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Theorem conpcon 23781
Description: A connected and locally path-connected space is path-connected. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jul-2015.)
Assertion
Ref Expression
conpcon  |-  ( ( J  e.  Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  ->  J  e. PCon
)

Proof of Theorem conpcon
Dummy variables  x  f  y  z  g  h  s  u  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 contop 17159 . . 3  |-  ( J  e.  Con  ->  J  e.  Top )
21adantr 451 . 2  |-  ( ( J  e.  Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  ->  J  e. 
Top )
3 eqid 2296 . . . . . 6  |-  U. J  =  U. J
4 simpll 730 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  x  e.  U. J )  ->  J  e.  Con )
5 inss1 3402 . . . . . . 7  |-  ( J  i^i  ( Clsd `  J
) )  C_  J
6 simplr 731 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  (
x  e.  U. J  /\  z  e.  U. J
) )  ->  J  e. 𝑛Locally PCon )
71ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( J  e.  Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  (
x  e.  U. J  /\  z  e.  U. J
) )  ->  J  e.  Top )
83topopn 16668 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( J  e.  Top  ->  U. J  e.  J )
97, 8syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  (
x  e.  U. J  /\  z  e.  U. J
) )  ->  U. J  e.  J )
10 simprr 733 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  (
x  e.  U. J  /\  z  e.  U. J
) )  ->  z  e.  U. J )
11 nlly2i 17218 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( J  e. 𝑛Locally PCon  /\  U. J  e.  J  /\  z  e. 
U. J )  ->  E. s  e.  ~P  U. J E. u  e.  J  ( z  e.  u  /\  u  C_  s  /\  ( Jt  s )  e. PCon ) )
126, 9, 10, 11syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  (
x  e.  U. J  /\  z  e.  U. J
) )  ->  E. s  e.  ~P  U. J E. u  e.  J  (
z  e.  u  /\  u  C_  s  /\  ( Jt  s )  e. PCon )
)
13 simprr1 1003 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( J  e. 
Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  ( x  e.  U. J  /\  z  e.  U. J ) )  /\  ( s  e.  ~P U. J  /\  ( z  e.  u  /\  u  C_  s  /\  ( Jt  s )  e. PCon ) ) )  ->  z  e.  u )
14 eqeq2 2305 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  =  w  ->  (
( f `  1
)  =  y  <->  ( f `  1 )  =  w ) )
1514anbi2d 684 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  =  w  ->  (
( ( f ` 
0 )  =  x  /\  ( f ` 
1 )  =  y )  <->  ( ( f `
 0 )  =  x  /\  ( f `
 1 )  =  w ) ) )
1615rexbidv 2577 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  w  ->  ( E. f  e.  (
II  Cn  J )
( ( f ` 
0 )  =  x  /\  ( f ` 
1 )  =  y )  <->  E. f  e.  ( II  Cn  J ) ( ( f ` 
0 )  =  x  /\  ( f ` 
1 )  =  w ) ) )
1716elrab 2936 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( w  e.  { y  e. 
U. J  |  E. f  e.  ( II  Cn  J ) ( ( f `  0 )  =  x  /\  (
f `  1 )  =  y ) }  <-> 
( w  e.  U. J  /\  E. f  e.  ( II  Cn  J
) ( ( f `
 0 )  =  x  /\  ( f `
 1 )  =  w ) ) )
1817simprbi 450 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( w  e.  { y  e. 
U. J  |  E. f  e.  ( II  Cn  J ) ( ( f `  0 )  =  x  /\  (
f `  1 )  =  y ) }  ->  E. f  e.  ( II  Cn  J ) ( ( f ` 
0 )  =  x  /\  ( f ` 
1 )  =  w ) )
19 simprr3 1005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( J  e. 
Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  ( x  e.  U. J  /\  z  e.  U. J ) )  /\  ( s  e.  ~P U. J  /\  ( z  e.  u  /\  u  C_  s  /\  ( Jt  s )  e. PCon ) ) )  ->  ( Jt  s
)  e. PCon )
2019adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  ( x  e. 
U. J  /\  z  e.  U. J ) )  /\  ( s  e. 
~P U. J  /\  (
z  e.  u  /\  u  C_  s  /\  ( Jt  s )  e. PCon )
) )  /\  (
( w  e.  u  /\  ( g  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( ( g `
 0 )  =  x  /\  ( g `
 1 )  =  w ) ) )  /\  y  e.  u
) )  ->  ( Jt  s )  e. PCon )
21 simprr2 1004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ( J  e. 
Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  ( x  e.  U. J  /\  z  e.  U. J ) )  /\  ( s  e.  ~P U. J  /\  ( z  e.  u  /\  u  C_  s  /\  ( Jt  s )  e. PCon ) ) )  ->  u  C_  s
)
2221adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  ( x  e. 
U. J  /\  z  e.  U. J ) )  /\  ( s  e. 
~P U. J  /\  (
z  e.  u  /\  u  C_  s  /\  ( Jt  s )  e. PCon )
) )  /\  (
( w  e.  u  /\  ( g  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( ( g `
 0 )  =  x  /\  ( g `
 1 )  =  w ) ) )  /\  y  e.  u
) )  ->  u  C_  s )
23 simprll 738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  ( x  e. 
U. J  /\  z  e.  U. J ) )  /\  ( s  e. 
~P U. J  /\  (
z  e.  u  /\  u  C_  s  /\  ( Jt  s )  e. PCon )
) )  /\  (
( w  e.  u  /\  ( g  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( ( g `
 0 )  =  x  /\  ( g `
 1 )  =  w ) ) )  /\  y  e.  u
) )  ->  w  e.  u )
2422, 23sseldd 3194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  ( x  e. 
U. J  /\  z  e.  U. J ) )  /\  ( s  e. 
~P U. J  /\  (
z  e.  u  /\  u  C_  s  /\  ( Jt  s )  e. PCon )
) )  /\  (
( w  e.  u  /\  ( g  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( ( g `
 0 )  =  x  /\  ( g `
 1 )  =  w ) ) )  /\  y  e.  u
) )  ->  w  e.  s )
257ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  ( x  e. 
U. J  /\  z  e.  U. J ) )  /\  ( s  e. 
~P U. J  /\  (
z  e.  u  /\  u  C_  s  /\  ( Jt  s )  e. PCon )
) )  /\  (
( w  e.  u  /\  ( g  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( ( g `
 0 )  =  x  /\  ( g `
 1 )  =  w ) ) )  /\  y  e.  u
) )  ->  J  e.  Top )
26 elpwi 3646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( s  e.  ~P U. J  ->  s  C_  U. J )
2726ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ( J  e. 
Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  ( x  e.  U. J  /\  z  e.  U. J ) )  /\  ( s  e.  ~P U. J  /\  ( z  e.  u  /\  u  C_  s  /\  ( Jt  s )  e. PCon ) ) )  ->  s  C_  U. J )
2827adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  ( x  e. 
U. J  /\  z  e.  U. J ) )  /\  ( s  e. 
~P U. J  /\  (
z  e.  u  /\  u  C_  s  /\  ( Jt  s )  e. PCon )
) )  /\  (
( w  e.  u  /\  ( g  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( ( g `
 0 )  =  x  /\  ( g `
 1 )  =  w ) ) )  /\  y  e.  u
) )  ->  s  C_ 
U. J )
293restuni 16909 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( J  e.  Top  /\  s  C_  U. J )  ->  s  =  U. ( Jt  s ) )
3025, 28, 29syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  ( x  e. 
U. J  /\  z  e.  U. J ) )  /\  ( s  e. 
~P U. J  /\  (
z  e.  u  /\  u  C_  s  /\  ( Jt  s )  e. PCon )
) )  /\  (
( w  e.  u  /\  ( g  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( ( g `
 0 )  =  x  /\  ( g `
 1 )  =  w ) ) )  /\  y  e.  u
) )  ->  s  =  U. ( Jt  s ) )
3124, 30eleqtrd 2372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  ( x  e. 
U. J  /\  z  e.  U. J ) )  /\  ( s  e. 
~P U. J  /\  (
z  e.  u  /\  u  C_  s  /\  ( Jt  s )  e. PCon )
) )  /\  (
( w  e.  u  /\  ( g  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( ( g `
 0 )  =  x  /\  ( g `
 1 )  =  w ) ) )  /\  y  e.  u
) )  ->  w  e.  U. ( Jt  s ) )
32 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  ( x  e. 
U. J  /\  z  e.  U. J ) )  /\  ( s  e. 
~P U. J  /\  (
z  e.  u  /\  u  C_  s  /\  ( Jt  s )  e. PCon )
) )  /\  (
( w  e.  u  /\  ( g  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( ( g `
 0 )  =  x  /\  ( g `
 1 )  =  w ) ) )  /\  y  e.  u
) )  ->  y  e.  u )
3322, 32sseldd 3194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  ( x  e. 
U. J  /\  z  e.  U. J ) )  /\  ( s  e. 
~P U. J  /\  (
z  e.  u  /\  u  C_  s  /\  ( Jt  s )  e. PCon )
) )  /\  (
( w  e.  u  /\  ( g  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( ( g `
 0 )  =  x  /\  ( g `
 1 )  =  w ) ) )  /\  y  e.  u
) )  ->  y  e.  s )
3433, 30eleqtrd 2372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  ( x  e. 
U. J  /\  z  e.  U. J ) )  /\  ( s  e. 
~P U. J  /\  (
z  e.  u  /\  u  C_  s  /\  ( Jt  s )  e. PCon )
) )  /\  (
( w  e.  u  /\  ( g  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( ( g `
 0 )  =  x  /\  ( g `
 1 )  =  w ) ) )  /\  y  e.  u
) )  ->  y  e.  U. ( Jt  s ) )
35 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  U. ( Jt  s )  =  U. ( Jt  s )
3635pconcn 23770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( Jt  s )  e. PCon  /\  w  e.  U. ( Jt  s )  /\  y  e.  U. ( Jt  s ) )  ->  E. h  e.  ( II  Cn  ( Jt  s ) ) ( ( h `  0
)  =  w  /\  ( h `  1
)  =  y ) )
3720, 31, 34, 36syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  ( x  e. 
U. J  /\  z  e.  U. J ) )  /\  ( s  e. 
~P U. J  /\  (
z  e.  u  /\  u  C_  s  /\  ( Jt  s )  e. PCon )
) )  /\  (
( w  e.  u  /\  ( g  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( ( g `
 0 )  =  x  /\  ( g `
 1 )  =  w ) ) )  /\  y  e.  u
) )  ->  E. h  e.  ( II  Cn  ( Jt  s ) ) ( ( h `  0
)  =  w  /\  ( h `  1
)  =  y ) )
38 simplrl 736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( w  e.  u  /\  ( g  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( ( g `
 0 )  =  x  /\  ( g `
 1 )  =  w ) ) )  /\  y  e.  u
)  ->  g  e.  ( II  Cn  J
) )
3938ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  (
x  e.  U. J  /\  z  e.  U. J
) )  /\  (
s  e.  ~P U. J  /\  ( z  e.  u  /\  u  C_  s  /\  ( Jt  s )  e. PCon ) ) )  /\  ( ( w  e.  u  /\  (
g  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( ( g ` 
0 )  =  x  /\  ( g ` 
1 )  =  w ) ) )  /\  y  e.  u )
)  /\  ( h  e.  ( II  Cn  ( Jt  s ) )  /\  ( ( h ` 
0 )  =  w  /\  ( h ` 
1 )  =  y ) ) )  -> 
g  e.  ( II 
Cn  J ) )
4025adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  (
x  e.  U. J  /\  z  e.  U. J
) )  /\  (
s  e.  ~P U. J  /\  ( z  e.  u  /\  u  C_  s  /\  ( Jt  s )  e. PCon ) ) )  /\  ( ( w  e.  u  /\  (
g  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( ( g ` 
0 )  =  x  /\  ( g ` 
1 )  =  w ) ) )  /\  y  e.  u )
)  /\  ( h  e.  ( II  Cn  ( Jt  s ) )  /\  ( ( h ` 
0 )  =  w  /\  ( h ` 
1 )  =  y ) ) )  ->  J  e.  Top )
41 cnrest2r 17031 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( J  e.  Top  ->  (
II  Cn  ( Jt  s
) )  C_  (
II  Cn  J )
)
4240, 41syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  (
