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Theorem conpcon 23766
Description: A connected and locally path-connected space is path-connected. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jul-2015.)
Assertion
Ref Expression
conpcon  |-  ( ( J  e.  Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  ->  J  e. PCon
)

Proof of Theorem conpcon
Dummy variables  x  f  y  z  g  h  s  u  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 contop 17143 . . 3  |-  ( J  e.  Con  ->  J  e.  Top )
21adantr 451 . 2  |-  ( ( J  e.  Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  ->  J  e. 
Top )
3 eqid 2283 . . . . . 6  |-  U. J  =  U. J
4 simpll 730 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  x  e.  U. J )  ->  J  e.  Con )
5 inss1 3389 . . . . . . 7  |-  ( J  i^i  ( Clsd `  J
) )  C_  J
6 simplr 731 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  (
x  e.  U. J  /\  z  e.  U. J
) )  ->  J  e. 𝑛Locally PCon )
71ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( J  e.  Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  (
x  e.  U. J  /\  z  e.  U. J
) )  ->  J  e.  Top )
83topopn 16652 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( J  e.  Top  ->  U. J  e.  J )
97, 8syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  (
x  e.  U. J  /\  z  e.  U. J
) )  ->  U. J  e.  J )
10 simprr 733 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  (
x  e.  U. J  /\  z  e.  U. J
) )  ->  z  e.  U. J )
11 nlly2i 17202 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( J  e. 𝑛Locally PCon  /\  U. J  e.  J  /\  z  e. 
U. J )  ->  E. s  e.  ~P  U. J E. u  e.  J  ( z  e.  u  /\  u  C_  s  /\  ( Jt  s )  e. PCon ) )
126, 9, 10, 11syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  (
x  e.  U. J  /\  z  e.  U. J
) )  ->  E. s  e.  ~P  U. J E. u  e.  J  (
z  e.  u  /\  u  C_  s  /\  ( Jt  s )  e. PCon )
)
13 simprr1 1003 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( J  e. 
Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  ( x  e.  U. J  /\  z  e.  U. J ) )  /\  ( s  e.  ~P U. J  /\  ( z  e.  u  /\  u  C_  s  /\  ( Jt  s )  e. PCon ) ) )  ->  z  e.  u )
14 eqeq2 2292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  =  w  ->  (
( f `  1
)  =  y  <->  ( f `  1 )  =  w ) )
1514anbi2d 684 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  =  w  ->  (
( ( f ` 
0 )  =  x  /\  ( f ` 
1 )  =  y )  <->  ( ( f `
 0 )  =  x  /\  ( f `
 1 )  =  w ) ) )
1615rexbidv 2564 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  w  ->  ( E. f  e.  (
II  Cn  J )
( ( f ` 
0 )  =  x  /\  ( f ` 
1 )  =  y )  <->  E. f  e.  ( II  Cn  J ) ( ( f ` 
0 )  =  x  /\  ( f ` 
1 )  =  w ) ) )
1716elrab 2923 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( w  e.  { y  e. 
U. J  |  E. f  e.  ( II  Cn  J ) ( ( f `  0 )  =  x  /\  (
f `  1 )  =  y ) }  <-> 
( w  e.  U. J  /\  E. f  e.  ( II  Cn  J
) ( ( f `
 0 )  =  x  /\  ( f `
 1 )  =  w ) ) )
1817simprbi 450 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( w  e.  { y  e. 
U. J  |  E. f  e.  ( II  Cn  J ) ( ( f `  0 )  =  x  /\  (
f `  1 )  =  y ) }  ->  E. f  e.  ( II  Cn  J ) ( ( f ` 
0 )  =  x  /\  ( f ` 
1 )  =  w ) )
19 simprr3 1005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( J  e. 
Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  ( x  e.  U. J  /\  z  e.  U. J ) )  /\  ( s  e.  ~P U. J  /\  ( z  e.  u  /\  u  C_  s  /\  ( Jt  s )  e. PCon ) ) )  ->  ( Jt  s
)  e. PCon )
2019adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  ( x  e. 
U. J  /\  z  e.  U. J ) )  /\  ( s  e. 
~P U. J  /\  (
z  e.  u  /\  u  C_  s  /\  ( Jt  s )  e. PCon )
) )  /\  (
( w  e.  u  /\  ( g  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( ( g `
 0 )  =  x  /\  ( g `
 1 )  =  w ) ) )  /\  y  e.  u
) )  ->  ( Jt  s )  e. PCon )
21 simprr2 1004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ( J  e. 
Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  ( x  e.  U. J  /\  z  e.  U. J ) )  /\  ( s  e.  ~P U. J  /\  ( z  e.  u  /\  u  C_  s  /\  ( Jt  s )  e. PCon ) ) )  ->  u  C_  s
)
2221adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  ( x  e. 
U. J  /\  z  e.  U. J ) )  /\  ( s  e. 
~P U. J  /\  (
z  e.  u  /\  u  C_  s  /\  ( Jt  s )  e. PCon )
) )  /\  (
( w  e.  u  /\  ( g  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( ( g `
 0 )  =  x  /\  ( g `
 1 )  =  w ) ) )  /\  y  e.  u
) )  ->  u  C_  s )
23 simprll 738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  ( x  e. 
U. J  /\  z  e.  U. J ) )  /\  ( s  e. 
~P U. J  /\  (
z  e.  u  /\  u  C_  s  /\  ( Jt  s )  e. PCon )
) )  /\  (
( w  e.  u  /\  ( g  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( ( g `
 0 )  =  x  /\  ( g `
 1 )  =  w ) ) )  /\  y  e.  u
) )  ->  w  e.  u )
2422, 23sseldd 3181 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  ( x  e. 
U. J  /\  z  e.  U. J ) )  /\  ( s  e. 
~P U. J  /\  (
z  e.  u  /\  u  C_  s  /\  ( Jt  s )  e. PCon )
) )  /\  (
( w  e.  u  /\  ( g  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( ( g `
 0 )  =  x  /\  ( g `
 1 )  =  w ) ) )  /\  y  e.  u
) )  ->  w  e.  s )
257ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  ( x  e. 
