MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  conjghm Structured version   Unicode version

Theorem conjghm 15036
Description: Conjugation is an automorphism of the group. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
conjghm.x  |-  X  =  ( Base `  G
)
conjghm.p  |-  .+  =  ( +g  `  G )
conjghm.m  |-  .-  =  ( -g `  G )
conjghm.f  |-  F  =  ( x  e.  X  |->  ( ( A  .+  x )  .-  A
) )
Assertion
Ref Expression
conjghm  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  ( F  e.  ( G  GrpHom  G )  /\  F : X -1-1-onto-> X ) )
Distinct variable groups:    x,  .-    x,  .+    x, A    x, G    x, X
Allowed substitution hint:    F( x)

Proof of Theorem conjghm
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 conjghm.x . . 3  |-  X  =  ( Base `  G
)
2 conjghm.p . . 3  |-  .+  =  ( +g  `  G )
3 simpl 444 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  G  e.  Grp )
43adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  /\  x  e.  X
)  ->  G  e.  Grp )
51, 2grpcl 14818 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  x  e.  X )  ->  ( A  .+  x
)  e.  X )
653expa 1153 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  /\  x  e.  X
)  ->  ( A  .+  x )  e.  X
)
7 simplr 732 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  /\  x  e.  X
)  ->  A  e.  X )
8 conjghm.m . . . . . 6  |-  .-  =  ( -g `  G )
91, 8grpsubcl 14869 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( A  .+  x )  e.  X  /\  A  e.  X )  ->  (
( A  .+  x
)  .-  A )  e.  X )
104, 6, 7, 9syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  /\  x  e.  X
)  ->  ( ( A  .+  x )  .-  A )  e.  X
)
11 conjghm.f . . . 4  |-  F  =  ( x  e.  X  |->  ( ( A  .+  x )  .-  A
) )
1210, 11fmptd 5893 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  F : X --> X )
133adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  /\  ( y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  ->  G  e.  Grp )
14 simplr 732 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  /\  ( y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  ->  A  e.  X )
15 simprl 733 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  /\  ( y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
y  e.  X )
161, 2grpcl 14818 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( A  .+  y
)  e.  X )
1713, 14, 15, 16syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  /\  ( y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( A  .+  y
)  e.  X )
181, 8grpsubcl 14869 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( A  .+  y )  e.  X  /\  A  e.  X )  ->  (
( A  .+  y
)  .-  A )  e.  X )
1913, 17, 14, 18syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  /\  ( y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( ( A  .+  y )  .-  A
)  e.  X )
20 simprr 734 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  /\  ( y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
z  e.  X )
211, 8grpsubcl 14869 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  X  /\  A  e.  X )  ->  ( z  .-  A
)  e.  X )
2213, 20, 14, 21syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  /\  ( y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( z  .-  A
)  e.  X )
231, 2grpass 14819 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( ( ( A 
.+  y )  .-  A )  e.  X  /\  A  e.  X  /\  ( z  .-  A
)  e.  X ) )  ->  ( (
( ( A  .+  y )  .-  A
)  .+  A )  .+  ( z  .-  A
) )  =  ( ( ( A  .+  y )  .-  A
)  .+  ( A  .+  ( z  .-  A
) ) ) )
2413, 19, 14, 22, 23syl13anc 1186 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  /\  ( y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( ( ( ( A  .+  y ) 
.-  A )  .+  A )  .+  (
z  .-  A )
)  =  ( ( ( A  .+  y
)  .-  A )  .+  ( A  .+  (
z  .-  A )
) ) )
251, 2, 8grpnpcan 14880 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( A  .+  y )  e.  X  /\  A  e.  X )  ->  (
