MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  constr3trllem3 Structured version   Unicode version

Theorem constr3trllem3 21644
Description: Lemma for constr3trl 21651. (Contributed by Alexander van der Vekens, 11-Nov-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
constr3cycl.f  |-  F  =  { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { C ,  A } ) >. }
constr3cycl.p  |-  P  =  ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  u.  { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  A >. } )
Assertion
Ref Expression
constr3trllem3  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V )

Proof of Theorem constr3trllem3
StepHypRef Expression
1 0z 10298 . . . . . 6  |-  0  e.  ZZ
2 1z 10316 . . . . . 6  |-  1  e.  ZZ
31, 2pm3.2i 443 . . . . 5  |-  ( 0  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )
43a1i 11 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  ( 0  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ ) )
5 3simpa 955 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  ( A  e.  V  /\  B  e.  V
) )
6 ax-1ne0 9064 . . . . . 6  |-  1  =/=  0
76necomi 2688 . . . . 5  |-  0  =/=  1
87a1i 11 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  0  =/=  1 )
9 fprg 5918 . . . . 5  |-  ( ( ( 0  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  0  =/=  1 )  ->  { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. } : { 0 ,  1 } --> { A ,  B } )
10 0p1e1 10098 . . . . . . . . 9  |-  ( 0  +  1 )  =  1
1110eqcomi 2442 . . . . . . . 8  |-  1  =  ( 0  +  1 )
1211oveq2i 6095 . . . . . . 7  |-  ( 0 ... 1 )  =  ( 0 ... (
0  +  1 ) )
13 fzpr 11106 . . . . . . . 8  |-  ( 0  e.  ZZ  ->  (
0 ... ( 0  +  1 ) )  =  { 0 ,  ( 0  +  1 ) } )
141, 13ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( 0 ... ( 0  +  1 ) )  =  { 0 ,  ( 0  +  1 ) }
1510preq2i 3889 . . . . . . 7  |-  { 0 ,  ( 0  +  1 ) }  =  { 0 ,  1 }
1612, 14, 153eqtri 2462 . . . . . 6  |-  ( 0 ... 1 )  =  { 0 ,  1 }
1716feq2i 5589 . . . . 5  |-  ( {
<. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } : ( 0 ... 1 ) --> { A ,  B }  <->  {
<. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } : { 0 ,  1 } --> { A ,  B } )
189, 17sylibr 205 . . . 4  |-  ( ( ( 0  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  0  =/=  1 )  ->  { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. } : ( 0 ... 1 ) --> { A ,  B }
)
194, 5, 8, 18syl3anc 1185 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } : ( 0 ... 1 ) --> { A ,  B }
)
20 prssi 3956 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  ->  { A ,  B }  C_  V )
21203adant3 978 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  { A ,  B }  C_  V )
22 fss 5602 . . 3  |-  ( ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } : ( 0 ... 1 ) --> { A ,  B }  /\  { A ,  B }  C_  V )  ->  { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } : ( 0 ... 1 ) --> V )
2319, 21, 22syl2anc 644 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } : ( 0 ... 1 ) --> V )
24 2nn0 10243 . . . . . 6  |-  2  e.  NN0
25 3nn0 10244 . . . . . 6  |-  3  e.  NN0
2624, 25pm3.2i 443 . . . . 5  |-  ( 2  e.  NN0  /\  3  e.  NN0 )
2726a1i 11 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  ( 2  e.  NN0  /\  3  e.  NN0 )
)
28 pm3.22 438 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  ( C  e.  V  /\  A  e.  V
) )
29283adant2 977 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  ( C  e.  V  /\  A  e.  V
) )
30 2re 10074 . . . . . 6  |-  2  e.  RR
31 2lt3 10148 . . . . . 6  |-  2  <  3
3230, 31ltneii 9191 . . . . 5  |-  2  =/=  3
3332a1i 11 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  2  =/=  3 )
34 fprg 5918 . . . . 5  |-  ( ( ( 2  e.  NN0  /\  3  e.  NN0 )  /\  ( C  e.  V  /\  A  e.  V
)  /\  2  =/=  3 )  ->  { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  A >. } : { 2 ,  3 } --> { C ,  A } )
