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Theorem copco 19033
Description: The composition of a concatenation of paths with a continuous function. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pcoval.2  |-  ( ph  ->  F  e.  ( II 
Cn  J ) )
pcoval.3  |-  ( ph  ->  G  e.  ( II 
Cn  J ) )
pcoval2.4  |-  ( ph  ->  ( F `  1
)  =  ( G `
 0 ) )
copco.6  |-  ( ph  ->  H  e.  ( J  Cn  K ) )
Assertion
Ref Expression
copco  |-  ( ph  ->  ( H  o.  ( F ( *p `  J ) G ) )  =  ( ( H  o.  F ) ( *p `  K
) ( H  o.  G ) ) )

Proof of Theorem copco
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pcoval.2 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F  e.  ( II 
Cn  J ) )
2 iiuni 18901 . . . . . . . . 9  |-  ( 0 [,] 1 )  = 
U. II
3 eqid 2435 . . . . . . . . 9  |-  U. J  =  U. J
42, 3cnf 17300 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  ( II  Cn  J )  ->  F : ( 0 [,] 1 ) --> U. J
)
51, 4syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F : ( 0 [,] 1 ) --> U. J )
6 elii1 18950 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( 0 [,] ( 1  /  2
) )  <->  ( x  e.  ( 0 [,] 1
)  /\  x  <_  ( 1  /  2 ) ) )
7 iihalf1 18946 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( 0 [,] ( 1  /  2
) )  ->  (
2  x.  x )  e.  ( 0 [,] 1 ) )
86, 7sylbir 205 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  x  <_  ( 1  / 
2 ) )  -> 
( 2  x.  x
)  e.  ( 0 [,] 1 ) )
9 fvco3 5792 . . . . . . 7  |-  ( ( F : ( 0 [,] 1 ) --> U. J  /\  ( 2  x.  x )  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
( H  o.  F
) `  ( 2  x.  x ) )  =  ( H `  ( F `  ( 2  x.  x ) ) ) )
105, 8, 9syl2an 464 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 0 [,] 1
)  /\  x  <_  ( 1  /  2 ) ) )  ->  (
( H  o.  F
) `  ( 2  x.  x ) )  =  ( H `  ( F `  ( 2  x.  x ) ) ) )
1110anassrs 630 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1
) )  /\  x  <_  ( 1  /  2
) )  ->  (
( H  o.  F
) `  ( 2  x.  x ) )  =  ( H `  ( F `  ( 2  x.  x ) ) ) )
1211ifeq1da 3756 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  if ( x  <_  ( 1  /  2 ) ,  ( ( H  o.  F ) `  (
2  x.  x ) ) ,  ( ( H  o.  G ) `
 ( ( 2  x.  x )  - 
1 ) ) )  =  if ( x  <_  ( 1  / 
2 ) ,  ( H `  ( F `
 ( 2  x.  x ) ) ) ,  ( ( H  o.  G ) `  ( ( 2  x.  x )  -  1 ) ) ) )
13 pcoval.3 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  G  e.  ( II 
Cn  J ) )
142, 3cnf 17300 . . . . . . . 8  |-  ( G  e.  ( II  Cn  J )  ->  G : ( 0 [,] 1 ) --> U. J
)
1513, 14syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  G : ( 0 [,] 1 ) --> U. J )
16 elii2 18951 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  -.  x  <_  ( 1  /  2 ) )  ->  x  e.  ( ( 1  /  2
) [,] 1 ) )
17 iihalf2 18948 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( ( 1  /  2 ) [,] 1 )  ->  (
( 2  x.  x
)  -  1 )  e.  ( 0 [,] 1 ) )
1816, 17syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  -.  x  <_  ( 1  /  2 ) )  ->  ( ( 2  x.  x )  - 
1 )  e.  ( 0 [,] 1 ) )
19 fvco3 5792 . . . . . . 7  |-  ( ( G : ( 0 [,] 1 ) --> U. J  /\  ( ( 2  x.  x )  -  1 )  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
