (/)  <->  E. f  f  e.  ( J  Homeo  K ) )
3 eqid 2387 . . . . . . 7  |-  U. J  =  U. J
4 eqid 2387 . . . . . . 7  |-  U. K  =  U. K
53, 4hmeof1o 17717 . . . . . 6  |-  ( f  e.  ( J  Homeo  K )  ->  f : U. J -1-1-onto-> U. K )
6 f1ofo 5621 . . . . . 6  |-  ( f : U. J -1-1-onto-> U. K  ->  f : U. J -onto-> U. K )
75, 6syl 16 . . . . 5  |-  ( f  e.  ( J  Homeo  K )  ->  f : U. J -onto-> U. K )
8 hmeocn 17713 . . . . 5  |-  ( f  e.  ( J  Homeo  K )  ->  f  e.  ( J  Cn  K
) )
94cnconn 17406 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Con  /\  f : U. J -onto-> U. K  /\  f  e.  ( J  Cn  K ) )  ->  K  e.  Con )
1093expb 1154 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Con  /\  ( f : U. J -onto-> U. K  /\  f  e.  ( J  Cn  K
) ) )  ->  K  e.  Con )
1110expcom 425 . . . . 5  |-  ( ( f : U. J -onto-> U. K  /\  f  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  ( J  e.  Con  ->  K  e.  Con ) )
127, 8, 11syl2anc 643 . . . 4  |-  ( f  e.  ( J  Homeo  K )  ->  ( J  e.  Con  ->  K  e.  Con ) )
1312exlimiv 1641 . . 3  |-  ( E. f  f  e.  ( J  Homeo  K )  ->  ( J  e.  Con  ->  K  e.  Con )
)
142, 13sylbi 188 . 2  |-  ( ( J  Homeo  K )  =/=  (/)  ->  ( J  e.  Con  ->  K  e.  Con ) )
151, 14sylbi 188 1  |-  ( J  ~=  K  ->  ( J  e.  Con  ->  K  e.  Con ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359   E.wex 1547    e. wcel 1717    =/= wne 2550   (/)c0 3571   U.cuni 3957   class class class wbr 4153   -onto->wfo 5392   -1-1-onto->wf1o 5393  (class class class)co 6020    Cn ccn 17210   Conccon 17395    Homeo chmeo 17706    ~= chmph 17707
This theorem is referenced by:  xrcon  18845
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-ral 2654  df-rex 2655  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-op 3766  df-uni 3958  df-iun 4037  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-id 4439  df-suc 4528  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-1st 6288  df-2nd 6289  df-1o 6660  df-map 6956  df-top 16886  df-topon 16889  df-cld 17006  df-cn 17213  df-con 17396  df-hmeo 17708  df-hmph 17709
  Copyright terms: Public domain W3C validator