MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  constr3pthlem1 Structured version   Unicode version

Theorem constr3pthlem1 21644
Description: Lemma for constr3pth 21649. (Contributed by Alexander van der Vekens, 13-Nov-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
constr3cycl.f  |-  F  =  { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { C ,  A } ) >. }
constr3cycl.p  |-  P  =  ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  u.  { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  A >. } )
Assertion
Ref Expression
constr3pthlem1  |-  ( ( B  e.  V  /\  C  e.  W )  ->  ( P  |`  (
1..^ ( # `  F
) ) )  =  { <. 1 ,  B >. ,  <. 2 ,  C >. } )

Proof of Theorem constr3pthlem1
StepHypRef Expression
1 df-pr 3823 . . . . . . 7  |-  { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. }  =  ( {
<. 0 ,  A >. }  u.  { <. 1 ,  B >. } )
21reseq1i 5144 . . . . . 6  |-  ( {
<. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  |`  { 1 ,  2 } )  =  ( ( {
<. 0 ,  A >. }  u.  { <. 1 ,  B >. } )  |`  { 1 ,  2 } )
3 resundir 5163 . . . . . 6  |-  ( ( { <. 0 ,  A >. }  u.  { <. 1 ,  B >. } )  |`  { 1 ,  2 } )  =  ( ( {
<. 0 ,  A >. }  |`  { 1 ,  2 } )  u.  ( { <. 1 ,  B >. }  |`  { 1 ,  2 } ) )
42, 3eqtri 2458 . . . . 5  |-  ( {
<. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  |`  { 1 ,  2 } )  =  ( ( {
<. 0 ,  A >. }  |`  { 1 ,  2 } )  u.  ( { <. 1 ,  B >. }  |`  { 1 ,  2 } ) )
5 ax-1ne0 9061 . . . . . . . . . 10  |-  1  =/=  0
65necomi 2688 . . . . . . . . 9  |-  0  =/=  1
7 2ne0 10085 . . . . . . . . . 10  |-  2  =/=  0
87necomi 2688 . . . . . . . . 9  |-  0  =/=  2
96, 8nelpri 3837 . . . . . . . 8  |-  -.  0  e.  { 1 ,  2 }
10 ressnop0 5915 . . . . . . . 8  |-  ( -.  0  e.  { 1 ,  2 }  ->  ( { <. 0 ,  A >. }  |`  { 1 ,  2 } )  =  (/) )
119, 10ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  ( {
<. 0 ,  A >. }  |`  { 1 ,  2 } )  =  (/)
1211uneq1i 3499 . . . . . 6  |-  ( ( { <. 0 ,  A >. }  |`  { 1 ,  2 } )  u.  ( { <. 1 ,  B >. }  |`  { 1 ,  2 } ) )  =  ( (/)  u.  ( { <. 1 ,  B >. }  |`  { 1 ,  2 } ) )
13 uncom 3493 . . . . . . . 8  |-  ( (/)  u.  ( { <. 1 ,  B >. }  |`  { 1 ,  2 } ) )  =  ( ( { <. 1 ,  B >. }  |`  { 1 ,  2 } )  u.  (/) )
14 un0 3654 . . . . . . . 8  |-  ( ( { <. 1 ,  B >. }  |`  { 1 ,  2 } )  u.  (/) )  =  ( { <. 1 ,  B >. }  |`  { 1 ,  2 } )
1513, 14eqtri 2458 . . . . . . 7  |-  ( (/)  u.  ( { <. 1 ,  B >. }  |`  { 1 ,  2 } ) )  =  ( {
<. 1 ,  B >. }  |`  { 1 ,  2 } )
16 1re 9092 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  RR
1716jctl 527 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  V  ->  (
1  e.  RR  /\  B  e.  V )
)
1817adantr 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  V  /\  C  e.  W )  ->  ( 1  e.  RR  /\  B  e.  V ) )
19 funsng 5499 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  B  e.  V )  ->  Fun  { <. 1 ,  B >. } )
20 funrel 5473 . . . . . . . . 9  |-  ( Fun 
{ <. 1 ,  B >. }  ->  Rel  { <. 1 ,  B >. } )
2118, 19, 203syl 19 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  V  /\  C  e.  W )  ->  Rel  { <. 1 ,  B >. } )
22 dmsnopss 5344 . . . . . . . . 9  |-  dom  { <. 1 ,  B >. } 