U. J  /\  z  e.  U. J ) )  /\  ( s  e. 
~P U. J  /\  (
z  e.  u  /\  u  C_  s  /\  ( Jt  s )  e. PCon )
) )  /\  (
( w  e.  u  /\  ( g  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( ( g `
 0 )  =  x  /\  ( g `
 1 )  =  w ) ) )  /\  y  e.  u
) )  ->  J  e.  Top )
26 elpwi 3633 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( s  e.  ~P U. J  ->  s  C_  U. J )
2726ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ( J  e. 
Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  ( x  e.  U. J  /\  z  e.  U. J ) )  /\  ( s  e.  ~P U. J  /\  ( z  e.  u  /\  u  C_  s  /\  ( Jt  s )  e. PCon ) ) )  ->  s  C_  U. J )
2827adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  ( x  e. 
U. J  /\  z  e.  U. J ) )  /\  ( s  e. 
~P U. J  /\  (
z  e.  u  /\  u  C_  s  /\  ( Jt  s )  e. PCon )
) )  /\  (
( w  e.  u  /\  ( g  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( ( g `
 0 )  =  x  /\  ( g `
 1 )  =  w ) ) )  /\  y  e.  u
) )  ->  s  C_ 
U. J )
293restuni 16893 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( J  e.  Top  /\  s  C_  U. J )  ->  s  =  U. ( Jt  s ) )
3025, 28, 29syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  ( x  e. 
U. J  /\  z  e.  U. J ) )  /\  ( s  e. 
~P U. J  /\  (
z  e.  u  /\  u  C_  s  /\  ( Jt  s )  e. PCon )
) )  /\  (
( w  e.  u  /\  ( g  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( ( g `
 0 )  =  x  /\  ( g `
 1 )  =  w ) ) )  /\  y  e.  u
) )  ->  s  =  U. ( Jt  s ) )
3124, 30eleqtrd 2359 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  ( x  e. 
U. J  /\  z  e.  U. J ) )  /\  ( s  e. 
~P U. J  /\  (
z  e.  u  /\  u  C_  s  /\  ( Jt  s )  e. PCon )
) )  /\  (
( w  e.  u  /\  ( g  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( ( g `
 0 )  =  x  /\  ( g `
 1 )  =  w ) ) )  /\  y  e.  u
) )  ->  w  e.  U. ( Jt  s ) )
32 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  ( x  e. 
U. J  /\  z  e.  U. J ) )  /\  ( s  e. 
~P U. J  /\  (
z  e.  u  /\  u  C_  s  /\  ( Jt  s )  e. PCon )
) )  /\  (
( w  e.  u  /\  ( g  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( ( g `
 0 )  =  x  /\  ( g `
 1 )  =  w ) ) )  /\  y  e.  u
) )  ->  y  e.  u )
3322, 32sseldd 3181 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  ( x  e. 
U. J  /\  z  e.  U. J ) )  /\  ( s  e. 
~P U. J  /\  (
z  e.  u  /\  u  C_  s  /\  ( Jt  s )  e. PCon )
) )  /\  (
( w  e.  u  /\  ( g  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( ( g `
 0 )  =  x  /\  ( g `
 1 )  =  w ) ) )  /\  y  e.  u
) )  ->  y  e.  s )
3433, 30eleqtrd 2359 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  ( x  e. 
U. J  /\  z  e.  U. J ) )  /\  ( s  e. 
~P U. J  /\  (
z  e.  u  /\  u  C_  s  /\  ( Jt  s )  e. PCon )
) )  /\  (
( w  e.  u  /\  ( g  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( ( g `
 0 )  =  x  /\  ( g `
 1 )  =  w ) ) )  /\  y  e.  u
) )  ->  y  e.  U. ( Jt  s ) )
35 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  U. ( Jt  s )  =  U. ( Jt  s )
3635pconcn 23755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( Jt  s )  e. PCon  /\  w  e.  U. ( Jt  s )  /\  y  e.  U. ( Jt  s ) )  ->  E. h  e.  ( II  Cn  ( Jt  s ) ) ( ( h `  0
)  =  w  /\  ( h `  1
)  =  y ) )
3720, 31, 34, 36syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  ( x  e. 
U. J  /\  z  e.  U. J ) )  /\  ( s  e. 
~P U. J  /\  (
z  e.  u  /\  u  C_  s  /\  ( Jt  s )  e. PCon )
) )  /\  (
( w  e.  u  /\  ( g  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( ( g `
 0 )  =  x  /\  ( g `
 1 )  =  w ) ) )  /\  y  e.  u
) )  ->  E. h  e.  ( II  Cn  ( Jt  s ) ) ( ( h `  0
)  =  w  /\  ( h `  1
)  =  y ) )
38 simplrl 736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( w  e.  u  /\  ( g  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( ( g `
 0 )  =  x  /\  ( g `
 1 )  =  w ) ) )  /\  y  e.  u
)  ->  g  e.  ( II  Cn  J
) )
3938ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  (
x  e.  U. J  /\  z  e.  U. J
) )  /\  (
s  e.  ~P U. J  /\  ( z  e.  u  /\  u  C_  s  /\  ( Jt  s )  e. PCon ) ) )  /\  ( ( w  e.  u  /\  (
g  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( ( g ` 
0 )  =  x  /\  ( g ` 
1 )  =  w ) ) )  /\  y  e.  u )
)  /\  ( h  e.  ( II  Cn  ( Jt  s ) )  /\  ( ( h ` 
0 )  =  w  /\  ( h ` 
1 )  =  y ) ) )  -> 
g  e.  ( II 
Cn  J ) )
4025adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  (
x  e.  U. J  /\  z  e.  U. J
) )  /\  (
s  e.  ~P U. J  /\  ( z  e.  u  /\  u  C_  s  /\  ( Jt  s )  e. PCon ) ) )  /\  ( ( w  e.  u  /\  (
g  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( ( g ` 
0 )  =  x  /\  ( g ` 