x  e.  U. J  /\  z  e.  U. J
) )  /\  (
s  e.  ~P U. J  /\  ( z  e.  u  /\  u  C_  s  /\  ( Jt  s )  e. PCon ) ) )  /\  ( ( w  e.  u  /\  (
g  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( ( g ` 
0 )  =  x  /\  ( g ` 
1 )  =  w ) ) )  /\  y  e.  u )
)  /\  ( h  e.  ( II  Cn  ( Jt  s ) )  /\  ( ( h ` 
0 )  =  w  /\  ( h ` 
1 )  =  y ) ) )  -> 
( II  Cn  ( Jt  s ) )  C_  ( II  Cn  J
) )
43 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  (
x  e.  U. J  /\  z  e.  U. J
) )  /\  (
s  e.  ~P U. J  /\  ( z  e.  u  /\  u  C_  s  /\  ( Jt  s )  e. PCon ) ) )  /\  ( ( w  e.  u  /\  (
g  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( ( g ` 
0 )  =  x  /\  ( g ` 
1 )  =  w ) ) )  /\  y  e.  u )
)  /\  ( h  e.  ( II  Cn  ( Jt  s ) )  /\  ( ( h ` 
0 )  =  w  /\  ( h ` 
1 )  =  y ) ) )  ->  h  e.  ( II  Cn  ( Jt  s ) ) )
4442, 43sseldd 3194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  (
x  e.  U. J  /\  z  e.  U. J
) )  /\  (
s  e.  ~P U. J  /\  ( z  e.  u  /\  u  C_  s  /\  ( Jt  s )  e. PCon ) ) )  /\  ( ( w  e.  u  /\  (
g  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( ( g ` 
0 )  =  x  /\  ( g ` 
1 )  =  w ) ) )  /\  y  e.  u )
)  /\  ( h  e.  ( II  Cn  ( Jt  s ) )  /\  ( ( h ` 
0 )  =  w  /\  ( h ` 
1 )  =  y ) ) )  ->  h  e.  ( II  Cn  J ) )
45 simplrr 737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( w  e.  u  /\  ( g  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( ( g `
 0 )  =  x  /\  ( g `
 1 )  =  w ) ) )  /\  y  e.  u
)  ->  ( (
g `  0 )  =  x  /\  (
g `  1 )  =  w ) )
4645ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  (
x  e.  U. J  /\  z  e.  U. J
) )  /\  (
s  e.  ~P U. J  /\  ( z  e.  u  /\  u  C_  s  /\  ( Jt  s )  e. PCon ) ) )  /\  ( ( w  e.  u  /\  (
g  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( ( g ` 
0 )  =  x  /\  ( g ` 
1 )  =  w ) ) )  /\  y  e.  u )
)  /\  ( h  e.  ( II  Cn  ( Jt  s ) )  /\  ( ( h ` 
0 )  =  w  /\  ( h ` 
1 )  =  y ) ) )  -> 
( ( g ` 
0 )  =  x  /\  ( g ` 
1 )  =  w ) )
4746simprd 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  (
x  e.  U. J  /\  z  e.  U. J
) )  /\  (
s  e.  ~P U. J  /\  ( z  e.  u  /\  u  C_  s  /\  ( Jt  s )  e. PCon ) ) )  /\  ( ( w  e.  u  /\  (
g  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( ( g ` 
0 )  =  x  /\  ( g ` 
1 )  =  w ) ) )  /\  y  e.  u )
)  /\  ( h  e.  ( II  Cn  ( Jt  s ) )  /\  ( ( h ` 
0 )  =  w  /\  ( h ` 
1 )  =  y ) ) )  -> 
( g `  1
)  =  w )
48 simprrl 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  (
x  e.  U. J  /\  z  e.  U. J
) )  /\  (
s  e.  ~P U. J  /\  ( z  e.  u  /\  u  C_  s  /\  ( Jt  s )  e. PCon ) ) )  /\  ( ( w  e.  u  /\  (
g  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( ( g ` 
0 )  =  x  /\  ( g ` 
1 )  =  w ) ) )  /\  y  e.  u )
)  /\  ( h  e.  ( II  Cn  ( Jt  s ) )  /\  ( ( h ` 
0 )  =  w  /\  ( h ` 
1 )  =  y ) ) )  -> 
( h `  0
)  =  w )
4947, 48eqtr4d 2331 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  (
x  e.  U. J  /\  z  e.  U. J
) )  /\  (
s  e.  ~P U. J  /\  ( z  e.  u  /\  u  C_  s  /\  ( Jt  s )  e. PCon ) ) )  /\  ( ( w  e.  u  /\  (
g  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( ( g ` 
0 )  =  x  /\  ( g ` 
1 )  =  w ) ) )  /\  y  e.  u )
)  /\  ( h  e.  ( II  Cn  ( Jt  s ) )  /\  ( ( h ` 
0 )  =  w  /\  ( h ` 
1 )  =  y ) ) )  -> 
( g `  1
)  =  ( h `
 0 ) )
5039, 44, 49pcocn 18531 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  (
x  e.  U. J  /\  z  e.  U. J
) )  /\  (
s  e.  ~P U. J  /\  ( z  e.  u  /\  u  C_  s  /\  ( Jt  s )  e. PCon ) ) )  /\  ( ( w  e.  u  /\  (
g  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( ( g ` 
0 )  =  x  /\  ( g ` 
1 )  =  w ) ) )  /\  y  e.  u )
)  /\  ( h  e.  ( II  Cn  ( Jt  s ) )  /\  ( ( h ` 
0 )  =  w  /\  ( h ` 
1 )  =  y ) ) )  -> 
( g ( *p
`  J ) h )  e.  ( II 
Cn  J ) )
5139, 44pco0 18528 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  (
x  e.  U. J  /\  z  e.  U. J
) )  /\  (
s  e.  ~P U. J  /\  ( z  e.  u  /\  u  C_  s  /\  ( Jt  s )  e. PCon ) ) )  /\  ( ( w  e.  u  /\  (
g  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( ( g ` 
0 )  =  x  /\  ( g ` 
1 )  =  w ) ) )  /\  y  e.  u )
)  /\  ( h  e.  ( II  Cn  ( Jt  s ) )  /\  ( ( h ` 
0 )  =  w  /\  ( h ` 
1 )  =  y ) ) )  -> 
( ( g ( *p `  J ) h ) `  0
)  =  ( g `
 0 ) )
5246simpld 445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  (
x  e.  U. J  /\  z  e.  U. J
