MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  constr3trllem1 Structured version   Unicode version

Theorem constr3trllem1 21642
Description: Lemma for constr3trl 21651. (Contributed by Alexander van der Vekens, 10-Nov-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
constr3cycl.f  |-  F  =  { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { C ,  A } ) >. }
constr3cycl.p  |-  P  =  ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  u.  { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  A >. } )
Assertion
Ref Expression
constr3trllem1  |-  ( ( V USGrph  E  /\  ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) )  ->  F  e. Word  dom  E )

Proof of Theorem constr3trllem1
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 c0ex 9090 . . . . 5  |-  0  e.  _V
2 1ex 9091 . . . . 5  |-  1  e.  _V
3 2z 10317 . . . . . 6  |-  2  e.  ZZ
43elexi 2967 . . . . 5  |-  2  e.  _V
5 fvex 5745 . . . . 5  |-  ( `' E `  { A ,  B } )  e. 
_V
6 fvex 5745 . . . . 5  |-  ( `' E `  { B ,  C } )  e. 
_V
7 fvex 5745 . . . . 5  |-  ( `' E `  { C ,  A } )  e. 
_V
8 ax-1ne0 9064 . . . . . 6  |-  1  =/=  0
98necomi 2688 . . . . 5  |-  0  =/=  1
10 2ne0 10088 . . . . . 6  |-  2  =/=  0
1110necomi 2688 . . . . 5  |-  0  =/=  2
12 1ne2 10192 . . . . 5  |-  1  =/=  2
131, 2, 4, 5, 6, 7, 9, 11, 12ftp 5920 . . . 4  |-  { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { C ,  A } ) >. } : { 0 ,  1 ,  2 } --> { ( `' E `  { A ,  B } ) ,  ( `' E `  { B ,  C } ) ,  ( `' E `  { C ,  A }
) }
14 constr3cycl.f . . . . . 6  |-  F  =  { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { C ,  A } ) >. }
1514a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( V USGrph  E  /\  ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) )  ->  F  =  { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { C ,  A } ) >. } )
16 fzo0to3tp 11190 . . . . . 6  |-  ( 0..^ 3 )  =  {
0 ,  1 ,  2 }
1716a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( V USGrph  E  /\  ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) )  ->  ( 0..^ 3 )  =  { 0 ,  1 ,  2 } )
1815, 17feq12d 5585 . . . 4  |-  ( ( V USGrph  E  /\  ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) )  ->  ( F :
( 0..^ 3 ) --> { ( `' E `  { A ,  B } ) ,  ( `' E `  { B ,  C } ) ,  ( `' E `  { C ,  A }
) }  <->  { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { C ,  A } ) >. } : { 0 ,  1 ,  2 } --> { ( `' E `  { A ,  B } ) ,  ( `' E `  { B ,  C } ) ,  ( `' E `  { C ,  A }
) } ) )
1913, 18mpbiri 226 . . 3  |-  ( ( V USGrph  E  /\  ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) )  ->  F : ( 0..^ 3 ) --> { ( `' E `  { A ,  B }
) ,  ( `' E `  { B ,  C } ) ,  ( `' E `  { C ,  A }
) } )
20 usgraf 21380 . . . . . 6  |-  ( V USGrph  E  ->  E : dom  E
-1-1-> { x  e.  ( ~P V  \  { (/)
} )  |  (
# `  x )  =  2 } )
21 f1f1orn 5688 . . . . . 6  |-  ( E : dom  E -1-1-> {
x  e.  ( ~P V  \  { (/) } )  |  ( # `  x )  =  2 }  ->  E : dom  E -1-1-onto-> ran  E )
22 f1ocnvdm 6021 . . . . . . . . 9  |-  ( ( E : dom  E -1-1-onto-> ran  E  /\  { A ,  B }  e.  ran  E )  ->  ( `' E `  { A ,  B } )  e. 
dom  E )
23223ad2antr1 1123 . . . . . . . 8  |-  ( ( E : dom  E -1-1-onto-> ran  E  /\  ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) )  ->  ( `' E `  { A ,  B } )  e. 
dom  E )
24 f1ocnvdm 6021 . . . . . . . . 9  |-  ( ( E : dom  E -1-1-onto-> ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E )  ->  ( `' E `  { B ,  C } )  e. 
dom  E )
25243ad2antr2 1124 . . . . . . . 8  |-  ( ( E : dom  E -1-1-onto-> ran  E  /\  ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) )  ->  ( `' E `  { B ,  C } )  e. 