1 )  =  w ) ) )  /\  y  e.  u )
)  /\  ( h  e.  ( II  Cn  ( Jt  s ) )  /\  ( ( h ` 
0 )  =  w  /\  ( h ` 
1 )  =  y ) ) )  ->  J  e.  Top )
41 cnrest2r 17015 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( J  e.  Top  ->  (
II  Cn  ( Jt  s
) )  C_  (
II  Cn  J )
)
4240, 41syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  (
x  e.  U. J  /\  z  e.  U. J
) )  /\  (
s  e.  ~P U. J  /\  ( z  e.  u  /\  u  C_  s  /\  ( Jt  s )  e. PCon ) ) )  /\  ( ( w  e.  u  /\  (
g  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( ( g ` 
0 )  =  x  /\  ( g ` 
1 )  =  w ) ) )  /\  y  e.  u )
)  /\  ( h  e.  ( II  Cn  ( Jt  s ) )  /\  ( ( h ` 
0 )  =  w  /\  ( h ` 
1 )  =  y ) ) )  -> 
( II  Cn  ( Jt  s ) )  C_  ( II  Cn  J
) )
43 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  (
x  e.  U. J  /\  z  e.  U. J
) )  /\  (
s  e.  ~P U. J  /\  ( z  e.  u  /\  u  C_  s  /\  ( Jt  s )  e. PCon ) ) )  /\  ( ( w  e.  u  /\  (
g  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( ( g ` 
0 )  =  x  /\  ( g ` 
1 )  =  w ) ) )  /\  y  e.  u )
)  /\  ( h  e.  ( II  Cn  ( Jt  s ) )  /\  ( ( h ` 
0 )  =  w  /\  ( h ` 
1 )  =  y ) ) )  ->  h  e.  ( II  Cn  ( Jt  s ) ) )
4442, 43sseldd 3181 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  (
x  e.  U. J  /\  z  e.  U. J
) )  /\  (
s  e.  ~P U. J  /\  ( z  e.  u  /\  u  C_  s  /\  ( Jt  s )  e. PCon ) ) )  /\  ( ( w  e.  u  /\  (
g  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( ( g ` 
0 )  =  x  /\  ( g ` 
1 )  =  w ) ) )  /\  y  e.  u )
)  /\  ( h  e.  ( II  Cn  ( Jt  s ) )  /\  ( ( h ` 
0 )  =  w  /\  ( h ` 
1 )  =  y ) ) )  ->  h  e.  ( II  Cn  J ) )
45 simplrr 737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( w  e.  u  /\  ( g  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( ( g `
 0 )  =  x  /\  ( g `
 1 )  =  w ) ) )  /\  y  e.  u
)  ->  ( (
g `  0 )  =  x  /\  (
g `  1 )  =  w ) )
4645ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  (
x  e.  U. J  /\  z  e.  U. J
) )  /\  (
s  e.  ~P U. J  /\  ( z  e.  u  /\  u  C_  s  /\  ( Jt  s )  e. PCon ) ) )  /\  ( ( w  e.  u  /\  (
g  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( ( g ` 
0 )  =  x  /\  ( g ` 
1 )  =  w ) ) )  /\  y  e.  u )
)  /\  ( h  e.  ( II  Cn  ( Jt  s ) )  /\  ( ( h ` 
0 )  =  w  /\  ( h ` 
1 )  =  y ) ) )  -> 
( ( g ` 
0 )  =  x  /\  ( g ` 
1 )  =  w ) )
4746simprd 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  (
x  e.  U. J  /\  z  e.  U. J
) )  /\  (
s  e.  ~P U. J  /\  ( z  e.  u  /\  u  C_  s  /\  ( Jt  s )  e. PCon ) ) )  /\  ( ( w  e.  u  /\  (
g  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( ( g ` 
0 )  =  x  /\  ( g ` 
1 )  =  w ) ) )  /\  y  e.  u )
)  /\  ( h  e.  ( II  Cn  ( Jt  s ) )  /\  ( ( h ` 
0 )  =  w  /\  ( h ` 
1 )  =  y ) ) )  -> 
( g `  1
)  =  w )
48 simprrl 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  (
x  e.  U. J  /\  z  e.  U. J
) )  /\  (
s  e.  ~P U. J  /\  ( z  e.  u  /\  u  C_  s  /\  ( Jt  s )  e. PCon ) ) )  /\  ( ( w  e.  u  /\  (
g  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( ( g ` 
0 )  =  x  /\  ( g ` 
1 )  =  w ) ) )  /\  y  e.  u )
)  /\  ( h  e.  ( II  Cn  ( Jt  s ) )  /\  ( ( h ` 
0 )  =  w  /\  ( h ` 
1 )  =  y ) ) )  -> 
( h `  0
)  =  w )
4947, 48eqtr4d 2318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  (
x  e.  U. J  /\  z  e.  U. J
) )  /\  (
s  e.  ~P U. J  /\  ( z  e.  u  /\  u  C_  s  /\  ( Jt  s )  e. PCon ) ) )  /\  ( ( w  e.  u  /\  (
g  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( ( g ` 
0 )  =  x  /\  ( g ` 
1 )  =  w ) ) )  /\  y  e.  u )
)  /\  ( h  e.  ( II  Cn  ( Jt  s ) )  /\  ( ( h ` 
0 )  =  w  /\  ( h ` 
1 )  =  y ) ) )  -> 
( g `  1
)  =  ( h `
 0 ) )
5039, 44, 49pcocn 18515 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  (
x  e.  U. J  /\  z  e.  U. J
) )  /\  (
s  e.  ~P U. J  /\  ( z  e.  u  /\  u  C_  s  /\  ( Jt  s )  e. PCon ) ) )  /\  ( ( w  e.  u  /\  (
g  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( ( g ` 
0 )  =  x  /\  ( g ` 
1 )  =  w ) ) )  /\  y  e.  u )
)  /\  ( h  e.  ( II  Cn  ( Jt  s ) )  /\  ( ( h ` 
0 )  =  w  /\  ( h ` 
1 )  =  y ) ) )  -> 
( g ( *p
`  J ) h )  e.  ( II 
Cn  J ) )
5139, 44pco0 18512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  (
x  e.  U. J  /\  z  e.  U. J
) )  /\  (
s  e.  ~P U. J  /\  ( z  e.  u  /\  u  C_  s  /\  ( Jt  s )  e. PCon ) ) )  /\  ( ( w  e.  u  /\  (
g  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( ( g ` 
0 )  =  x  /\  ( g ` 
1 )  =  w ) ) )  /\  y  e.  u )
)  /\  ( h  e.  ( II  Cn  ( Jt  s ) )  /\  ( ( h ` 
0 )  =  w  /\  ( h ` 