) )  /\  (
s  e.  ~P U. J  /\  ( z  e.  u  /\  u  C_  s  /\  ( Jt  s )  e. PCon ) ) )  /\  ( ( w  e.  u  /\  (
g  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( ( g ` 
0 )  =  x  /\  ( g ` 
1 )  =  w ) ) )  /\  y  e.  u )
)  /\  ( h  e.  ( II  Cn  ( Jt  s ) )  /\  ( ( h ` 
0 )  =  w  /\  ( h ` 
1 )  =  y ) ) )  -> 
( g `  0
)  =  x )
5351, 52eqtrd 2328 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  (
x  e.  U. J  /\  z  e.  U. J
) )  /\  (
s  e.  ~P U. J  /\  ( z  e.  u  /\  u  C_  s  /\  ( Jt  s )  e. PCon ) ) )  /\  ( ( w  e.  u  /\  (
g  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( ( g ` 
0 )  =  x  /\  ( g ` 
1 )  =  w ) ) )  /\  y  e.  u )
)  /\  ( h  e.  ( II  Cn  ( Jt  s ) )  /\  ( ( h ` 
0 )  =  w  /\  ( h ` 
1 )  =  y ) ) )  -> 
( ( g ( *p `  J ) h ) `  0
)  =  x )
5439, 44pco1 18529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  (
x  e.  U. J  /\  z  e.  U. J
) )  /\  (
s  e.  ~P U. J  /\  ( z  e.  u  /\  u  C_  s  /\  ( Jt  s )  e. PCon ) ) )  /\  ( ( w  e.  u  /\  (
g  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( ( g ` 
0 )  =  x  /\  ( g ` 
1 )  =  w ) ) )  /\  y  e.  u )
)  /\  ( h  e.  ( II  Cn  ( Jt  s ) )  /\  ( ( h ` 
0 )  =  w  /\  ( h ` 
1 )  =  y ) ) )  -> 
( ( g ( *p `  J ) h ) `  1
)  =  ( h `
 1 ) )
55 simprrr 741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  (
x  e.  U. J  /\  z  e.  U. J
) )  /\  (
s  e.  ~P U. J  /\  ( z  e.  u  /\  u  C_  s  /\  ( Jt  s )  e. PCon ) ) )  /\  ( ( w  e.  u  /\  (
g  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( ( g ` 
0 )  =  x  /\  ( g ` 
1 )  =  w ) ) )  /\  y  e.  u )
)  /\  ( h  e.  ( II  Cn  ( Jt  s ) )  /\  ( ( h ` 
0 )  =  w  /\  ( h ` 
1 )  =  y ) ) )  -> 
( h `  1
)  =  y )
5654, 55eqtrd 2328 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  (
x  e.  U. J  /\  z  e.  U. J
) )  /\  (
s  e.  ~P U. J  /\  ( z  e.  u  /\  u  C_  s  /\  ( Jt  s )  e. PCon ) ) )  /\  ( ( w  e.  u  /\  (
g  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( ( g ` 
0 )  =  x  /\  ( g ` 
1 )  =  w ) ) )  /\  y  e.  u )
)  /\  ( h  e.  ( II  Cn  ( Jt  s ) )  /\  ( ( h ` 
0 )  =  w  /\  ( h ` 
1 )  =  y ) ) )  -> 
( ( g ( *p `  J ) h ) `  1
)  =  y )
57 fveq1 5540 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( f  =  ( g ( *p `  J ) h )  ->  (
f `  0 )  =  ( ( g ( *p `  J
) h ) ` 
0 ) )
5857eqeq1d 2304 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( f  =  ( g ( *p `  J ) h )  ->  (
( f `  0
)  =  x  <->  ( (
g ( *p `  J ) h ) `
 0 )  =  x ) )
59 fveq1 5540 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( f  =  ( g ( *p `  J ) h )  ->  (
f `  1 )  =  ( ( g ( *p `  J
) h ) ` 
1 ) )
6059eqeq1d 2304 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( f  =  ( g ( *p `  J ) h )  ->  (
( f `  1
)  =  y  <->  ( (
g ( *p `  J ) h ) `
 1 )  =  y ) )
6158, 60anbi12d 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( f  =  ( g ( *p `  J ) h )  ->  (
( ( f ` 
0 )  =  x  /\  ( f ` 
1 )  =  y )  <->  ( ( ( g ( *p `  J ) h ) `
 0 )  =  x  /\  ( ( g ( *p `  J ) h ) `
 1 )  =  y ) ) )
6261rspcev 2897 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( g ( *p
`  J ) h )  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( ( ( g ( *p `  J
) h ) ` 
0 )  =  x  /\  ( ( g ( *p `  J
) h ) ` 
1 )  =  y ) )  ->  E. f  e.  ( II  Cn  J
) ( ( f `
 0 )  =  x  /\  ( f `
 1 )  =  y ) )
6350, 53, 56, 62syl12anc 1180 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  (
x  e.  U. J  /\  z  e.  U. J
) )  /\  (
s  e.  ~P U. J  /\  ( z  e.  u  /\  u  C_  s  /\  ( Jt  s )  e. PCon ) ) )  /\  ( ( w  e.  u  /\  (
g  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( ( g ` 
0 )  =  x  /\  ( g ` 
1 )  =  w ) ) )  /\  y  e.  u )
)  /\  ( h  e.  ( II  Cn  ( Jt  s ) )  /\  ( ( h ` 
0 )  =  w  /\  ( h ` 
1 )  =  y ) ) )  ->  E. f  e.  (
II  Cn  J )
( ( f ` 
0 )  =  x  /\  ( f ` 
1 )  =  y ) )
6463expr 598 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  (
x  e.  U. J  /\  z  e.  U. J
) )  /\  (
s  e.  ~P U. J  /\  ( z  e.  u  /\  u  C_  s  /\  ( Jt  s )  e. PCon ) ) )  /\  ( ( w  e.  u  /\  (
g  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( ( g ` 
0 )  =  x  /\  ( g ` 
1 )  =  w ) ) )  /\  y  e.  u )
)  /\  h  e.  ( II  Cn  ( Jt  s ) ) )  ->  ( ( ( h `  0 )  =  w  /\  (
h `  1 )  =  y )  ->  E. f  e.  (
II  Cn  J )
( ( f ` 
0 )  =  x  /\  ( f ` 
1 )  =  y ) ) )
6564rexlimdva 2680 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  ( x  e. 