( ( A  .+  y )  .-  A
)  .+  A )  =  ( A  .+  y ) )
2613, 17, 14, 25syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  /\  ( y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( ( ( A 
.+  y )  .-  A )  .+  A
)  =  ( A 
.+  y ) )
2726oveq1d 6096 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  /\  ( y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( ( ( ( A  .+  y ) 
.-  A )  .+  A )  .+  (
z  .-  A )
)  =  ( ( A  .+  y ) 
.+  ( z  .-  A ) ) )
281, 2, 8grpaddsubass 14878 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( ( A  .+  y )  e.  X  /\  z  e.  X  /\  A  e.  X
) )  ->  (
( ( A  .+  y )  .+  z
)  .-  A )  =  ( ( A 
.+  y )  .+  ( z  .-  A
) ) )
2913, 17, 20, 14, 28syl13anc 1186 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  /\  ( y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( ( ( A 
.+  y )  .+  z )  .-  A
)  =  ( ( A  .+  y ) 
.+  ( z  .-  A ) ) )
301, 2grpass 14819 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( A  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X
) )  ->  (
( A  .+  y
)  .+  z )  =  ( A  .+  ( y  .+  z
) ) )
3113, 14, 15, 20, 30syl13anc 1186 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  /\  ( y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( ( A  .+  y )  .+  z
)  =  ( A 
.+  ( y  .+  z ) ) )
3231oveq1d 6096 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  /\  ( y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( ( ( A 
.+  y )  .+  z )  .-  A
)  =  ( ( A  .+  ( y 
.+  z ) ) 
.-  A ) )
3327, 29, 323eqtr2rd 2475 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  /\  ( y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( ( A  .+  ( y  .+  z
) )  .-  A
)  =  ( ( ( ( A  .+  y )  .-  A
)  .+  A )  .+  ( z  .-  A
) ) )
341, 2, 8grpaddsubass 14878 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( A  e.  X  /\  z  e.  X  /\  A  e.  X
) )  ->  (
( A  .+  z
)  .-  A )  =  ( A  .+  ( z  .-  A
) ) )
3513, 14, 20, 14, 34syl13anc 1186 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  /\  ( y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( ( A  .+  z )  .-  A
)  =  ( A 
.+  ( z  .-  A ) ) )
3635oveq2d 6097 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  /\  ( y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( ( ( A 
.+  y )  .-  A )  .+  (
( A  .+  z
)  .-  A )
)  =  ( ( ( A  .+  y
)  .-  A )  .+  ( A  .+  (
z  .-  A )
) ) )
3724, 33, 363eqtr4d 2478 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  /\  ( y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( ( A  .+  ( y  .+  z
) )  .-  A
)  =  ( ( ( A  .+  y
)  .-  A )  .+  ( ( A  .+  z )  .-  A
) ) )
381, 2grpcl 14818 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X )  ->  ( y  .+  z
)  e.  X )
3913, 15, 20, 38syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  /\  ( y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( y  .+  z
)  e.  X )
40 oveq2 6089 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( y  .+  z )  ->  ( A  .+  x )  =  ( A  .+  (
y  .+  z )
) )
4140oveq1d 6096 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( y  .+  z )  ->  (
( A  .+  x
)  .-  A )  =  ( ( A 
.+  ( y  .+  z ) )  .-  A ) )
42 ovex 6106 . . . . . 6  |-  ( ( A  .+  ( y 
.+  z ) ) 
.-  A )  e. 
_V
4341, 11, 42fvmpt 5806 . . . . 5  |-  ( ( y  .+  z )  e.  X  ->  ( F `  ( y  .+  z ) )  =  ( ( A  .+  ( y  .+  z
) )  .-  A
) )
4439, 43syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  /\  ( y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( F `  (
y  .+  z )
)  =  ( ( A  .+  ( y 
.+  z ) ) 
.-  A ) )
45 oveq2 6089 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  ( A  .+  x )  =  ( A  .+  y
) )
4645oveq1d 6096 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  (
( A  .+  x
)  .-  A )  =  ( ( A 
.+  y )  .-  A ) )
47 ovex 6106 . . . . . . 7  |-  ( ( A  .+  y ) 
.-  A )  e. 