1 )  =  y ) ) )  -> 
( ( g ( *p `  J ) h ) `  0
)  =  ( g `
 0 ) )
5246simpld 445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  (
x  e.  U. J  /\  z  e.  U. J
) )  /\  (
s  e.  ~P U. J  /\  ( z  e.  u  /\  u  C_  s  /\  ( Jt  s )  e. PCon ) ) )  /\  ( ( w  e.  u  /\  (
g  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( ( g ` 
0 )  =  x  /\  ( g ` 
1 )  =  w ) ) )  /\  y  e.  u )
)  /\  ( h  e.  ( II  Cn  ( Jt  s ) )  /\  ( ( h ` 
0 )  =  w  /\  ( h ` 
1 )  =  y ) ) )  -> 
( g `  0
)  =  x )
5351, 52eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  (
x  e.  U. J  /\  z  e.  U. J
) )  /\  (
s  e.  ~P U. J  /\  ( z  e.  u  /\  u  C_  s  /\  ( Jt  s )  e. PCon ) ) )  /\  ( ( w  e.  u  /\  (
g  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( ( g ` 
0 )  =  x  /\  ( g ` 
1 )  =  w ) ) )  /\  y  e.  u )
)  /\  ( h  e.  ( II  Cn  ( Jt  s ) )  /\  ( ( h ` 
0 )  =  w  /\  ( h ` 
1 )  =  y ) ) )  -> 
( ( g ( *p `  J ) h ) `  0
)  =  x )
5439, 44pco1 18513 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  (
x  e.  U. J  /\  z  e.  U. J
) )  /\  (
s  e.  ~P U. J  /\  ( z  e.  u  /\  u  C_  s  /\  ( Jt  s )  e. PCon ) ) )  /\  ( ( w  e.  u  /\  (
g  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( ( g ` 
0 )  =  x  /\  ( g ` 
1 )  =  w ) ) )  /\  y  e.  u )
)  /\  ( h  e.  ( II  Cn  ( Jt  s ) )  /\  ( ( h ` 
0 )  =  w  /\  ( h ` 
1 )  =  y ) ) )  -> 
( ( g ( *p `  J ) h ) `  1
)  =  ( h `
 1 ) )
55 simprrr 741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  (
x  e.  U. J  /\  z  e.  U. J
) )  /\  (
s  e.  ~P U. J  /\  ( z  e.  u  /\  u  C_  s  /\  ( Jt  s )  e. PCon ) ) )  /\  ( ( w  e.  u  /\  (
g  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( ( g ` 
0 )  =  x  /\  ( g ` 
1 )  =  w ) ) )  /\  y  e.  u )
)  /\  ( h  e.  ( II  Cn  ( Jt  s ) )  /\  ( ( h ` 
0 )  =  w  /\  ( h ` 
1 )  =  y ) ) )  -> 
( h `  1
)  =  y )
5654, 55eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  (
x  e.  U. J  /\  z  e.  U. J
) )  /\  (
s  e.  ~P U. J  /\  ( z  e.  u  /\  u  C_  s  /\  ( Jt  s )  e. PCon ) ) )  /\  ( ( w  e.  u  /\  (
g  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( ( g ` 
0 )  =  x  /\  ( g ` 
1 )  =  w ) ) )  /\  y  e.  u )
)  /\  ( h  e.  ( II  Cn  ( Jt  s ) )  /\  ( ( h ` 
0 )  =  w  /\  ( h ` 
1 )  =  y ) ) )  -> 
( ( g ( *p `  J ) h ) `  1
)  =  y )
57 fveq1 5524 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( f  =  ( g ( *p `  J ) h )  ->  (
f `  0 )  =  ( ( g ( *p `  J
) h ) ` 
0 ) )
5857eqeq1d 2291 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( f  =  ( g ( *p `  J ) h )  ->  (
( f `  0
)  =  x  <->  ( (
g ( *p `  J ) h ) `
 0 )  =  x ) )
59 fveq1 5524 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( f  =  ( g ( *p `  J ) h )  ->  (
f `  1 )  =  ( ( g ( *p `  J
) h ) ` 
1 ) )
6059eqeq1d 2291 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( f  =  ( g ( *p `  J ) h )  ->  (
( f `  1
)  =  y  <->  ( (
g ( *p `  J ) h ) `
 1 )  =  y ) )
6158, 60anbi12d 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( f  =  ( g ( *p `  J ) h )  ->  (
( ( f ` 
0 )  =  x  /\  ( f ` 
1 )  =  y )  <->  ( ( ( g ( *p `  J ) h ) `
 0 )  =  x  /\  ( ( g ( *p `  J ) h ) `
 1 )  =  y ) ) )
6261rspcev 2884 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( g ( *p
`  J ) h )  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( ( ( g ( *p `  J
) h ) ` 
0 )  =  x  /\  ( ( g ( *p `  J
) h ) ` 
1 )  =  y ) )  ->  E. f  e.  ( II  Cn  J
) ( ( f `
 0 )  =  x  /\  ( f `
 1 )  =  y ) )
6350, 53, 56, 62syl12anc 1180 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  (
x  e.  U. J  /\  z  e.  U. J
) )  /\  (
s  e.  ~P U. J  /\  ( z  e.  u  /\  u  C_  s  /\  ( Jt  s )  e. PCon ) ) )  /\  ( ( w  e.  u  /\  (
g  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( ( g ` 
0 )  =  x  /\  ( g ` 
1 )  =  w ) ) )  /\  y  e.  u )
)  /\  ( h  e.  ( II  Cn  ( Jt  s ) )  /\  ( ( h ` 
0 )  =  w  /\  ( h ` 
1 )  =  y ) ) )  ->  E. f  e.  (
II  Cn  J )
( ( f ` 
0 )  =  x  /\  ( f ` 
1 )  =  y ) )
6463expr 598 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  (
x  e.  U. J  /\  z  e.  U. J
) )  /\  (
s  e.  ~P U. J  /\  ( z  e.  u  /\  u  C_  s  /\  ( Jt  s )  e. PCon ) ) )  /\  ( ( w  e.  u  /\  (
g  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( ( g ` 
0 )  =  x  /\  ( g ` 
1 )  =  w ) ) )  /\  y  e.  u )
)  /\  h  e.  ( II  Cn  ( Jt  s ) ) )  ->  ( ( ( h `  0 )  =  w  /\  (
h `  1 )  =  y )  ->  E. f  e.  (
II  Cn  J )
( ( f ` 
0 )  =  x  /\  ( f ` 
1 )  =  y ) ) )
6564rexlimdva 2667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  ( x  e. 
