Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  conjghm Structured version   Unicode version

Theorem conjghm 15036
 Description: Conjugation is an automorphism of the group. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
conjghm.x
conjghm.p
conjghm.m
conjghm.f
Assertion
Ref Expression
conjghm
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem conjghm
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 conjghm.x . . 3
2 conjghm.p . . 3
3 simpl 444 . . 3
43adantr 452 . . . . 5
51, 2grpcl 14818 . . . . . 6
653expa 1153 . . . . 5
7 simplr 732 . . . . 5
8 conjghm.m . . . . . 6
91, 8grpsubcl 14869 . . . . 5
104, 6, 7, 9syl3anc 1184 . . . 4
11 conjghm.f . . . 4
1210, 11fmptd 5893 . . 3
133adantr 452 . . . . . 6
14 simplr 732 . . . . . . . 8
15 simprl 733 . . . . . . . 8
161, 2grpcl 14818 . . . . . . . 8
1713, 14, 15, 16syl3anc 1184 . . . . . . 7
181, 8grpsubcl 14869 . . . . . . 7
1913, 17, 14, 18syl3anc 1184 . . . . . 6
20 simprr 734 . . . . . . 7
211, 8grpsubcl 14869 . . . . . . 7
2213, 20, 14, 21syl3anc 1184 . . . . . 6
231, 2grpass 14819 . . . . . 6
2413, 19, 14, 22, 23syl13anc 1186 . . . . 5
251, 2, 8grpnpcan 14880 . . . . . . . 8
2613, 17, 14, 25syl3anc 1184 . . . . . . 7
2726oveq1d 6096 . . . . . 6
281, 2, 8grpaddsubass 14878 . . . . . . 7
2913, 17, 20, 14, 28syl13anc 1186 . . . . . 6
301, 2grpass 14819 . . . . . . . 8
3113, 14, 15, 20, 30syl13anc 1186 . . . . . . 7
3231oveq1d 6096 . . . . . 6
3327, 29, 323eqtr2rd 2475 . . . . 5
341, 2, 8grpaddsubass 14878 . . . . . . 7
3513, 14, 20, 14, 34syl13anc 1186 . . . . . 6
3635oveq2d 6097 . . . . 5
3724, 33, 363eqtr4d 2478 . . . 4
381, 2grpcl 14818 . . . . . 6
3913, 15, 20, 38syl3anc 1184 . . . . 5
40 oveq2 6089 . . . . . . 7
4140oveq1d 6096 . . . . . 6
42 ovex 6106 . . . . . 6
4341, 11, 42fvmpt 5806 . . . . 5
4439, 43syl 16 . . . 4
45 oveq2 6089 . . . . . . . 8
4645oveq1d 6096 . . . . . . 7
47 ovex 6106 . . . . . . 7
4846, 11, 47fvmpt 5806 . . . . . 6
4948ad2antrl 709 . . . . 5
50 oveq2 6089 . . . . . . . 8
5150oveq1d 6096 . . . . . . 7
52 ovex 6106 . . . . . . 7
5351, 11, 52fvmpt 5806 . . . . . 6
5453ad2antll 710 . . . . 5
5549, 54oveq12d 6099 . . . 4
5637, 44, 553eqtr4d 2478 . . 3
571, 1, 2, 2, 3, 3, 12, 56isghmd 15015 . 2
583adantr 452 . . . 4
59 eqid 2436 . . . . . 6
601, 59grpinvcl 14850 . . . . 5
6160adantr 452 . . . 4
62 simpr 448 . . . . 5
63 simplr 732 . . . . 5
641, 2grpcl 14818 . . . . 5
6558, 62, 63, 64syl3anc 1184 . . . 4
661, 2grpcl 14818 . . . 4
6758, 61, 65, 66syl3anc 1184 . . 3
683adantr 452 . . . . . 6
6965adantrl 697 . . . . . 6
706adantrr 698 . . . . . 6
7160adantr 452 . . . . . 6
721, 2grplcan 14857 . . . . . 6
7368, 69, 70, 71, 72syl13anc 1186 . . . . 5
74 eqid 2436 . . . . . . . . . 10
751, 2, 74, 59grplinv 14851 . . . . . . . . 9
7675adantr 452 . . . . . . . 8
7776oveq1d 6096 . . . . . . 7
78 simplr 732 . . . . . . . 8
79 simprl 733 . . . . . . . 8
801, 2grpass 14819 . . . . . . . 8
8168, 71, 78, 79, 80syl13anc 1186 . . . . . . 7
821, 2, 74grplid 14835 . . . . . . . 8
8382ad2ant2r 728 . . . . . . 7
8477, 81, 833eqtr3rd 2477 . . . . . 6
8584eqeq2d 2447 . . . . 5
86 simprr 734 . . . . . 6
871, 2, 8grpsubadd 14876 . . . . . 6
8868, 70, 78, 86, 87syl13anc 1186 . . . . 5
8973, 85, 883bitr4d 277 . . . 4
90 eqcom 2438 . . . 4
91 eqcom 2438 . . . 4
9289, 90, 913bitr4g 280 . . 3
9311, 10, 67, 92f1o2d 6296 . 2
9457, 93jca 519 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   wceq 1652   wcel 1725   cmpt 4266  wf1o 5453  cfv 5454  (class class class)co 6081  cbs 13469   cplusg 13529  c0g 13723  cgrp 14685  cminusg 14686  csg 14688   cghm 15003 This theorem is referenced by:  conjsubg  15037  conjsubgen  15038 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-0g 13727  df-mnd 14690  df-grp 14812  df-minusg 14813  df-sbg 14814  df-ghm 15004
 Copyright terms: Public domain W3C validator