_V
4846, 11, 47fvmpt 5806 . . . . . 6  |-  ( y  e.  X  ->  ( F `  y )  =  ( ( A 
.+  y )  .-  A ) )
4948ad2antrl 709 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  /\  ( y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( F `  y
)  =  ( ( A  .+  y ) 
.-  A ) )
50 oveq2 6089 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  z  ->  ( A  .+  x )  =  ( A  .+  z
) )
5150oveq1d 6096 . . . . . . 7  |-  ( x  =  z  ->  (
( A  .+  x
)  .-  A )  =  ( ( A 
.+  z )  .-  A ) )
52 ovex 6106 . . . . . . 7  |-  ( ( A  .+  z ) 
.-  A )  e. 
_V
5351, 11, 52fvmpt 5806 . . . . . 6  |-  ( z  e.  X  ->  ( F `  z )  =  ( ( A 
.+  z )  .-  A ) )
5453ad2antll 710 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  /\  ( y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( F `  z
)  =  ( ( A  .+  z ) 
.-  A ) )
5549, 54oveq12d 6099 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  /\  ( y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( ( F `  y )  .+  ( F `  z )
)  =  ( ( ( A  .+  y
)  .-  A )  .+  ( ( A  .+  z )  .-  A
) ) )
5637, 44, 553eqtr4d 2478 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  /\  ( y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( F `  (
y  .+  z )
)  =  ( ( F `  y ) 
.+  ( F `  z ) ) )
571, 1, 2, 2, 3, 3, 12, 56isghmd 15015 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  F  e.  ( G 
GrpHom  G ) )
583adantr 452 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  /\  y  e.  X
)  ->  G  e.  Grp )
59 eqid 2436 . . . . . 6  |-  ( inv g `  G )  =  ( inv g `  G )
601, 59grpinvcl 14850 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  ( ( inv g `  G ) `  A
)  e.  X )
6160adantr 452 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  /\  y  e.  X
)  ->  ( ( inv g `  G ) `
 A )  e.  X )
62 simpr 448 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  /\  y  e.  X
)  ->  y  e.  X )
63 simplr 732 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  /\  y  e.  X
)  ->  A  e.  X )
641, 2grpcl 14818 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  y  e.  X  /\  A  e.  X )  ->  ( y  .+  A
)  e.  X )
6558, 62, 63, 64syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  /\  y  e.  X
)  ->  ( y  .+  A )  e.  X
)
661, 2grpcl 14818 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( ( inv g `  G ) `  A
)  e.  X  /\  ( y  .+  A
)  e.  X )  ->  ( ( ( inv g `  G
) `  A )  .+  ( y  .+  A
) )  e.  X
)
6758, 61, 65, 66syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  /\  y  e.  X
)  ->  ( (
( inv g `  G ) `  A
)  .+  ( y  .+  A ) )  e.  X )
683adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  ->  G  e.  Grp )
6965adantrl 697 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( y  .+  A
)  e.  X )
706adantrr 698 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( A  .+  x
)  e.  X )
7160adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( ( inv g `  G ) `  A
)  e.  X )
721, 2grplcan 14857 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( ( y  .+  A )  e.  X  /\  ( A  .+  x
)  e.  X  /\  ( ( inv g `  G ) `  A
)  e.  X ) )  ->  ( (
( ( inv g `  G ) `  A
)  .+  ( y  .+  A ) )  =  ( ( ( inv g `  G ) `
 A )  .+  ( A  .+  x ) )  <->  ( y  .+  A )  =  ( A  .+  x ) ) )
7368, 69, 70, 71, 72syl13anc 1186 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( ( ( ( inv g `  G
) `  A )  .+  ( y  .+  A
) )  =  ( ( ( inv g `  G ) `  A
)  .+  ( A  .+  x ) )  <->  ( y  .+  A )  =  ( A  .+  x ) ) )