U. J  /\  z  e.  U. J ) )  /\  ( s  e. 
~P U. J  /\  (
z  e.  u  /\  u  C_  s  /\  ( Jt  s )  e. PCon )
) )  /\  (
( w  e.  u  /\  ( g  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( ( g `
 0 )  =  x  /\  ( g `
 1 )  =  w ) ) )  /\  y  e.  u
) )  ->  ( E. h  e.  (
II  Cn  ( Jt  s
) ) ( ( h `  0 )  =  w  /\  (
h `  1 )  =  y )  ->  E. f  e.  (
II  Cn  J )
( ( f ` 
0 )  =  x  /\  ( f ` 
1 )  =  y ) ) )
6637, 65mpd 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  ( x  e. 
U. J  /\  z  e.  U. J ) )  /\  ( s  e. 
~P U. J  /\  (
z  e.  u  /\  u  C_  s  /\  ( Jt  s )  e. PCon )
) )  /\  (
( w  e.  u  /\  ( g  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( ( g `
 0 )  =  x  /\  ( g `
 1 )  =  w ) ) )  /\  y  e.  u
) )  ->  E. f  e.  ( II  Cn  J
) ( ( f `
 0 )  =  x  /\  ( f `
 1 )  =  y ) )
6766anassrs 629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  (
x  e.  U. J  /\  z  e.  U. J
) )  /\  (
s  e.  ~P U. J  /\  ( z  e.  u  /\  u  C_  s  /\  ( Jt  s )  e. PCon ) ) )  /\  ( w  e.  u  /\  ( g  e.  ( II  Cn  J )  /\  (
( g `  0
)  =  x  /\  ( g `  1
)  =  w ) ) ) )  /\  y  e.  u )  ->  E. f  e.  ( II  Cn  J ) ( ( f ` 
0 )  =  x  /\  ( f ` 
1 )  =  y ) )
6867ralrimiva 2626 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  ( x  e. 
U. J  /\  z  e.  U. J ) )  /\  ( s  e. 
~P U. J  /\  (
z  e.  u  /\  u  C_  s  /\  ( Jt  s )  e. PCon )
) )  /\  (
w  e.  u  /\  ( g  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( ( g `
 0 )  =  x  /\  ( g `
 1 )  =  w ) ) ) )  ->  A. y  e.  u  E. f  e.  ( II  Cn  J
) ( ( f `
 0 )  =  x  /\  ( f `
 1 )  =  y ) )
6968anassrs 629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  (
x  e.  U. J  /\  z  e.  U. J
) )  /\  (
s  e.  ~P U. J  /\  ( z  e.  u  /\  u  C_  s  /\  ( Jt  s )  e. PCon ) ) )  /\  w  e.  u
)  /\  ( g  e.  ( II  Cn  J
)  /\  ( (
g `  0 )  =  x  /\  (
g `  1 )  =  w ) ) )  ->  A. y  e.  u  E. f  e.  (
II  Cn  J )
( ( f ` 
0 )  =  x  /\  ( f ` 
1 )  =  y ) )
7069expr 598 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  (
x  e.  U. J  /\  z  e.  U. J
) )  /\  (
s  e.  ~P U. J  /\  ( z  e.  u  /\  u  C_  s  /\  ( Jt  s )  e. PCon ) ) )  /\  w  e.  u
)  /\  g  e.  ( II  Cn  J
) )  ->  (
( ( g ` 
0 )  =  x  /\  ( g ` 
1 )  =  w )  ->  A. y  e.  u  E. f  e.  ( II  Cn  J
) ( ( f `
 0 )  =  x  /\  ( f `
 1 )  =  y ) ) )
7170rexlimdva 2667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  ( x  e. 
U. J  /\  z  e.  U. J ) )  /\  ( s  e. 
~P U. J  /\  (
z  e.  u  /\  u  C_  s  /\  ( Jt  s )  e. PCon )
) )  /\  w  e.  u )  ->  ( E. g  e.  (
II  Cn  J )
( ( g ` 
0 )  =  x  /\  ( g ` 
1 )  =  w )  ->  A. y  e.  u  E. f  e.  ( II  Cn  J
) ( ( f `
 0 )  =  x  /\  ( f `
 1 )  =  y ) ) )
7221adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  ( x  e. 
U. J  /\  z  e.  U. J ) )  /\  ( s  e. 
~P U. J  /\  (
z  e.  u  /\  u  C_  s  /\  ( Jt  s )  e. PCon )
) )  /\  w  e.  u )  ->  u  C_  s )
73 simplrl 736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  ( x  e. 
U. J  /\  z  e.  U. J ) )  /\  ( s  e. 
~P U. J  /\  (
z  e.  u  /\  u  C_  s  /\  ( Jt  s )  e. PCon )
) )  /\  w  e.  u )  ->  s  e.  ~P U. J )
7473, 26syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  ( x  e. 
U. J  /\  z  e.  U. J ) )  /\  ( s  e. 
~P U. J  /\  (
z  e.  u  /\  u  C_  s  /\  ( Jt  s )  e. PCon )
) )  /\  w  e.  u )  ->  s  C_ 
U. J )
7572, 74sstrd 3189 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  ( x  e. 
U. J  /\  z  e.  U. J ) )  /\  ( s  e. 
~P U. J  /\  (
z  e.  u  /\  u  C_  s  /\  ( Jt  s )  e. PCon )
) )  /\  w  e.  u )  ->  u  C_ 
U. J )
7671, 75jctild 527 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  ( x  e. 