U. J  /\  z  e.  U. J ) )  /\  ( s  e. 
~P U. J  /\  (
z  e.  u  /\  u  C_  s  /\  ( Jt  s )  e. PCon )
) )  /\  (
( w  e.  u  /\  ( g  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( ( g `
 0 )  =  x  /\  ( g `
 1 )  =  w ) ) )  /\  y  e.  u
) )  ->  ( E. h  e.  (
II  Cn  ( Jt  s
) ) ( ( h `  0 )  =  w  /\  (
h `  1 )  =  y )  ->  E. f  e.  (
II  Cn  J )
( ( f ` 
0 )  =  x  /\  ( f ` 
1 )  =  y ) ) )
6637, 65mpd 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  ( x  e. 
U. J  /\  z  e.  U. J ) )  /\  ( s  e. 
~P U. J  /\  (
z  e.  u  /\  u  C_  s  /\  ( Jt  s )  e. PCon )
) )  /\  (
( w  e.  u  /\  ( g  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( ( g `
 0 )  =  x  /\  ( g `
 1 )  =  w ) ) )  /\  y  e.  u
) )  ->  E. f  e.  ( II  Cn  J
) ( ( f `
 0 )  =  x  /\  ( f `
 1 )  =  y ) )
6766anassrs 629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  (
x  e.  U. J  /\  z  e.  U. J
) )  /\  (
s  e.  ~P U. J  /\  ( z  e.  u  /\  u  C_  s  /\  ( Jt  s )  e. PCon ) ) )  /\  ( w  e.  u  /\  ( g  e.  ( II  Cn  J )  /\  (
( g `  0
)  =  x  /\  ( g `  1
)  =  w ) ) ) )  /\  y  e.  u )  ->  E. f  e.  ( II  Cn  J ) ( ( f ` 
0 )  =  x  /\  ( f ` 
1 )  =  y ) )
6867ralrimiva 2639 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  ( x  e. 
U. J  /\  z  e.  U. J ) )  /\  ( s  e. 
~P U. J  /\  (
z  e.  u  /\  u  C_  s  /\  ( Jt  s )  e. PCon )
) )  /\  (
w  e.  u  /\  ( g  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( ( g `
 0 )  =  x  /\  ( g `
 1 )  =  w ) ) ) )  ->  A. y  e.  u  E. f  e.  ( II  Cn  J
) ( ( f `
 0 )  =  x  /\  ( f `
 1 )  =  y ) )
6968anassrs 629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  (
x  e.  U. J  /\  z  e.  U. J
) )  /\  (
s  e.  ~P U. J  /\  ( z  e.  u  /\  u  C_  s  /\  ( Jt  s )  e. PCon ) ) )  /\  w  e.  u
)  /\  ( g  e.  ( II  Cn  J
)  /\  ( (
g `  0 )  =  x  /\  (
g `  1 )  =  w ) ) )  ->  A. y  e.  u  E. f  e.  (
II  Cn  J )
( ( f ` 
0 )  =  x  /\  ( f ` 
1 )  =  y ) )
7069expr 598 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  (
x  e.  U. J  /\  z  e.  U. J
) )  /\  (
s  e.  ~P U. J  /\  ( z  e.  u  /\  u  C_  s  /\  ( Jt  s )  e. PCon ) ) )  /\  w  e.  u
)  /\  g  e.  ( II  Cn  J
) )  ->  (
( ( g ` 
0 )  =  x  /\  ( g ` 
1 )  =  w )  ->  A. y  e.  u  E. f  e.  ( II  Cn  J
) ( ( f `
 0 )  =  x  /\  ( f `
 1 )  =  y ) ) )
7170rexlimdva 2680 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  ( x  e. 
U. J  /\  z  e.  U. J ) )  /\  ( s  e. 
~P U. J  /\  (
z  e.  u  /\  u  C_  s  /\  ( Jt  s )  e. PCon )
) )  /\  w  e.  u )  ->  ( E. g  e.  (
II  Cn  J )
( ( g ` 
0 )  =  x  /\  ( g ` 
1 )  =  w )  ->  A. y  e.  u  E. f  e.  ( II  Cn  J
) ( ( f `
 0 )  =  x  /\  ( f `
 1 )  =  y ) ) )
7221adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  ( x  e. 
U. J  /\  z  e.  U. J ) )  /\  ( s  e. 
~P U. J  /\  (
z  e.  u  /\  u  C_  s  /\  ( Jt  s )  e. PCon )
) )  /\  w  e.  u )  ->  u  C_  s )
73 simplrl 736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  ( x  e. 
U. J  /\  z  e.  U. J ) )  /\  ( s  e. 
~P U. J  /\  (
z  e.  u  /\  u  C_  s  /\  ( Jt  s )  e. PCon )
) )  /\  w  e.  u )  ->  s  e.  ~P U. J )
7473, 26syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  ( x  e. 
U. J  /\  z  e.  U. J ) )  /\  ( s  e. 
~P U. J  /\  (
z  e.  u  /\  u  C_  s  /\  ( Jt  s )  e. PCon )
) )  /\  w  e.  u )  ->  s  C_ 
U. J )
7572, 74sstrd 3202 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  ( x  e. 
U. J  /\  z  e.  U. J ) )  /\  ( s  e. 
~P U. J  /\  (
z  e.  u  /\  u  C_  s  /\  ( Jt  s )  e. PCon )
) )  /\  w  e.  u )  ->  u  C_ 
U. J )
7671, 75jctild 527 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  ( x  e. 
U. J  /\  z  e.  U. J ) )  /\  ( s  e. 
~P U. J  /\  (
z  e.  u  /\  u  C_  s  /\  ( Jt  s )  e. PCon )
) )  /\  w  e.  u )  ->  ( E. g  e.  (
II  Cn  J )
( ( g ` 
0 )  =  x  /\  ( g ` 
1 )  =  w )  ->  ( u  C_ 
U. J  /\  A. y  e.  u  E. f  e.  ( II  Cn  J ) ( ( f `  0 )  =  x  /\  (
f `  1 )  =  y ) ) ) )
77 fveq1 5540 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( f  =  g  ->  (
f `  0 )  =  ( g ` 
0 ) )
7877eqeq1d 2304 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( f  =  g  ->  (
( f `  0
)  =  x  <->  ( g `  0 )  =  x ) )
79 fveq1 5540 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( f  =  g  ->  (
f `  1 )  =  ( g ` 
1 ) )
8079eqeq1d 2304 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( f  =  g  ->  (
( f `  1
)  =  w  <->  ( g `  1 )  =  w ) )
8178, 80anbi12d 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( f  =  g  ->  (
( ( f ` 
0 )  =  x  /\  ( f ` 
1 )  =  w )  <->  ( ( g `
 0 )  =  x  /\  ( g `
 1 )  =  w ) ) )
8281cbvrexv 2778 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( E. f  e.  ( II 
Cn  J ) ( ( f `  0
)  =  x  /\  ( f `  1
)  =  w )  <->  E. g  e.  (
II  Cn  J )
( ( g ` 
0 )  =  x  /\  ( g ` 
1 )  =  w ) )
83 ssrab 3264 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( u 
C_  { y  e. 
