Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  consuba Structured version   Unicode version

Theorem consuba 17488
 Description: Connectedness for a subspace. See connsub 17489. (Contributed by FL, 29-May-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 10-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
consuba TopOn t
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,

Proof of Theorem consuba
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 resttopon 17230 . . 3 TopOn t TopOn
2 dfcon2 17487 . . 3 t TopOn t t t
31, 2syl 16 . 2 TopOn t t t
4 vex 2961 . . . . 5
54inex1 4347 . . . 4
65a1i 11 . . 3 TopOn
7 toponmax 16998 . . . . . 6 TopOn
87adantr 453 . . . . 5 TopOn
9 simpr 449 . . . . 5 TopOn
108, 9ssexd 4353 . . . 4 TopOn
11 elrest 13660 . . . 4 TopOn t
1210, 11syldan 458 . . 3 TopOn t
13 vex 2961 . . . . . 6
1413inex1 4347 . . . . 5
1514a1i 11 . . . 4 TopOn
16 elrest 13660 . . . . . 6 TopOn t
1710, 16syldan 458 . . . . 5 TopOn t
1817adantr 453 . . . 4 TopOn t
19 simplr 733 . . . . . . 7 TopOn
2019neeq1d 2616 . . . . . 6 TopOn
21 simpr 449 . . . . . . 7 TopOn
2221neeq1d 2616 . . . . . 6 TopOn
2319, 21ineq12d 3545 . . . . . . . 8 TopOn
24 inindir 3561 . . . . . . . 8
2523, 24syl6eqr 2488 . . . . . . 7 TopOn
2625eqeq1d 2446 . . . . . 6 TopOn
2720, 22, 263anbi123d 1255 . . . . 5 TopOn
2819, 21uneq12d 3504 . . . . . . 7 TopOn
29 indir 3591 . . . . . . 7
3028, 29syl6eqr 2488 . . . . . 6 TopOn
3130neeq1d 2616 . . . . 5 TopOn
3227, 31imbi12d 313 . . . 4 TopOn
3315, 18, 32ralxfr2d 4742 . . 3 TopOn t
346, 12, 33ralxfr2d 4742 . 2 TopOn t t
353, 34bitrd 246 1 TopOn t
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 178   wa 360   w3a 937   wceq 1653   wcel 1726   wne 2601  wral 2707  wrex 2708  cvv 2958   cun 3320   cin 3321   wss 3322  c0 3630  cfv 5457  (class class class)co 6084   ↾t crest 13653  TopOnctopon 16964  ccon 17479 This theorem is referenced by:  connsub  17489  nconsubb  17491 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-oadd 6731  df-er 6908  df-en 7113  df-fin 7116  df-fi 7419  df-rest 13655  df-topgen 13672  df-top 16968  df-bases 16970  df-topon 16971  df-cld 17088  df-con 17480
 Copyright terms: Public domain W3C validator