U. J  /\  z  e.  U. J ) )  /\  ( s  e. 
~P U. J  /\  (
z  e.  u  /\  u  C_  s  /\  ( Jt  s )  e. PCon )
) )  /\  w  e.  u )  ->  ( E. g  e.  (
II  Cn  J )
( ( g ` 
0 )  =  x  /\  ( g ` 
1 )  =  w )  ->  ( u  C_ 
U. J  /\  A. y  e.  u  E. f  e.  ( II  Cn  J ) ( ( f `  0 )  =  x  /\  (
f `  1 )  =  y ) ) ) )
77 fveq1 5524 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( f  =  g  ->  (
f `  0 )  =  ( g ` 
0 ) )
7877eqeq1d 2291 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( f  =  g  ->  (
( f `  0
)  =  x  <->  ( g `  0 )  =  x ) )
79 fveq1 5524 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( f  =  g  ->  (
f `  1 )  =  ( g ` 
1 ) )
8079eqeq1d 2291 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( f  =  g  ->  (
( f `  1
)  =  w  <->  ( g `  1 )  =  w ) )
8178, 80anbi12d 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( f  =  g  ->  (
( ( f ` 
0 )  =  x  /\  ( f ` 
1 )  =  w )  <->  ( ( g `
 0 )  =  x  /\  ( g `
 1 )  =  w ) ) )
8281cbvrexv 2765 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( E. f  e.  ( II 
Cn  J ) ( ( f `  0
)  =  x  /\  ( f `  1
)  =  w )  <->  E. g  e.  (
II  Cn  J )
( ( g ` 
0 )  =  x  /\  ( g ` 
1 )  =  w ) )
83 ssrab 3251 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( u 
C_  { y  e. 
U. J  |  E. f  e.  ( II  Cn  J ) ( ( f `  0 )  =  x  /\  (
f `  1 )  =  y ) }  <-> 
( u  C_  U. J  /\  A. y  e.  u  E. f  e.  (
II  Cn  J )
( ( f ` 
0 )  =  x  /\  ( f ` 
1 )  =  y ) ) )
8476, 82, 833imtr4g 261 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  ( x  e. 
U. J  /\  z  e.  U. J ) )  /\  ( s  e. 
~P U. J  /\  (
z  e.  u  /\  u  C_  s  /\  ( Jt  s )  e. PCon )
) )  /\  w  e.  u )  ->  ( E. f  e.  (
II  Cn  J )
( ( f ` 
0 )  =  x  /\  ( f ` 
1 )  =  w )  ->  u  C_  { y  e.  U. J  |  E. f  e.  (
II  Cn  J )
( ( f ` 
0 )  =  x  /\  ( f ` 
1 )  =  y ) } ) )
8518, 84syl5 28 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  ( x  e. 
U. J  /\  z  e.  U. J ) )  /\  ( s  e. 
~P U. J  /\  (
z  e.  u  /\  u  C_  s  /\  ( Jt  s )  e. PCon )
) )  /\  w  e.  u )  ->  (
w  e.  { y  e.  U. J  |  E. f  e.  (
II  Cn  J )
( ( f ` 
0 )  =  x  /\  ( f ` 
1 )  =  y ) }  ->  u  C_ 
{ y  e.  U. J  |  E. f  e.  ( II  Cn  J
) ( ( f `
 0 )  =  x  /\  ( f `
 1 )  =  y ) } ) )
8685ralrimiva 2626 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( J  e. 
Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  ( x  e.  U. J  /\  z  e.  U. J ) )  /\  ( s  e.  ~P U. J  /\  ( z  e.  u  /\  u  C_  s  /\  ( Jt  s )  e. PCon ) ) )  ->  A. w  e.  u  ( w  e.  { y  e.  U. J  |  E. f  e.  ( II  Cn  J
) ( ( f `
 0 )  =  x  /\  ( f `
 1 )  =  y ) }  ->  u 
C_  { y  e. 
U. J  |  E. f  e.  ( II  Cn  J ) ( ( f `  0 )  =  x  /\  (
f `  1 )  =  y ) } ) )
8713, 86jca 518 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( J  e. 
Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  ( x  e.  U. J  /\  z  e.  U. J ) )  /\  ( s  e.  ~P U. J  /\  ( z  e.  u  /\  u  C_  s  /\  ( Jt  s )  e. PCon ) ) )  ->  ( z  e.  u  /\  A. w  e.  u  ( w  e.  { y  e.  U. J  |  E. f  e.  ( II  Cn  J
) ( ( f `
 0 )  =  x  /\  ( f `
 1 )  =  y ) }  ->  u 
C_  { y  e. 
U. J  |  E. f  e.  ( II  Cn  J ) ( ( f `  0 )  =  x  /\  (
f `  1 )  =  y ) } ) ) )
8887expr 598 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e. 
Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  ( x  e.  U. J  /\  z  e.  U. J ) )  /\  s  e.  ~P U. J
)  ->  ( (
z  e.  u  /\  u  C_  s  /\  ( Jt  s )  e. PCon )  ->  ( z  e.  u  /\  A. w  e.  u  ( w  e.  { y  e.  U. J  |  E. f  e.  (
II  Cn  J )
( ( f ` 
0 )  =  x  /\  ( f ` 
1 )  =  y ) }  ->  u  C_ 
{ y  e.  U. J  |  E. f  e.  ( II  Cn  J
) ( ( f `
 0 )  =  x  /\  ( f `
 1 )  =  y ) } ) ) ) )
8988reximdv 2654 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e. 
Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  ( x  e.  U. J  /\  z  e.  U. J ) )  /\  s  e.  ~P U. J
)  ->  ( E. u  e.  J  (
z  e.  u  /\  u  C_  s  /\  ( Jt  s )  e. PCon )  ->  E. u  e.  J  ( z  e.  u  /\  A. w  e.  u  ( w  e.  { y  e.  U. J  |  E. f  e.  (
II  Cn  J )
( ( f ` 
0 )  =  x  /\  ( f ` 
1 )  =  y ) }  ->  u  C_ 
{ y  e.  U. J  |  E. f  e.  ( II  Cn  J
) ( ( f `
 0 )  =  x  /\  ( f `
 1 )  =  y ) } ) ) ) )
9089rexlimdva 2667 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  (
x  e.  U. J  /\  z  e.  U. J
) )  ->  ( E. s  e.  ~P  U. J E. u  e.  J  ( z  e.  u  /\  u  C_  s  /\  ( Jt  s )  e. PCon )  ->  E. u  e.  J  ( z  e.  u  /\  A. w  e.  u  ( w  e.  { y  e.  U. J  |  E. f  e.  ( II  Cn  J
) ( ( f `
 0 )  =  x  /\  ( f `
 1 )  =  y ) }  ->  u 
C_  { y  e. 
U. J  |  E. f  e.  ( II  Cn  J ) ( ( f `  0 )  =  x  /\  (
f `  1 )  =  y ) } ) ) ) )
9112, 90mpd 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  (
x  e.  U. J  /\  z  e.  U. J
) )  ->  E. u  e.  J  ( z  e.  u  /\  A. w  e.  u  ( w  e.  { y  e.  U. J  |  E. f  e.  ( II  Cn  J
) ( ( f `
 0 )  =  x  /\  ( f `
 1 )  =  y ) }  ->  u 
C_  { y  e. 