C_  { 1 }
23 snsspr1 3949 . . . . . . . . 9  |-  { 1 }  C_  { 1 ,  2 }
2422, 23sstri 3359 . . . . . . . 8  |-  dom  { <. 1 ,  B >. } 
C_  { 1 ,  2 }
25 relssres 5185 . . . . . . . 8  |-  ( ( Rel  { <. 1 ,  B >. }  /\  dom  {
<. 1 ,  B >. }  C_  { 1 ,  2 } )  ->  ( { <. 1 ,  B >. }  |`  { 1 ,  2 } )  =  { <. 1 ,  B >. } )
2621, 24, 25sylancl 645 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  V  /\  C  e.  W )  ->  ( { <. 1 ,  B >. }  |`  { 1 ,  2 } )  =  { <. 1 ,  B >. } )
2715, 26syl5eq 2482 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  V  /\  C  e.  W )  ->  ( (/)  u.  ( { <. 1 ,  B >. }  |`  { 1 ,  2 } ) )  =  { <. 1 ,  B >. } )
2812, 27syl5eq 2482 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  V  /\  C  e.  W )  ->  ( ( { <. 0 ,  A >. }  |`  { 1 ,  2 } )  u.  ( { <. 1 ,  B >. }  |`  { 1 ,  2 } ) )  =  { <. 1 ,  B >. } )
294, 28syl5eq 2482 . . . 4  |-  ( ( B  e.  V  /\  C  e.  W )  ->  ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  |`  { 1 ,  2 } )  =  { <. 1 ,  B >. } )
30 df-pr 3823 . . . . . . 7  |-  { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  A >. }  =  ( {
<. 2 ,  C >. }  u.  { <. 3 ,  A >. } )
3130reseq1i 5144 . . . . . 6  |-  ( {
<. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. }  |`  { 1 ,  2 } )  =  ( ( {
<. 2 ,  C >. }  u.  { <. 3 ,  A >. } )  |`  { 1 ,  2 } )
32 resundir 5163 . . . . . 6  |-  ( ( { <. 2 ,  C >. }  u.  { <. 3 ,  A >. } )  |`  { 1 ,  2 } )  =  ( ( {
<. 2 ,  C >. }  |`  { 1 ,  2 } )  u.  ( { <. 3 ,  A >. }  |`  { 1 ,  2 } ) )
3331, 32eqtri 2458 . . . . 5  |-  ( {
<. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. }  |`  { 1 ,  2 } )  =  ( ( {
<. 2 ,  C >. }  |`  { 1 ,  2 } )  u.  ( { <. 3 ,  A >. }  |`  { 1 ,  2 } ) )
34 1lt3 10146 . . . . . . . . . 10  |-  1  <  3
3516, 34gtneii 9187 . . . . . . . . 9  |-  3  =/=  1
36 2re 10071 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  RR
37 2lt3 10145 . . . . . . . . . 10  |-  2  <  3
3836, 37gtneii 9187 . . . . . . . . 9  |-  3  =/=  2
3935, 38nelpri 3837 . . . . . . . 8  |-  -.  3  e.  { 1 ,  2 }
40 ressnop0 5915 . . . . . . . 8  |-  ( -.  3  e.  { 1 ,  2 }  ->  ( { <. 3 ,  A >. }  |`  { 1 ,  2 } )  =  (/) )
4139, 40ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  ( {
<. 3 ,  A >. }  |`  { 1 ,  2 } )  =  (/)
4241uneq2i 3500 . . . . . 6  |-  ( ( { <. 2 ,  C >. }  |`  { 1 ,  2 } )  u.  ( { <. 3 ,  A >. }  |`  { 1 ,  2 } ) )  =  ( ( { <. 2 ,  C >. }  |`  { 1 ,  2 } )  u.  (/) )
43 un0 3654 . . . . . . 7  |-  ( ( { <. 2 ,  C >. }  |`  { 1 ,  2 } )  u.  (/) )  =  ( { <. 2 ,  C >. }  |`  { 1 ,  2 } )
44 2z 10314 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  ZZ
45 funsng 5499 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  C  e.  W )  ->  Fun  { <. 2 ,  C >. } )
4644, 45mpan 653 . . . . . . . . . 10  |-  ( C  e.  W  ->  Fun  {
<. 2 ,  C >. } )
47 funrel 5473 . . . . . . . . . 10  |-  ( Fun 
{ <. 2 ,  C >. }  ->  Rel  { <. 2 ,  C >. } )
4846, 47syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( C  e.  W  ->  Rel  {
<. 2 ,  C >. } )
4948adantl 454 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  V  /\  C  e.  W )  ->  Rel  { <. 2 ,  C >. } )