35 constr3cycl.f . . . . . . . . . 10  |-  F  =  { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { C ,  A } ) >. }
36 constr3cycl.p . . . . . . . . . 10  |-  P  =  ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  u.  { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  A >. } )
3735, 36constr3lem2 21638 . . . . . . . . 9  |-  ( # `  F )  =  3
38 df-3 10064 . . . . . . . . 9  |-  3  =  ( 2  +  1 )
3937, 38eqtri 2458 . . . . . . . 8  |-  ( # `  F )  =  ( 2  +  1 )
4039oveq2i 6095 . . . . . . 7  |-  ( 2 ... ( # `  F
) )  =  ( 2 ... ( 2  +  1 ) )
41 2z 10317 . . . . . . . 8  |-  2  e.  ZZ
42 fzpr 11106 . . . . . . . 8  |-  ( 2  e.  ZZ  ->  (
2 ... ( 2  +  1 ) )  =  { 2 ,  ( 2  +  1 ) } )
4341, 42ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( 2 ... ( 2  +  1 ) )  =  { 2 ,  ( 2  +  1 ) }
4438eqcomi 2442 . . . . . . . 8  |-  ( 2  +  1 )  =  3
4544preq2i 3889 . . . . . . 7  |-  { 2 ,  ( 2  +  1 ) }  =  { 2 ,  3 }
4640, 43, 453eqtri 2462 . . . . . 6  |-  ( 2 ... ( # `  F
) )  =  {
2 ,  3 }
4746feq2i 5589 . . . . 5  |-  ( {
<. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. } : ( 2 ... ( # `  F
) ) --> { C ,  A }  <->  { <. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. } : {
2 ,  3 } --> { C ,  A } )
4834, 47sylibr 205 . . . 4  |-  ( ( ( 2  e.  NN0  /\  3  e.  NN0 )  /\  ( C  e.  V  /\  A  e.  V
)  /\  2  =/=  3 )  ->  { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  A >. } : ( 2 ... ( # `  F
) ) --> { C ,  A } )
4927, 29, 33, 48syl3anc 1185 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  { <. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. } : ( 2 ... ( # `  F
) ) --> { C ,  A } )
50 prssi 3956 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  V  /\  A  e.  V )  ->  { C ,  A }  C_  V )
5150ancoms 441 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  { C ,  A }  C_  V )
52513adant2 977 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  { C ,  A }  C_  V )
53 fss 5602 . . 3  |-  ( ( { <. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. } : ( 2 ... ( # `  F
) ) --> { C ,  A }  /\  { C ,  A }  C_  V )  ->  { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  A >. } : ( 2 ... ( # `  F
) ) --> V )
5449, 52, 53syl2anc 644 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  { <. 2 ,  C >. ,  <. 3 ,  A >. } : ( 2 ... ( # `  F
) ) --> V )
55 1lt2 10147 . . 3  |-  1  <  2
56 fzdisj 11083 . . 3  |-  ( 1  <  2  ->  (
( 0 ... 1
)  i^i  ( 2 ... ( # `  F
) ) )  =  (/) )
5755, 56mp1i 12 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  ( ( 0 ... 1 )  i^i  (
2 ... ( # `  F
) ) )  =  (/) )
58 fun 5610 . . 3  |-  ( ( ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } : ( 0 ... 1 ) --> V  /\  { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  A >. } : ( 2 ... ( # `  F
) ) --> V )  /\  ( ( 0 ... 1 )  i^i  ( 2 ... ( # `
 F ) ) )  =  (/) )  -> 
( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  u.  { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  A >. } ) : ( ( 0 ... 1
)  u.  ( 2 ... ( # `  F
) ) ) --> ( V  u.  V ) )
5936a1i 11 . . . 4  |-  ( ( ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } : ( 0 ... 1 ) --> V  /\  { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  A >. } : ( 2 ... ( # `  F
) ) --> V )  /\  ( ( 0 ... 1 )  i^i  ( 2 ... ( # `
 F ) ) )  =  (/) )  ->  P  =  ( { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. }  u.  { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  A >. } ) )
60 3nn 10139 . . . . . . 7  |-  3  e.  NN
6137, 60eqeltri 2508 . . . . . 6  |-  ( # `  F )  e.  NN
62 elnnuz 10527 . . . . . 6  |-  ( (
# `  F )  e.  NN  <->  ( # `  F
)  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
6361, 62mpbi 201 . . . . 5  |-  ( # `  F )  e.  (
ZZ>= `  1 )
64 0le1 9556 . . . . . . . . 9  |-  0  <_  1
6564a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
# `  F )  e.  ( ZZ>= `  1 )  ->  0  <_  1 )
66 eluzle 10503 . . . . . . . 8  |-  ( (