U. J  |  E. f  e.  ( II  Cn  J ) ( ( f `  0 )  =  x  /\  (
f `  1 )  =  y ) } ) ) )
9291anassrs 629 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e. 
Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  x  e.  U. J
)  /\  z  e.  U. J )  ->  E. u  e.  J  ( z  e.  u  /\  A. w  e.  u  ( w  e.  { y  e.  U. J  |  E. f  e.  ( II  Cn  J
) ( ( f `
 0 )  =  x  /\  ( f `
 1 )  =  y ) }  ->  u 
C_  { y  e. 
U. J  |  E. f  e.  ( II  Cn  J ) ( ( f `  0 )  =  x  /\  (
f `  1 )  =  y ) } ) ) )
9392ralrimiva 2626 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  x  e.  U. J )  ->  A. z  e.  U. J E. u  e.  J  ( z  e.  u  /\  A. w  e.  u  ( w  e.  { y  e.  U. J  |  E. f  e.  (
II  Cn  J )
( ( f ` 
0 )  =  x  /\  ( f ` 
1 )  =  y ) }  ->  u  C_ 
{ y  e.  U. J  |  E. f  e.  ( II  Cn  J
) ( ( f `
 0 )  =  x  /\  ( f `
 1 )  =  y ) } ) ) )
941ad2antrr 706 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  x  e.  U. J )  ->  J  e.  Top )
95 ssrab2 3258 . . . . . . . . 9  |-  { y  e.  U. J  |  E. f  e.  (
II  Cn  J )
( ( f ` 
0 )  =  x  /\  ( f ` 
1 )  =  y ) }  C_  U. J
963isclo2 16825 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  Top  /\  { y  e.  U. J  |  E. f  e.  ( II  Cn  J ) ( ( f ` 
0 )  =  x  /\  ( f ` 
1 )  =  y ) }  C_  U. J
)  ->  ( {
y  e.  U. J  |  E. f  e.  ( II  Cn  J ) ( ( f ` 
0 )  =  x  /\  ( f ` 
1 )  =  y ) }  e.  ( J  i^i  ( Clsd `  J ) )  <->  A. z  e.  U. J E. u  e.  J  ( z  e.  u  /\  A. w  e.  u  ( w  e.  { y  e.  U. J  |  E. f  e.  ( II  Cn  J
) ( ( f `
 0 )  =  x  /\  ( f `
 1 )  =  y ) }  ->  u 
C_  { y  e. 
U. J  |  E. f  e.  ( II  Cn  J ) ( ( f `  0 )  =  x  /\  (
f `  1 )  =  y ) } ) ) ) )
9794, 95, 96sylancl 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  x  e.  U. J )  -> 
( { y  e. 
U. J  |  E. f  e.  ( II  Cn  J ) ( ( f `  0 )  =  x  /\  (
f `  1 )  =  y ) }  e.  ( J  i^i  ( Clsd `  J )
)  <->  A. z  e.  U. J E. u  e.  J  ( z  e.  u  /\  A. w  e.  u  ( w  e.  { y  e.  U. J  |  E. f  e.  (
II  Cn  J )
( ( f ` 
0 )  =  x  /\  ( f ` 
1 )  =  y ) }  ->  u  C_ 
{ y  e.  U. J  |  E. f  e.  ( II  Cn  J
) ( ( f `
 0 )  =  x  /\  ( f `
 1 )  =  y ) } ) ) ) )
9893, 97mpbird 223 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  x  e.  U. J )  ->  { y  e.  U. J  |  E. f  e.  ( II  Cn  J
) ( ( f `
 0 )  =  x  /\  ( f `
 1 )  =  y ) }  e.  ( J  i^i  ( Clsd `  J ) ) )
995, 98sseldi 3178 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  x  e.  U. J )  ->  { y  e.  U. J  |  E. f  e.  ( II  Cn  J
) ( ( f `
 0 )  =  x  /\  ( f `
 1 )  =  y ) }  e.  J )
100 simpr 447 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  x  e.  U. J )  ->  x  e.  U. J )
101 iitopon 18383 . . . . . . . . . 10  |-  II  e.  (TopOn `  ( 0 [,] 1 ) )
102101a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  x  e.  U. J )  ->  II  e.  (TopOn `  (
0 [,] 1 ) ) )
1033toptopon 16671 . . . . . . . . . 10  |-  ( J  e.  Top  <->  J  e.  (TopOn `  U. J ) )
10494, 103sylib 188 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  x  e.  U. J )  ->  J  e.  (TopOn `  U. J ) )
105 cnconst2 17011 . . . . . . . . 9  |-  ( ( II  e.  (TopOn `  ( 0 [,] 1
) )  /\  J  e.  (TopOn `  U. J )  /\  x  e.  U. J )  ->  (
( 0 [,] 1
)  X.  { x } )  e.  ( II  Cn  J ) )
106102, 104, 100, 105syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  x  e.  U. J )  -> 
( ( 0 [,] 1 )  X.  {
x } )  e.  ( II  Cn  J
) )
107 0elunit 10754 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  ( 0 [,] 1
)
108 vex 2791 . . . . . . . . . 10  |-  x  e. 
_V
109108fvconst2 5729 . . . . . . . . 9  |-  ( 0  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  (
( ( 0 [,] 1 )  X.  {
x } ) ` 
0 )  =  x )
110107, 109mp1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  x  e.  U. J )  -> 
( ( ( 0 [,] 1 )  X. 
{ x } ) `
 0 )  =  x )
111 1elunit 10755 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  ( 0 [,] 1
)
112108fvconst2 5729 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  (
( ( 0 [,] 1 )  X.  {
x } ) ` 
1 )  =  x )
113111, 112mp1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  x  e.  U. J )  -> 
( ( ( 0 [,] 1 )  X. 
{ x } ) `
 1 )  =  x )
114 eqeq2 2292 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  x  ->  (
( f `  1
)  =  y  <->  ( f `  1 )  =  x ) )
115114anbi2d 684 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  x  ->  (
( ( f ` 
0 )  =  x  /\  ( f ` 
1 )  =  y )  <->  ( ( f `
 0 )  =  x  /\  ( f `
 1 )  =  x ) ) )
116 fveq1 5524 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  ( ( 0 [,] 1 )  X. 