50 dmsnopss 5344 . . . . . . . . 9  |-  dom  { <. 2 ,  C >. } 
C_  { 2 }
51 snsspr2 3950 . . . . . . . . 9  |-  { 2 }  C_  { 1 ,  2 }
5250, 51sstri 3359 . . . . . . . 8  |-  dom  { <. 2 ,  C >. } 
C_  { 1 ,  2 }
53 relssres 5185 . . . . . . . 8  |-  ( ( Rel  { <. 2 ,  C >. }  /\  dom  {
<. 2 ,  C >. }  C_  { 1 ,  2 } )  ->  ( { <. 2 ,  C >. }  |`  { 1 ,  2 } )  =  { <. 2 ,  C >. } )
5449, 52, 53sylancl 645 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  V  /\  C  e.  W )  ->  ( { <. 2 ,  C >. }  |`  { 1 ,  2 } )  =  { <. 2 ,  C >. } )
5543, 54syl5eq 2482 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  V  /\  C  e.  W )  ->  ( ( { <. 2 ,  C >. }  |`  { 1 ,  2 } )  u.  (/) )  =  { <. 2 ,  C >. } )
5642, 55syl5eq 2482 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  V  /\  C  e.  W )  ->  ( ( { <. 2 ,  C >. }  |`  { 1 ,  2 } )  u.  ( { <. 3 ,  A >. }  |`  { 1 ,  2 } ) )  =  { <. 2 ,  C >. } )
5733, 56syl5eq 2482 . . . 4  |-  ( ( B  e.  V  /\  C  e.  W )  ->  ( { <. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. }  |`  { 1 ,  2 } )  =  { <. 2 ,  C >. } )
5829, 57uneq12d 3504 . . 3  |-  ( ( B  e.  V  /\  C  e.  W )  ->  ( ( { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. }  |`  { 1 ,  2 } )  u.  ( { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  A >. }  |`  { 1 ,  2 } ) )  =  ( {
<. 1 ,  B >. }  u.  { <. 2 ,  C >. } ) )
59 resundir 5163 . . 3  |-  ( ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  u.  { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  A >. } )  |`  { 1 ,  2 } )  =  ( ( {
<. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  |`  { 1 ,  2 } )  u.  ( { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  A >. }  |`  { 1 ,  2 } ) )
60 df-pr 3823 . . 3  |-  { <. 1 ,  B >. , 
<. 2 ,  C >. }  =  ( {
<. 1 ,  B >. }  u.  { <. 2 ,  C >. } )
6158, 59, 603eqtr4g 2495 . 2  |-  ( ( B  e.  V  /\  C  e.  W )  ->  ( ( { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. }  u.  { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  A >. } )  |`  { 1 ,  2 } )  =  { <. 1 ,  B >. ,  <. 2 ,  C >. } )
62 constr3cycl.p . . 3  |-  P  =  ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  u.  { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  A >. } )
63 id 21 . . . . 5  |-  ( P  =  ( { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. }  u.  { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  A >. } )  ->  P  =  ( { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. }  u.  { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  A >. } ) )
64 constr3cycl.f . . . . . . . . 9  |-  F  =  { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { C ,  A } ) >. }
6564, 62constr3lem2 21635 . . . . . . . 8  |-  ( # `  F )  =  3
6665oveq2i 6094 . . . . . . 7  |-  ( 1..^ ( # `  F
) )  =  ( 1..^ 3 )
67 3nn0 10241 . . . . . . . . 9  |-  3  e.  NN0
6867nn0zi 10308 . . . . . . . 8  |-  3  e.  ZZ
69 fzoval 11143 . . . . . . . 8  |-  ( 3  e.  ZZ  ->  (
1..^ 3 )  =  ( 1 ... (
3  -  1 ) ) )
7068, 69ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  ( 1..^ 3 )  =  ( 1 ... ( 3  -  1 ) )