74 eqid 2436 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
751, 2, 74, 59grplinv 14851 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  ( ( ( inv g `  G ) `
 A )  .+  A )  =  ( 0g `  G ) )
7675adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( ( ( inv g `  G ) `
 A )  .+  A )  =  ( 0g `  G ) )
7776oveq1d 6096 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( ( ( ( inv g `  G
) `  A )  .+  A )  .+  x
)  =  ( ( 0g `  G ) 
.+  x ) )
78 simplr 732 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  ->  A  e.  X )
79 simprl 733 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  ->  x  e.  X )
801, 2grpass 14819 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( ( ( inv g `  G ) `
 A )  e.  X  /\  A  e.  X  /\  x  e.  X ) )  -> 
( ( ( ( inv g `  G
) `  A )  .+  A )  .+  x
)  =  ( ( ( inv g `  G ) `  A
)  .+  ( A  .+  x ) ) )
8168, 71, 78, 79, 80syl13anc 1186 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( ( ( ( inv g `  G
) `  A )  .+  A )  .+  x
)  =  ( ( ( inv g `  G ) `  A
)  .+  ( A  .+  x ) ) )
821, 2, 74grplid 14835 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  X )  ->  ( ( 0g `  G )  .+  x
)  =  x )
8382ad2ant2r 728 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( ( 0g `  G )  .+  x
)  =  x )
8477, 81, 833eqtr3rd 2477 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  ->  x  =  ( (
( inv g `  G ) `  A
)  .+  ( A  .+  x ) ) )
8584eqeq2d 2447 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( ( ( ( inv g `  G
) `  A )  .+  ( y  .+  A
) )  =  x  <-> 
( ( ( inv g `  G ) `
 A )  .+  ( y  .+  A
) )  =  ( ( ( inv g `  G ) `  A
)  .+  ( A  .+  x ) ) ) )
86 simprr 734 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
y  e.  X )
871, 2, 8grpsubadd 14876 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( ( A  .+  x )  e.  X  /\  A  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
( ( A  .+  x )  .-  A
)  =  y  <->  ( y  .+  A )  =  ( A  .+  x ) ) )
8868, 70, 78, 86, 87syl13anc 1186 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( ( ( A 
.+  x )  .-  A )  =  y  <-> 
( y  .+  A
)  =  ( A 
.+  x ) ) )
8973, 85, 883bitr4d 277 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( ( ( ( inv g `  G
) `  A )  .+  ( y  .+  A
) )  =  x  <-> 
( ( A  .+  x )  .-  A
)  =  y ) )
90 eqcom 2438 . . . 4  |-  ( x  =  ( ( ( inv g `  G
) `  A )  .+  ( y  .+  A
) )  <->  ( (
( inv g `  G ) `  A
)  .+  ( y  .+  A ) )  =  x )
91 eqcom 2438 . . . 4  |-  ( y  =  ( ( A 
.+  x )  .-  A )  <->  ( ( A  .+  x )  .-  A )  =  y )
9289, 90, 913bitr4g 280 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( x  =  ( ( ( inv g `  G ) `  A
)  .+  ( y  .+  A ) )  <->  y  =  ( ( A  .+  x )  .-  A
) ) )
9311, 10, 67, 92f1o2d 6296 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  F : X -1-1-onto-> X )
9457, 93jca 519 1  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  ( F  e.  ( G  GrpHom  G )  /\  F : X -1-1-onto-> X ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    e. cmpt 4266   -1-1-onto->wf1o 5453   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   Basecbs 13469   +g cplusg 13529   0gc0g 13723   Grpcgrp 14685   inv gcminusg 14686   -gcsg 14688    GrpHom cghm 15003
This theorem is referenced by:  conjsubg  15037  conjsubgen  15038
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-0g 13727  df-mnd 14690  df-grp 14812  df-minusg 14813  df-sbg 14814  df-ghm 15004
  Copyright terms: Public domain W3C validator