{ x } )  ->  ( f ` 
0 )  =  ( ( ( 0 [,] 1 )  X.  {
x } ) ` 
0 ) )
117116eqeq1d 2291 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  ( ( 0 [,] 1 )  X. 
{ x } )  ->  ( ( f `
 0 )  =  x  <->  ( ( ( 0 [,] 1 )  X.  { x }
) `  0 )  =  x ) )
118 fveq1 5524 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  ( ( 0 [,] 1 )  X. 
{ x } )  ->  ( f ` 
1 )  =  ( ( ( 0 [,] 1 )  X.  {
x } ) ` 
1 ) )
119118eqeq1d 2291 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  ( ( 0 [,] 1 )  X. 
{ x } )  ->  ( ( f `
 1 )  =  x  <->  ( ( ( 0 [,] 1 )  X.  { x }
) `  1 )  =  x ) )
120117, 119anbi12d 691 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  ( ( 0 [,] 1 )  X. 
{ x } )  ->  ( ( ( f `  0 )  =  x  /\  (
f `  1 )  =  x )  <->  ( (
( ( 0 [,] 1 )  X.  {
x } ) ` 
0 )  =  x  /\  ( ( ( 0 [,] 1 )  X.  { x }
) `  1 )  =  x ) ) )
121115, 120rspc2ev 2892 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  U. J  /\  ( ( 0 [,] 1 )  X.  {
x } )  e.  ( II  Cn  J
)  /\  ( (
( ( 0 [,] 1 )  X.  {
x } ) ` 
0 )  =  x  /\  ( ( ( 0 [,] 1 )  X.  { x }
) `  1 )  =  x ) )  ->  E. y  e.  U. J E. f  e.  (
II  Cn  J )
( ( f ` 
0 )  =  x  /\  ( f ` 
1 )  =  y ) )
122100, 106, 110, 113, 121syl112anc 1186 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  x  e.  U. J )  ->  E. y  e.  U. J E. f  e.  (
II  Cn  J )
( ( f ` 
0 )  =  x  /\  ( f ` 
1 )  =  y ) )
123 rabn0 3474 . . . . . . 7  |-  ( { y  e.  U. J  |  E. f  e.  ( II  Cn  J ) ( ( f ` 
0 )  =  x  /\  ( f ` 
1 )  =  y ) }  =/=  (/)  <->  E. y  e.  U. J E. f  e.  ( II  Cn  J
) ( ( f `
 0 )  =  x  /\  ( f `
 1 )  =  y ) )
124122, 123sylibr 203 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  x  e.  U. J )  ->  { y  e.  U. J  |  E. f  e.  ( II  Cn  J
) ( ( f `
 0 )  =  x  /\  ( f `
 1 )  =  y ) }  =/=  (/) )
125 inss2 3390 . . . . . . 7  |-  ( J  i^i  ( Clsd `  J
) )  C_  ( Clsd `  J )
126125, 98sseldi 3178 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  x  e.  U. J )  ->  { y  e.  U. J  |  E. f  e.  ( II  Cn  J
) ( ( f `
 0 )  =  x  /\  ( f `
 1 )  =  y ) }  e.  ( Clsd `  J )
)
1273, 4, 99, 124, 126conclo 17141 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  x  e.  U. J )  ->  { y  e.  U. J  |  E. f  e.  ( II  Cn  J
) ( ( f `
 0 )  =  x  /\  ( f `
 1 )  =  y ) }  =  U. J )
128127eqcomd 2288 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  x  e.  U. J )  ->  U. J  =  {
y  e.  U. J  |  E. f  e.  ( II  Cn  J ) ( ( f ` 
0 )  =  x  /\  ( f ` 
1 )  =  y ) } )
129 rabid2 2717 . . . 4  |-  ( U. J  =  { y  e.  U. J  |  E. f  e.  ( II  Cn  J ) ( ( f `  0 )  =  x  /\  (
f `  1 )  =  y ) }  <->  A. y  e.  U. J E. f  e.  (
II  Cn  J )
( ( f ` 
0 )  =  x  /\  ( f ` 
1 )  =  y ) )
130128, 129sylib 188 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  /\  x  e.  U. J )  ->  A. y  e.  U. J E. f  e.  (
II  Cn  J )
( ( f ` 
0 )  =  x  /\  ( f ` 
1 )  =  y ) )
131130ralrimiva 2626 . 2  |-  ( ( J  e.  Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  ->  A. x  e.  U. J A. y  e.  U. J E. f  e.  ( II  Cn  J
) ( ( f `
 0 )  =  x  /\  ( f `
 1 )  =  y ) )
1323ispcon 23754 . 2  |-  ( J  e. PCon 
<->  ( J  e.  Top  /\ 
A. x  e.  U. J A. y  e.  U. J E. f  e.  ( II  Cn  J ) ( ( f ` 
0 )  =  x  /\  ( f ` 
1 )  =  y ) ) )
1332, 131, 132sylanbrc 645 1  |-  ( ( J  e.  Con  /\  J  e. 𝑛Locally PCon )  ->  J  e. PCon
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544   {crab 2547    i^i cin 3151    C_ wss 3152   (/)c0 3455   ~Pcpw 3625   {csn 3640   U.cuni 3827    X. cxp 4687   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   0cc0 8737   1c1 8738   [,]cicc 10659   ↾t crest 13325   Topctop 16631  TopOnctopon 16632   Clsdccld 16753    Cn ccn 16954   Conccon 17137  𝑛Locally cnlly 17191   IIcii 18379   *pcpco 18498  PConcpcon 23750
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ioo 10660  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-hom 13232  df-cco 13233  df-rest 13327  df-topn 13328  df-topgen 13344  df-pt 13345  df-prds 13348  df-xrs 13403  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-qtop 13410  df-imas 13411  df-xps 13413  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-mulg 14492  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-cnfld 16378  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-cld 16756  df-nei 16835  df-cn 16957  df-cnp 16958  df-con 17138  df-nlly 17193  df-tx 17257  df-hmeo 17446  df-xms 17885  df-ms 17886  df-tms 17887  df-ii 18381  df-pco 18503  df-pcon 23752
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