71 3m1e2 10098 . . . . . . . . . 10  |-  ( 3  -  1 )  =  2
72 df-2 10060 . . . . . . . . . 10  |-  2  =  ( 1  +  1 )
7371, 72eqtri 2458 . . . . . . . . 9  |-  ( 3  -  1 )  =  ( 1  +  1 )
7473oveq2i 6094 . . . . . . . 8  |-  ( 1 ... ( 3  -  1 ) )  =  ( 1 ... (
1  +  1 ) )
75 1z 10313 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  ZZ
76 fzpr 11103 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  (
1 ... ( 1  +  1 ) )  =  { 1 ,  ( 1  +  1 ) } )
7775, 76ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( 1 ... ( 1  +  1 ) )  =  { 1 ,  ( 1  +  1 ) }
78 1p1e2 10096 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  +  1 )  =  2
7978preq2i 3889 . . . . . . . 8  |-  { 1 ,  ( 1  +  1 ) }  =  { 1 ,  2 }
8074, 77, 793eqtri 2462 . . . . . . 7  |-  ( 1 ... ( 3  -  1 ) )  =  { 1 ,  2 }
8166, 70, 803eqtri 2462 . . . . . 6  |-  ( 1..^ ( # `  F
) )  =  {
1 ,  2 }
8281a1i 11 . . . . 5  |-  ( P  =  ( { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. }  u.  { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  A >. } )  ->  (
1..^ ( # `  F
) )  =  {
1 ,  2 } )
8363, 82reseq12d 5149 . . . 4  |-  ( P  =  ( { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. }  u.  { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  A >. } )  ->  ( P  |`  ( 1..^ (
# `  F )
) )  =  ( ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  u.  { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  A >. } )  |`  { 1 ,  2 } ) )
8483eqeq1d 2446 . . 3  |-  ( P  =  ( { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. }  u.  { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  A >. } )  ->  (
( P  |`  (
1..^ ( # `  F
) ) )  =  { <. 1 ,  B >. ,  <. 2 ,  C >. }  <->  ( ( {
<. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  u.  { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  A >. } )  |`  { 1 ,  2 } )  =  { <. 1 ,  B >. ,  <. 2 ,  C >. } ) )
8562, 84ax-mp 8 . 2  |-  ( ( P  |`  ( 1..^ ( # `  F
) ) )  =  { <. 1 ,  B >. ,  <. 2 ,  C >. }  <->  ( ( {
<. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  u.  { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  A >. } )  |`  { 1 ,  2 } )  =  { <. 1 ,  B >. ,  <. 2 ,  C >. } )
8661, 85sylibr 205 1  |-  ( ( B  e.  V  /\  C  e.  W )  ->  ( P  |`  (
1..^ ( # `  F
) ) )  =  { <. 1 ,  B >. ,  <. 2 ,  C >. } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726    u. cun 3320    C_ wss 3322   (/)c0 3630   {csn 3816   {cpr 3817   {ctp 3818   <.cop 3819   `'ccnv 4879   dom cdm 4880    |` cres 4882   Rel wrel 4885   Fun wfun 5450   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   RRcr 8991   0cc0 8992   1c1 8993    + caddc 8995    - cmin 9293   2c2 10051   3c3 10052   ZZcz 10284   ...cfz 11045  ..^cfzo 11137   #chash 11620
This theorem is referenced by:  constr3pthlem2  21645
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-oadd 6730  df-er 6907  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-card 7828  df-cda 8050  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-n0 10224  df-z 10285  df-uz 10491  df-fz 11046  df-fzo 11138  df-hash 11621
  Copyright terms: Public domain W3C validator