U. J  |  E. f  e.  ( II  Cn  J ) ( ( f `  0 )  =  x  /\  (
f `  1 )  =  y ) }  <-> 
( u  C_  U. J  /\  A. y  e.  u  E. f  e.  (
II  Cn  J )
( ( f ` 
0 )  =  x  /\  ( f ` 
1 )  =  y ) ) )
8476, 82, 833imtr4g 261 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  ( x  e. 
U. J  /\  z  e.  U. J ) )  /\  ( s  e. 
~P U. J  /\  (
z  e.  u  /\  u  C_  s  /\  ( Jt  s )  e. PCon )
) )  /\  w  e.  u )  ->  ( E. f  e.  (
II  Cn  J )
( ( f ` 
0 )  =  x  /\  ( f ` 
1 )  =  w )  ->  u  C_  { y  e.  U. J  |  E. f  e.  (
II  Cn  J )
( ( f ` 
0 )  =  x  /\  ( f ` 
1 )  =  y ) } ) )
8518, 84syl5 28 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  ( x  e. 
U. J  /\  z  e.  U. J ) )  /\  ( s  e. 
~P U. J  /\  (
z  e.  u  /\  u  C_  s  /\  ( Jt  s )  e. PCon )
) )  /\  w  e.  u )  ->  (
w  e.  { y  e.  U. J  |  E. f  e.  (
II  Cn  J )
( ( f ` 
0 )  =  x  /\  ( f ` 
1 )  =  y ) }  ->  u  C_ 
{ y  e.  U. J  |  E. f  e.  ( II  Cn  J
) ( ( f `
 0 )  =  x  /\  ( f `
 1 )  =  y ) } ) )
8685ralrimiva 2639 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( J  e. 
Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  ( x  e.  U. J  /\  z  e.  U. J ) )  /\  ( s  e.  ~P U. J  /\  ( z  e.  u  /\  u  C_  s  /\  ( Jt  s )  e. PCon ) ) )  ->  A. w  e.  u  ( w  e.  { y  e.  U. J  |  E. f  e.  ( II  Cn  J
) ( ( f `
 0 )  =  x  /\  ( f `
 1 )  =  y ) }  ->  u 
C_  { y  e. 
U. J  |  E. f  e.  ( II  Cn  J ) ( ( f `  0 )  =  x  /\  (
f `  1 )  =  y ) } ) )
8713, 86jca 518 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( J  e. 
Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  ( x  e.  U. J  /\  z  e.  U. J ) )  /\  ( s  e.  ~P U. J  /\  ( z  e.  u  /\  u  C_  s  /\  ( Jt  s )  e. PCon ) ) )  ->  ( z  e.  u  /\  A. w  e.  u  ( w  e.  { y  e.  U. J  |  E. f  e.  ( II  Cn  J
) ( ( f `
 0 )  =  x  /\  ( f `
 1 )  =  y ) }  ->  u 
C_  { y  e. 
U. J  |  E. f  e.  ( II  Cn  J ) ( ( f `  0 )  =  x  /\  (
f `  1 )  =  y ) } ) ) )
8887expr 598 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e. 
Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  ( x  e.  U. J  /\  z  e.  U. J ) )  /\  s  e.  ~P U. J
)  ->  ( (
z  e.  u  /\  u  C_  s  /\  ( Jt  s )  e. PCon )  ->  ( z  e.  u  /\  A. w  e.  u  ( w  e.  { y  e.  U. J  |  E. f  e.  (
II  Cn  J )
( ( f ` 
0 )  =  x  /\  ( f ` 
1 )  =  y ) }  ->  u  C_ 
{ y  e.  U. J  |  E. f  e.  ( II  Cn  J
) ( ( f `
 0 )  =  x  /\  ( f `
 1 )  =  y ) } ) ) ) )
8988reximdv 2667 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e. 
Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  ( x  e.  U. J  /\  z  e.  U. J ) )  /\  s  e.  ~P U. J
)  ->  ( E. u  e.  J  (
z  e.  u  /\  u  C_  s  /\  ( Jt  s )  e. PCon )  ->  E. u  e.  J  ( z  e.  u  /\  A. w  e.  u  ( w  e.  { y  e.  U. J  |  E. f  e.  (
II  Cn  J )
( ( f ` 
0 )  =  x  /\  ( f ` 
1 )  =  y ) }  ->  u  C_ 
{ y  e.  U. J  |  E. f  e.  ( II  Cn  J
) ( ( f `
 0 )  =  x  /\  ( f `
 1 )  =  y ) } ) ) ) )
9089rexlimdva 2680 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  (
x  e.  U. J  /\  z  e.  U. J
) )  ->  ( E. s  e.  ~P  U. J E. u  e.  J  ( z  e.  u  /\  u  C_  s  /\  ( Jt  s )  e. PCon )  ->  E. u  e.  J  ( z  e.  u  /\  A. w  e.  u  ( w  e.  { y  e.  U. J  |  E. f  e.  ( II  Cn  J
) ( ( f `
 0 )  =  x  /\  ( f `
 1 )  =  y ) }  ->  u 
C_  { y  e. 
U. J  |  E. f  e.  ( II  Cn  J ) ( ( f `  0 )  =  x  /\  (
f `  1 )  =  y ) } ) ) ) )
9112, 90mpd 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  (
x  e.  U. J  /\  z  e.  U. J
) )  ->  E. u  e.  J  ( z  e.  u  /\  A. w  e.  u  ( w  e.  { y  e.  U. J  |  E. f  e.  ( II  Cn  J
) ( ( f `
 0 )  =  x  /\  ( f `
 1 )  =  y ) }  ->  u 
C_  { y  e. 