( H  o.  G
) `  ( (
2  x.  x )  -  1 ) )  =  ( H `  ( G `  ( ( 2  x.  x )  -  1 ) ) ) )
2015, 18, 19syl2an 464 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 0 [,] 1
)  /\  -.  x  <_  ( 1  /  2
) ) )  -> 
( ( H  o.  G ) `  (
( 2  x.  x
)  -  1 ) )  =  ( H `
 ( G `  ( ( 2  x.  x )  -  1 ) ) ) )
2120anassrs 630 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1
) )  /\  -.  x  <_  ( 1  / 
2 ) )  -> 
( ( H  o.  G ) `  (
( 2  x.  x
)  -  1 ) )  =  ( H `
 ( G `  ( ( 2  x.  x )  -  1 ) ) ) )
2221ifeq2da 3757 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  if ( x  <_  ( 1  /  2 ) ,  ( H `  ( F `  ( 2  x.  x ) ) ) ,  ( ( H  o.  G ) `  ( ( 2  x.  x )  -  1 ) ) )  =  if ( x  <_ 
( 1  /  2
) ,  ( H `
 ( F `  ( 2  x.  x
) ) ) ,  ( H `  ( G `  ( (
2  x.  x )  -  1 ) ) ) ) )
2312, 22eqtrd 2467 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  if ( x  <_  ( 1  /  2 ) ,  ( ( H  o.  F ) `  (
2  x.  x ) ) ,  ( ( H  o.  G ) `
 ( ( 2  x.  x )  - 
1 ) ) )  =  if ( x  <_  ( 1  / 
2 ) ,  ( H `  ( F `
 ( 2  x.  x ) ) ) ,  ( H `  ( G `  ( ( 2  x.  x )  -  1 ) ) ) ) )
2423mpteq2dva 4287 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  if ( x  <_ 
( 1  /  2
) ,  ( ( H  o.  F ) `
 ( 2  x.  x ) ) ,  ( ( H  o.  G ) `  (
( 2  x.  x
)  -  1 ) ) ) )  =  ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  if ( x  <_ 
( 1  /  2
) ,  ( H `
 ( F `  ( 2  x.  x
) ) ) ,  ( H `  ( G `  ( (
2  x.  x )  -  1 ) ) ) ) ) )
25 copco.6 . . . 4  |-  ( ph  ->  H  e.  ( J  Cn  K ) )
26 cnco 17320 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  H  e.  ( J  Cn  K ) )  -> 
( H  o.  F
)  e.  ( II 
Cn  K ) )
271, 25, 26syl2anc 643 . . 3  |-  ( ph  ->  ( H  o.  F
)  e.  ( II 
Cn  K ) )
28 cnco 17320 . . . 4  |-  ( ( G  e.  ( II 
Cn  J )  /\  H  e.  ( J  Cn  K ) )  -> 
( H  o.  G
)  e.  ( II 
Cn  K ) )
2913, 25, 28syl2anc 643 . . 3  |-  ( ph  ->  ( H  o.  G
)  e.  ( II 
Cn  K ) )
3027, 29pcoval 19026 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( H  o.  F ) ( *p
`  K ) ( H  o.  G ) )  =  ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  if ( x  <_  ( 1  /  2 ) ,  ( ( H  o.  F ) `  (
2  x.  x ) ) ,  ( ( H  o.  G ) `
 ( ( 2  x.  x )  - 
1 ) ) ) ) )
311, 13pcoval 19026 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F ( *p
`  J ) G )  =  ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  if ( x  <_  ( 1  /  2 ) ,  ( F `  (
2  x.  x ) ) ,  ( G `
 ( ( 2  x.  x )  - 
1 ) ) ) ) )
32 pcoval2.4 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( F `  1
)  =  ( G `
 0 ) )
331, 13, 32pcocn 19032 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F ( *p
`  J ) G )  e.  ( II 
Cn  J ) )
3431, 33eqeltrrd 2510 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  if ( x  <_ 
( 1  /  2
) ,  ( F `
 ( 2  x.  x ) ) ,  ( G `  (
( 2  x.  x
)  -  1 ) ) ) )  e.  ( II  Cn  J
) )
352, 3cnf 17300 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  if ( x  <_  (
1  /  2 ) ,  ( F `  ( 2  x.  x
) ) ,  ( G `  ( ( 2  x.  x )  -  1 ) ) ) )  e.  ( II  Cn  J )  ->  ( x  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  if ( x  <_  ( 1  / 