dom  E )
26 f1ocnvdm 6021 . . . . . . . . 9  |-  ( ( E : dom  E -1-1-onto-> ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E )  ->  ( `' E `  { C ,  A } )  e. 
dom  E )
27263ad2antr3 1125 . . . . . . . 8  |-  ( ( E : dom  E -1-1-onto-> ran  E  /\  ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) )  ->  ( `' E `  { C ,  A } )  e. 
dom  E )
2823, 25, 273jca 1135 . . . . . . 7  |-  ( ( E : dom  E -1-1-onto-> ran  E  /\  ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) )  ->  (
( `' E `  { A ,  B }
)  e.  dom  E  /\  ( `' E `  { B ,  C }
)  e.  dom  E  /\  ( `' E `  { C ,  A }
)  e.  dom  E
) )
2928ex 425 . . . . . 6  |-  ( E : dom  E -1-1-onto-> ran  E  ->  ( ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E )  ->  ( ( `' E `  { A ,  B } )  e. 
dom  E  /\  ( `' E `  { B ,  C } )  e. 
dom  E  /\  ( `' E `  { C ,  A } )  e. 
dom  E ) ) )
3020, 21, 293syl 19 . . . . 5  |-  ( V USGrph  E  ->  ( ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E )  -> 
( ( `' E `  { A ,  B } )  e.  dom  E  /\  ( `' E `  { B ,  C } )  e.  dom  E  /\  ( `' E `  { C ,  A } )  e.  dom  E ) ) )
3130imp 420 . . . 4  |-  ( ( V USGrph  E  /\  ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) )  ->  ( ( `' E `  { A ,  B } )  e. 
dom  E  /\  ( `' E `  { B ,  C } )  e. 
dom  E  /\  ( `' E `  { C ,  A } )  e. 
dom  E ) )
325, 6, 7tpss 3966 . . . 4  |-  ( ( ( `' E `  { A ,  B }
)  e.  dom  E  /\  ( `' E `  { B ,  C }
)  e.  dom  E  /\  ( `' E `  { C ,  A }
)  e.  dom  E
)  <->  { ( `' E `  { A ,  B } ) ,  ( `' E `  { B ,  C } ) ,  ( `' E `  { C ,  A }
) }  C_  dom  E )
3331, 32sylib 190 . . 3  |-  ( ( V USGrph  E  /\  ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) )  ->  { ( `' E `  { A ,  B } ) ,  ( `' E `  { B ,  C }
) ,  ( `' E `  { C ,  A } ) } 
C_  dom  E )
3419, 33jca 520 . 2  |-  ( ( V USGrph  E  /\  ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) )  ->  ( F :
( 0..^ 3 ) --> { ( `' E `  { A ,  B } ) ,  ( `' E `  { B ,  C } ) ,  ( `' E `  { C ,  A }
) }  /\  {
( `' E `  { A ,  B }
) ,  ( `' E `  { B ,  C } ) ,  ( `' E `  { C ,  A }
) }  C_  dom  E ) )
35 fss 5602 . 2  |-  ( ( F : ( 0..^ 3 ) --> { ( `' E `  { A ,  B } ) ,  ( `' E `  { B ,  C }
) ,  ( `' E `  { C ,  A } ) }  /\  { ( `' E `  { A ,  B } ) ,  ( `' E `  { B ,  C }
) ,  ( `' E `  { C ,  A } ) } 
C_  dom  E )  ->  F : ( 0..^ 3 ) --> dom  E
)
36 iswrdi 11736 . 2  |-  ( F : ( 0..^ 3 ) --> dom  E  ->  F  e. Word  dom  E )
3734, 35, 363syl 19 1  |-  ( ( V USGrph  E  /\  ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) )  ->  F  e. Word  dom  E )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726   {crab 2711    \ cdif 3319    u. cun 3320    C_ wss 3322   (/)c0 3630   ~Pcpw 3801   {csn 3816   {cpr 3817   {ctp 3818   <.cop 3819   class class class wbr 4215   `'ccnv 4880   dom cdm 4881   ran crn 4882   -->wf 5453   -1-1->wf1 5454   -1-1-onto->wf1o 5456   ` cfv 5457  (class class class)co 6084   0cc0 8995   1c1 8996   2c2 10054   3c3 10055   ZZcz 10287  ..^cfzo 11140   #chash 11623  Word cword 11722   USGrph cusg 21370
This theorem is referenced by:  constr3trllem2  21643  constr3trl  21651
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-oadd 6731  df-er 6908  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-n0 10227  df-z 10288  df-uz 10494  df-fz 11049  df-fzo 11141  df-word 11728  df-usgra 21372
  Copyright terms: Public domain W3C validator