U. J  |  E. f  e.  ( II  Cn  J ) ( ( f `  0 )  =  x  /\  (
f `  1 )  =  y ) } ) ) )
9291anassrs 629 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e. 
Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  x  e.  U. J
)  /\  z  e.  U. J )  ->  E. u  e.  J  ( z  e.  u  /\  A. w  e.  u  ( w  e.  { y  e.  U. J  |  E. f  e.  ( II  Cn  J
) ( ( f `
 0 )  =  x  /\  ( f `
 1 )  =  y ) }  ->  u 
C_  { y  e. 
U. J  |  E. f  e.  ( II  Cn  J ) ( ( f `  0 )  =  x  /\  (
f `  1 )  =  y ) } ) ) )
9392ralrimiva 2639 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  x  e.  U. J )  ->  A. z  e.  U. J E. u  e.  J  ( z  e.  u  /\  A. w  e.  u  ( w  e.  { y  e.  U. J  |  E. f  e.  (
II  Cn  J )
( ( f ` 
0 )  =  x  /\  ( f ` 
1 )  =  y ) }  ->  u  C_ 
{ y  e.  U. J  |  E. f  e.  ( II  Cn  J
) ( ( f `
 0 )  =  x  /\  ( f `
 1 )  =  y ) } ) ) )
941ad2antrr 706 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  x  e.  U. J )  ->  J  e.  Top )
95 ssrab2 3271 . . . . . . . . 9  |-  { y  e.  U. J  |  E. f  e.  (
II  Cn  J )
( ( f ` 
0 )  =  x  /\  ( f ` 
1 )  =  y ) }  C_  U. J
963isclo2 16841 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  Top  /\  { y  e.  U. J  |  E. f  e.  ( II  Cn  J ) ( ( f ` 
0 )  =  x  /\  ( f ` 
1 )  =  y ) }  C_  U. J
)  ->  ( {
y  e.  U. J  |  E. f  e.  ( II  Cn  J ) ( ( f ` 
0 )  =  x  /\  ( f ` 
1 )  =  y ) }  e.  ( J  i^i  ( Clsd `  J ) )  <->  A. z  e.  U. J E. u  e.  J  ( z  e.  u  /\  A. w  e.  u  ( w  e.  { y  e.  U. J  |  E. f  e.  ( II  Cn  J
) ( ( f `
 0 )  =  x  /\  ( f `
 1 )  =  y ) }  ->  u 
C_  { y  e. 
U. J  |  E. f  e.  ( II  Cn  J ) ( ( f `  0 )  =  x  /\  (
f `  1 )  =  y ) } ) ) ) )
9794, 95, 96sylancl 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  x  e.  U. J )  -> 
( { y  e. 
U. J  |  E. f  e.  ( II  Cn  J ) ( ( f `  0 )  =  x  /\  (
f `  1 )  =  y ) }  e.  ( J  i^i  ( Clsd `  J )
)  <->  A. z  e.  U. J E. u  e.  J  ( z  e.  u  /\  A. w  e.  u  ( w  e.  { y  e.  U. J  |  E. f  e.  (
II  Cn  J )
( ( f ` 
0 )  =  x  /\  ( f ` 
1 )  =  y ) }  ->  u  C_ 
{ y  e.  U. J  |  E. f  e.  ( II  Cn  J
) ( ( f `
 0 )  =  x  /\  ( f `
 1 )  =  y ) } ) ) ) )
9893, 97mpbird 223 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  x  e.  U. J )  ->  { y  e.  U. J  |  E. f  e.  ( II  Cn  J
) ( ( f `
 0 )  =  x  /\  ( f `
 1 )  =  y ) }  e.  ( J  i^i  ( Clsd `  J ) ) )
995, 98sseldi 3191 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  x  e.  U. J )  ->  { y  e.  U. J  |  E. f  e.  ( II  Cn  J
) ( ( f `
 0 )  =  x  /\  ( f `
 1 )  =  y ) }  e.  J )
100 simpr 447 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  x  e.  U. J )  ->  x  e.  U. J )
101 iitopon 18399 . . . . . . . . . 10  |-  II  e.  (TopOn `  ( 0 [,] 1 ) )
102101a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  x  e.  U. J )  ->  II  e.  (TopOn `  (
0 [,] 1 ) ) )
1033toptopon 16687 . . . . . . . . . 10  |-  ( J  e.  Top  <->  J  e.  (TopOn `  U. J ) )
10494, 103sylib 188 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  x  e.  U. J )  ->  J  e.  (TopOn `  U. J ) )
105 cnconst2 17027 . . . . . . . . 9  |-  ( ( II  e.  (TopOn `  ( 0 [,] 1
) )  /\  J  e.  (TopOn `  U. J )  /\  x  e.  U. J )  ->  (
( 0 [,] 1
)  X.  { x } )  e.  ( II  Cn  J ) )
106102, 104, 100, 105syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  x  e.  U. J )  -> 
( ( 0 [,] 1 )  X.  {
x } )  e.  ( II  Cn  J
) )
107 0elunit 10770 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  ( 0 [,] 1
)
108 vex 2804 . . . . . . . . . 10  |-  x  e. 
_V
109108fvconst2 5745 . . . . . . . . 9  |-  ( 0  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  (
( ( 0 [,] 1 )  X.  {
x } ) ` 
0 )  =  x )
110107, 109mp1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  x  e.  U. J )  -> 
( ( ( 0 [,] 1 )  X. 
{ x } ) `
 0 )  =  x )
111 1elunit 10771 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  ( 0 [,] 1
)
112108fvconst2 5745 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  (
( ( 0 [,] 1 )  X.  {
x } ) ` 
1 )  =  x )
113111, 112mp1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  x  e.  U. J )  -> 
( ( ( 0 [,] 1 )  X. 
{ x } ) `
 1 )  =  x )
114 eqeq2 2305 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  x  ->  (
( f `  1
)  =  y  <->  ( f `  1 )  =  x ) )
115114anbi2d 684 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  x  ->  (
( ( f ` 
0 )  =  x  /\  ( f ` 
1 )  =  y )  <->  ( ( f `
 0 )  =  x  /\  ( f `
 1 )  =  x ) ) )
116 fveq1 5540 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  ( ( 0 [,] 1 )  X. 
