Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  conndisj Structured version   Unicode version

Theorem conndisj 17480
 Description: If a topology is connected, its underlying set can't be partitioned into two non-empty non-overlapping open sets. (Contributed by FL, 16-Nov-2008.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 10-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
iscon.1
conclo.1
conclo.2
conclo.3
conndisj.4
conndisj.5
conndisj.6
Assertion
Ref Expression
conndisj

Proof of Theorem conndisj
StepHypRef Expression
1 conclo.3 . 2
2 conclo.2 . . . . . . 7
3 elssuni 4044 . . . . . . 7
42, 3syl 16 . . . . . 6
5 iscon.1 . . . . . 6
64, 5syl6sseqr 3396 . . . . 5
7 conndisj.6 . . . . 5
8 uneqdifeq 3717 . . . . 5
96, 7, 8syl2anc 644 . . . 4
10 simpr 449 . . . . . . 7
1110difeq2d 3466 . . . . . 6
12 dfss4 3576 . . . . . . . 8
136, 12sylib 190 . . . . . . 7
1413adantr 453 . . . . . 6
15 conclo.1 . . . . . . . . . 10
1615adantr 453 . . . . . . . . 9
17 conndisj.4 . . . . . . . . . 10
1817adantr 453 . . . . . . . . 9
19 conndisj.5 . . . . . . . . . 10
2019adantr 453 . . . . . . . . 9
215iscon 17477 . . . . . . . . . . . . . 14
2221simplbi 448 . . . . . . . . . . . . 13
2315, 22syl 16 . . . . . . . . . . . 12
245opncld 17098 . . . . . . . . . . . 12
2523, 2, 24syl2anc 644 . . . . . . . . . . 11
2625adantr 453 . . . . . . . . . 10
2710, 26eqeltrrd 2512 . . . . . . . . 9
285, 16, 18, 20, 27conclo 17479 . . . . . . . 8
2928difeq2d 3466 . . . . . . 7
30 difid 3697 . . . . . . 7
3129, 30syl6eq 2485 . . . . . 6
3211, 14, 313eqtr3d 2477 . . . . 5
3332ex 425 . . . 4
349, 33sylbid 208 . . 3
3534necon3d 2640 . 2
361, 35mpd 15 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 178   wa 360   wceq 1653   wcel 1726   wne 2600   cdif 3318   cun 3319   cin 3320   wss 3321  c0 3629  cpr 3816  cuni 4016  cfv 5455  ctop 16959  ccld 17081  ccon 17475 This theorem is referenced by:  dfcon2  17483 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-ral 2711  df-rex 2712  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-op 3824  df-uni 4017  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-id 4499  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fv 5463  df-top 16964  df-cld 17084  df-con 17476
 Copyright terms: Public domain W3C validator