MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  constr3lem2 Structured version   Unicode version

Theorem constr3lem2 21638
Description: Lemma for constr3trl 21651 etc. (Contributed by Alexander van der Vekens, 10-Nov-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
constr3cycl.f  |-  F  =  { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { C ,  A } ) >. }
constr3cycl.p  |-  P  =  ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  u.  { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  A >. } )
Assertion
Ref Expression
constr3lem2  |-  ( # `  F )  =  3

Proof of Theorem constr3lem2
StepHypRef Expression
1 constr3cycl.f . 2  |-  F  =  { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { C ,  A } ) >. }
2 ax-1ne0 9064 . . . . . 6  |-  1  =/=  0
32necomi 2688 . . . . 5  |-  0  =/=  1
4 c0ex 9090 . . . . . . 7  |-  0  e.  _V
5 fvex 5745 . . . . . . 7  |-  ( `' E `  { A ,  B } )  e. 
_V
64, 5opth1 4437 . . . . . 6  |-  ( <.
0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >.  =  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >.  ->  0  =  1 )
76necon3i 2645 . . . . 5  |-  ( 0  =/=  1  ->  <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >.  =/=  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >.
)
83, 7ax-mp 5 . . . 4  |-  <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >.  =/=  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >.
9 1ne2 10192 . . . . 5  |-  1  =/=  2
10 1ex 9091 . . . . . . 7  |-  1  e.  _V
11 fvex 5745 . . . . . . 7  |-  ( `' E `  { B ,  C } )  e. 
_V
1210, 11opth1 4437 . . . . . 6  |-  ( <.
1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >.  =  <. 2 ,  ( `' E `  { C ,  A } ) >.  ->  1  =  2 )
1312necon3i 2645 . . . . 5  |-  ( 1  =/=  2  ->  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >.  =/=  <. 2 ,  ( `' E `  { C ,  A } ) >.
)
149, 13ax-mp 5 . . . 4  |-  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >.  =/=  <. 2 ,  ( `' E `  { C ,  A } ) >.
15 2ne0 10088 . . . . 5  |-  2  =/=  0
16 2z 10317 . . . . . . . 8  |-  2  e.  ZZ
1716elexi 2967 . . . . . . 7  |-  2  e.  _V
18 fvex 5745 . . . . . . 7  |-  ( `' E `  { C ,  A } )  e. 
_V
1917, 18opth1 4437 . . . . . 6  |-  ( <.
2 ,  ( `' E `  { C ,  A } ) >.  =  <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >.  ->  2  =  0 )
2019necon3i 2645 . . . . 5  |-  ( 2  =/=  0  ->  <. 2 ,  ( `' E `  { C ,  A } ) >.  =/=  <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >.
)
2115, 20ax-mp 5 . . . 4  |-  <. 2 ,  ( `' E `  { C ,  A } ) >.  =/=  <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >.
228, 14, 213pm3.2i 1133 . . 3  |-  ( <.
0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >.  =/=  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >.  /\  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >.  =/=  <. 2 ,  ( `' E `  { C ,  A } ) >.  /\  <. 2 ,  ( `' E `  { C ,  A } ) >.  =/=  <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >.
)
23 fveq2 5731 . . . . 5  |-  ( F  =  { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { C ,  A } ) >. }  ->  ( # `  F
)  =  ( # `  { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { C ,  A } ) >. } ) )
2423eqeq1d 2446 . . . 4  |-  ( F  =  { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { C ,  A } ) >. }  ->  ( ( # `  F )  =  3  <-> 
( # `  { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { C ,  A } ) >. } )  =  3 ) )
25 opex 4430 . . . . 5  |-  <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >.  e.  _V
26 opex 4430 . . . . 5  |-  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >.  e.  _V
27 opex 4430 . . . . 5  |-  <. 2 ,  ( `' E `  { C ,  A } ) >.  e.  _V
28 hashtpg 11696 . . . . 5  |-  ( (
<. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >.  e.  _V  /\  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >.  e.  _V  /\ 
<. 2 ,  ( `' E `  { C ,  A } ) >.  e.  _V )  ->  (
( <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >.  =/=  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >.  /\  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >.  =/=  <. 2 ,  ( `' E `  { C ,  A } ) >.  /\  <. 2 ,  ( `' E `  { C ,  A } ) >.  =/=  <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >.
)  <->  ( # `  { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { C ,  A } ) >. } )  =  3 ) )
2925, 26, 27, 28mp3an 1280 . . . 4  |-  ( (
<. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >.  =/=  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >.  /\  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >.  =/=  <. 2 ,  ( `' E `  { C ,  A } ) >.  /\  <. 2 ,  ( `' E `  { C ,  A } ) >.  =/=  <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >.
)  <->  ( # `  { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { C ,  A } ) >. } )  =  3 )
3024, 29syl6rbbr 257 . . 3  |-  ( F  =  { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { C ,  A } ) >. }  ->  ( ( <.
0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >.  =/=  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >.  /\  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >.  =/=  <. 2 ,  ( `' E `  { C ,  A } ) >.  /\  <. 2 ,  ( `' E `  { C ,  A } ) >.  =/=  <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >.
)  <->  ( # `  F
)  =  3 ) )
3122, 30mpbii 204 . 2  |-  ( F  =  { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { C ,  A } ) >. }  ->  ( # `  F
)  =  3 )
321, 31ax-mp 5 1  |-  ( # `  F )  =  3
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 178    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2601   _Vcvv 2958    u. cun 3320   {cpr 3817   {ctp 3818   <.cop 3819   `'ccnv 4880   ` cfv 5457   0cc0 8995   1c1 8996   2c2 10054   3c3 10055   ZZcz 10287   #chash 11623
This theorem is referenced by:  constr3trllem2  21643  constr3trllem3  21644  constr3trllem4  21645  constr3trllem5  21646  constr3pthlem1  21647  constr3pthlem3  21649  constr3cycllem1  21650  constr3cycl  21653
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-oadd 6731  df-er 6908  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-card 7831  df-cda 8053  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-n0 10227  df-z 10288  df-uz 10494  df-fz 11049  df-hash 11624
  Copyright terms: Public domain W3C validator