{ x } )  ->  ( f ` 
0 )  =  ( ( ( 0 [,] 1 )  X.  {
x } ) ` 
0 ) )
117116eqeq1d 2304 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  ( ( 0 [,] 1 )  X. 
{ x } )  ->  ( ( f `
 0 )  =  x  <->  ( ( ( 0 [,] 1 )  X.  { x }
) `  0 )  =  x ) )
118 fveq1 5540 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  ( ( 0 [,] 1 )  X. 
{ x } )  ->  ( f ` 
1 )  =  ( ( ( 0 [,] 1 )  X.  {
x } ) ` 
1 ) )
119118eqeq1d 2304 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  ( ( 0 [,] 1 )  X. 
{ x } )  ->  ( ( f `
 1 )  =  x  <->  ( ( ( 0 [,] 1 )  X.  { x }
) `  1 )  =  x ) )
120117, 119anbi12d 691 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  ( ( 0 [,] 1 )  X. 
{ x } )  ->  ( ( ( f `  0 )  =  x  /\  (
f `  1 )  =  x )  <->  ( (
( ( 0 [,] 1 )  X.  {
x } ) ` 
0 )  =  x  /\  ( ( ( 0 [,] 1 )  X.  { x }
) `  1 )  =  x ) ) )
121115, 120rspc2ev 2905 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  U. J  /\  ( ( 0 [,] 1 )  X.  {
x } )  e.  ( II  Cn  J
)  /\  ( (
( ( 0 [,] 1 )  X.  {
x } ) ` 
0 )  =  x  /\  ( ( ( 0 [,] 1 )  X.  { x }
) `  1 )  =  x ) )  ->  E. y  e.  U. J E. f  e.  (
II  Cn  J )
( ( f ` 
0 )  =  x  /\  ( f ` 
1 )  =  y ) )
122100, 106, 110, 113, 121syl112anc 1186 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  x  e.  U. J )  ->  E. y  e.  U. J E. f  e.  (
II  Cn  J )
( ( f ` 
0 )  =  x  /\  ( f ` 
1 )  =  y ) )
123 rabn0 3487 . . . . . . 7  |-  ( { y  e.  U. J  |  E. f  e.  ( II  Cn  J ) ( ( f ` 
0 )  =  x  /\  ( f ` 
1 )  =  y ) }  =/=  (/)  <->  E. y  e.  U. J E. f  e.  ( II  Cn  J
) ( ( f `
 0 )  =  x  /\  ( f `
 1 )  =  y ) )
124122, 123sylibr 203 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  x  e.  U. J )  ->  { y  e.  U. J  |  E. f  e.  ( II  Cn  J
) ( ( f `
 0 )  =  x  /\  ( f `
 1 )  =  y ) }  =/=  (/) )
125 inss2 3403 . . . . . . 7  |-  ( J  i^i  ( Clsd `  J
) )  C_  ( Clsd `  J )
126125, 98sseldi 3191 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  x  e.  U. J )  ->  { y  e.  U. J  |  E. f  e.  ( II  Cn  J
) ( ( f `
 0 )  =  x  /\  ( f `
 1 )  =  y ) }  e.  ( Clsd `  J )
)
1273, 4, 99, 124, 126conclo 17157 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  x  e.  U. J )  ->  { y  e.  U. J  |  E. f  e.  ( II  Cn  J
) ( ( f `
 0 )  =  x  /\  ( f `
 1 )  =  y ) }  =  U. J )
128127eqcomd 2301 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  x  e.  U. J )  ->  U. J  =  {
y  e.  U. J  |  E. f  e.  ( II  Cn  J ) ( ( f ` 
0 )  =  x  /\  ( f ` 
1 )  =  y ) } )
129 rabid2 2730 . . . 4  |-  ( U. J  =  { y  e.  U. J  |  E. f  e.  ( II  Cn  J ) ( ( f `  0 )  =  x  /\  (
f `  1 )  =  y ) }  <->  A. y  e.  U. J E. f  e.  (
II  Cn  J )
( ( f ` 
0 )  =  x  /\  ( f ` 
1 )  =  y ) )
130128, 129sylib 188 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  x  e.  U. J )  ->  A. y  e.  U. J E. f  e.  (
II  Cn  J )
( ( f ` 
0 )  =  x  /\  ( f ` 
1 )  =  y ) )
131130ralrimiva 2639 . 2  |-  ( ( J  e.  Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  ->  A. x  e.  U. J A. y  e.  U. J E. f  e.  ( II  Cn  J
) ( ( f `
 0 )  =  x  /\  ( f `
 1 )  =  y ) )
1323ispcon 23769 . 2  |-  ( J  e. PCon 
<->  ( J  e.  Top  /\ 
A. x  e.  U. J A. y  e.  U. J E. f  e.  ( II  Cn  J ) ( ( f ` 
0 )  =  x  /\  ( f ` 
1 )  =  y ) ) )
1332, 131, 132sylanbrc 645 1  |-  ( ( J  e.  Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  ->  J  e. PCon
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556   E.wrex 2557   {crab 2560    i^i cin 3164    C_ wss 3165   (/)c0 3468   ~Pcpw 3638   {csn 3653   U.cuni 3843    X. cxp 4703   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   0cc0 8753   1c1 8754   [,]cicc 10675   ↾t crest 13341   Topctop 16647  TopOnctopon 16648   Clsdccld 16769    Cn ccn 16970   Conccon 17153  𝑛Locally cnlly 17207   IIcii 18395   *pcpco 18514  PConcpcon 23765
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-mulf 8833
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-ixp 6834  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-fi 7181  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-ioo 10676  df-icc 10679  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-seq 11063  df-exp 11121  df-hash 11354  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-starv 13239  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-hom 13248  df-cco 13249  df-rest 13343  df-topn 13344  df-topgen 13360  df-pt 13361  df-prds 13364  df-xrs 13419  df-0g 13420  df-gsum 13421  df-qtop 13426  df-imas 13427  df-xps 13429  df-mre 13504  df-mrc 13505  df-acs 13507  df-mnd 14383  df-submnd 14432  df-mulg 14508  df-cntz 14809  df-cmn 15107  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-cnfld 16394  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-topsp 16656  df-cld 16772  df-nei 16851  df-cn 16973  df-cnp 16974  df-con 17154  df-nlly 17209  df-tx 17273  df-hmeo 17462  df-xms 17901  df-ms 17902  df-tms 17903  df-ii 18397  df-pco 18519  df-pcon 23767
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