Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  consuba Unicode version

Theorem consuba 17246
 Description: Connectedness for a subspace. See connsub 17247. (Contributed by FL, 29-May-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 10-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
consuba TopOn t
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,

Proof of Theorem consuba
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 resttopon 16992 . . 3 TopOn t TopOn
2 dfcon2 17245 . . 3 t TopOn t t t
31, 2syl 15 . 2 TopOn t t t
4 vex 2867 . . . . 5
54inex1 4234 . . . 4
65a1i 10 . . 3 TopOn
7 simpr 447 . . . . 5 TopOn
8 toponmax 16766 . . . . . 6 TopOn
98adantr 451 . . . . 5 TopOn
10 ssexg 4239 . . . . 5
117, 9, 10syl2anc 642 . . . 4 TopOn
12 elrest 13425 . . . 4 TopOn t
1311, 12syldan 456 . . 3 TopOn t
14 vex 2867 . . . . . 6
1514inex1 4234 . . . . 5
1615a1i 10 . . . 4 TopOn
17 elrest 13425 . . . . . 6 TopOn t
1811, 17syldan 456 . . . . 5 TopOn t
1918adantr 451 . . . 4 TopOn t
20 simplr 731 . . . . . . 7 TopOn
2120neeq1d 2534 . . . . . 6 TopOn
22 simpr 447 . . . . . . 7 TopOn
2322neeq1d 2534 . . . . . 6 TopOn
2420, 22ineq12d 3447 . . . . . . . 8 TopOn
25 inindir 3463 . . . . . . . 8
2624, 25syl6eqr 2408 . . . . . . 7 TopOn
2726eqeq1d 2366 . . . . . 6 TopOn
2821, 23, 273anbi123d 1252 . . . . 5 TopOn
2920, 22uneq12d 3406 . . . . . . 7 TopOn
30 indir 3493 . . . . . . 7
3129, 30syl6eqr 2408 . . . . . 6 TopOn
3231neeq1d 2534 . . . . 5 TopOn
3328, 32imbi12d 311 . . . 4 TopOn
3416, 19, 33ralxfr2d 4629 . . 3 TopOn t
356, 13, 34ralxfr2d 4629 . 2 TopOn t t
363, 35bitrd 244 1 TopOn t
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 176   wa 358   w3a 934   wceq 1642   wcel 1710   wne 2521  wral 2619  wrex 2620  cvv 2864   cun 3226   cin 3227   wss 3228  c0 3531  cfv 5334  (class class class)co 5942   ↾t crest 13418  TopOnctopon 16732  ccon 17237 This theorem is referenced by:  connsub  17247  nconsubb  17249 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-rep 4210  ax-sep 4220  ax-nul 4228  ax-pow 4267  ax-pr 4293  ax-un 4591 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3907  df-int 3942  df-iun 3986  df-br 4103  df-opab 4157  df-mpt 4158  df-tr 4193  df-eprel 4384  df-id 4388  df-po 4393  df-so 4394  df-fr 4431  df-we 4433  df-ord 4474  df-on 4475  df-lim 4476  df-suc 4477  df-om 4736  df-xp 4774  df-rel 4775  df-cnv 4776  df-co 4777  df-dm 4778  df-rn 4779  df-res 4780  df-ima 4781  df-iota 5298  df-fun 5336  df-fn 5337  df-f 5338  df-f1 5339  df-fo 5340  df-f1o 5341  df-fv 5342  df-ov 5945  df-oprab 5946  df-mpt2 5947  df-1st 6206  df-2nd 6207  df-recs 6472  df-rdg 6507  df-oadd 6567  df-er 6744  df-en 6949  df-fin 6952  df-fi 7252  df-rest 13420  df-topgen 13437  df-top 16736  df-bases 16738  df-topon 16739  df-cld 16856  df-con 17238
 Copyright terms: Public domain W3C validator