# `  F )  e.  ( ZZ>= `  1 )  ->  1  <_  ( # `  F
) )
67 eluzelz 10501 . . . . . . . . 9  |-  ( (
# `  F )  e.  ( ZZ>= `  1 )  ->  ( # `  F
)  e.  ZZ )
68 elfz 11054 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  0  e.  ZZ  /\  ( # `
 F )  e.  ZZ )  ->  (
1  e.  ( 0 ... ( # `  F
) )  <->  ( 0  <_  1  /\  1  <_  ( # `  F
) ) ) )
692, 1, 68mp3an12 1270 . . . . . . . . 9  |-  ( (
# `  F )  e.  ZZ  ->  ( 1  e.  ( 0 ... ( # `  F
) )  <->  ( 0  <_  1  /\  1  <_  ( # `  F
) ) ) )
7067, 69syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
# `  F )  e.  ( ZZ>= `  1 )  ->  ( 1  e.  ( 0 ... ( # `  F ) )  <->  ( 0  <_  1  /\  1  <_  ( # `  F
) ) ) )
7165, 66, 70mpbir2and 890 . . . . . . 7  |-  ( (
# `  F )  e.  ( ZZ>= `  1 )  ->  1  e.  ( 0 ... ( # `  F
) ) )
72 fzsplit 11082 . . . . . . 7  |-  ( 1  e.  ( 0 ... ( # `  F
) )  ->  (
0 ... ( # `  F
) )  =  ( ( 0 ... 1
)  u.  ( ( 1  +  1 ) ... ( # `  F
) ) ) )
7371, 72syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
# `  F )  e.  ( ZZ>= `  1 )  ->  ( 0 ... ( # `
 F ) )  =  ( ( 0 ... 1 )  u.  ( ( 1  +  1 ) ... ( # `
 F ) ) ) )
74 df-2 10063 . . . . . . . 8  |-  2  =  ( 1  +  1 )
7574oveq1i 6094 . . . . . . 7  |-  ( 2 ... ( # `  F
) )  =  ( ( 1  +  1 ) ... ( # `  F ) )
7675uneq2i 3500 . . . . . 6  |-  ( ( 0 ... 1 )  u.  ( 2 ... ( # `  F
) ) )  =  ( ( 0 ... 1 )  u.  (
( 1  +  1 ) ... ( # `  F ) ) )
7773, 76syl6eqr 2488 . . . . 5  |-  ( (
# `  F )  e.  ( ZZ>= `  1 )  ->  ( 0 ... ( # `
 F ) )  =  ( ( 0 ... 1 )  u.  ( 2 ... ( # `
 F ) ) ) )
7863, 77mp1i 12 . . . 4  |-  ( ( ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } : ( 0 ... 1 ) --> V  /\  { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  A >. } : ( 2 ... ( # `  F
) ) --> V )  /\  ( ( 0 ... 1 )  i^i  ( 2 ... ( # `
 F ) ) )  =  (/) )  -> 
( 0 ... ( # `
 F ) )  =  ( ( 0 ... 1 )  u.  ( 2 ... ( # `
 F ) ) ) )
79 unidm 3492 . . . . . 6  |-  ( V  u.  V )  =  V
8079eqcomi 2442 . . . . 5  |-  V  =  ( V  u.  V
)
8180a1i 11 . . . 4  |-  ( ( ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } : ( 0 ... 1 ) --> V  /\  { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  A >. } : ( 2 ... ( # `  F
) ) --> V )  /\  ( ( 0 ... 1 )  i^i  ( 2 ... ( # `
 F ) ) )  =  (/) )  ->  V  =  ( V  u.  V ) )
8259, 78, 81feq123d 5586 . . 3  |-  ( ( ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } : ( 0 ... 1 ) --> V  /\  { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  A >. } : ( 2 ... ( # `  F
) ) --> V )  /\  ( ( 0 ... 1 )  i^i  ( 2 ... ( # `
 F ) ) )  =  (/) )  -> 
( P : ( 0 ... ( # `  F ) ) --> V  <-> 
( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  u.  { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  A >. } ) : ( ( 0 ... 1
)  u.  ( 2 ... ( # `  F
) ) ) --> ( V  u.  V ) ) )
8358, 82mpbird 225 . 2  |-  ( ( ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } : ( 0 ... 1 ) --> V  /\  { <. 2 ,  C >. , 
<. 3 ,  A >. } : ( 2 ... ( # `  F
) ) --> V )  /\  ( ( 0 ... 1 )  i^i  ( 2 ... ( # `
 F ) ) )  =  (/) )  ->  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V )
8423, 54, 57, 83syl21anc 1184 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2601    u. cun 3320    i^i cin 3321    C_ wss 3322   (/)c0 3630   {cpr 3817   {ctp 3818   <.cop 3819   class class class wbr 4215   `'ccnv 4880   -->wf 5453   ` cfv 5457  (class class class)co 6084   0cc0 8995   1c1 8996    + caddc 8998    < clt 9125    <_ cle 9126   NNcn 10005   2c2 10054   3c3 10055   NN0cn0 10226   ZZcz 10287   ZZ>=cuz 10493   ...cfz 11048   #chash 11623
This theorem is referenced by:  constr3trllem4  21645  constr3trl  21651
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-oadd 6731  df-er 6908  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-card 7831  df-cda 8053  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-n0 10227  df-z 10288  df-uz 10494  df-fz 11049  df-hash 11624
  Copyright terms: Public domain W3C validator