2 ) ,  ( F `  ( 2  x.  x ) ) ,  ( G `  ( ( 2  x.  x )  -  1 ) ) ) ) : ( 0 [,] 1 ) --> U. J
)
3634, 35syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  if ( x  <_ 
( 1  /  2
) ,  ( F `
 ( 2  x.  x ) ) ,  ( G `  (
( 2  x.  x
)  -  1 ) ) ) ) : ( 0 [,] 1
) --> U. J )
37 eqid 2435 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  if ( x  <_  ( 1  /  2 ) ,  ( F `  (
2  x.  x ) ) ,  ( G `
 ( ( 2  x.  x )  - 
1 ) ) ) )  =  ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  if ( x  <_  ( 1  /  2 ) ,  ( F `  (
2  x.  x ) ) ,  ( G `
 ( ( 2  x.  x )  - 
1 ) ) ) )
3837fmpt 5882 . . . 4  |-  ( A. x  e.  ( 0 [,] 1 ) if ( x  <_  (
1  /  2 ) ,  ( F `  ( 2  x.  x
) ) ,  ( G `  ( ( 2  x.  x )  -  1 ) ) )  e.  U. J  <->  ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  if ( x  <_  (
1  /  2 ) ,  ( F `  ( 2  x.  x
) ) ,  ( G `  ( ( 2  x.  x )  -  1 ) ) ) ) : ( 0 [,] 1 ) --> U. J )
3936, 38sylibr 204 . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( 0 [,] 1 ) if ( x  <_ 
( 1  /  2
) ,  ( F `
 ( 2  x.  x ) ) ,  ( G `  (
( 2  x.  x
)  -  1 ) ) )  e.  U. J )
40 eqid 2435 . . . . . 6  |-  U. K  =  U. K
413, 40cnf 17300 . . . . 5  |-  ( H  e.  ( J  Cn  K )  ->  H : U. J --> U. K
)
4225, 41syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  H : U. J --> U. K )
4342feqmptd 5771 . . 3  |-  ( ph  ->  H  =  ( y  e.  U. J  |->  ( H `  y ) ) )
44 fveq2 5720 . . . 4  |-  ( y  =  if ( x  <_  ( 1  / 
2 ) ,  ( F `  ( 2  x.  x ) ) ,  ( G `  ( ( 2  x.  x )  -  1 ) ) )  -> 
( H `  y
)  =  ( H `
 if ( x  <_  ( 1  / 
2 ) ,  ( F `  ( 2  x.  x ) ) ,  ( G `  ( ( 2  x.  x )  -  1 ) ) ) ) )
45 fvif 5735 . . . 4  |-  ( H `
 if ( x  <_  ( 1  / 
2 ) ,  ( F `  ( 2  x.  x ) ) ,  ( G `  ( ( 2  x.  x )  -  1 ) ) ) )  =  if ( x  <_  ( 1  / 
2 ) ,  ( H `  ( F `
 ( 2  x.  x ) ) ) ,  ( H `  ( G `  ( ( 2  x.  x )  -  1 ) ) ) )
4644, 45syl6eq 2483 . . 3  |-  ( y  =  if ( x  <_  ( 1  / 
2 ) ,  ( F `  ( 2  x.  x ) ) ,  ( G `  ( ( 2  x.  x )  -  1 ) ) )  -> 
( H `  y
)  =  if ( x  <_  ( 1  /  2 ) ,  ( H `  ( F `  ( 2  x.  x ) ) ) ,  ( H `  ( G `  ( ( 2  x.  x )  -  1 ) ) ) ) )
4739, 31, 43, 46fmptcof 5894 . 2  |-  ( ph  ->  ( H  o.  ( F ( *p `  J ) G ) )  =  ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  if ( x  <_  ( 1  /  2 ) ,  ( H `  ( F `  ( 2  x.  x ) ) ) ,  ( H `  ( G `  ( ( 2  x.  x )  -  1 ) ) ) ) ) )
4824, 30, 473eqtr4rd 2478 1  |-  ( ph  ->  ( H  o.  ( F ( *p `  J ) G ) )  =  ( ( H  o.  F ) ( *p `  K
) ( H  o.  G ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2697   ifcif 3731   U.cuni 4007   class class class wbr 4204    e. cmpt 4258    o. ccom 4874   -->wf 5442   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   0cc0 8980   1c1 8981    x. cmul 8985    <_ cle 9111    - cmin 9281    / cdiv 9667   2c2 10039   [,]cicc 10909    Cn ccn 17278   IIcii 18895   *pcpco 19015
This theorem is referenced by:  pi1coghm  19076  cvmlift3lem6  25001
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7586  ax-cnex 9036  ax-resscn 9037  ax-1cn 9038  ax-icn 9039  ax-addcl 9040  ax-addrcl 9041  ax-mulcl 9042  ax-mulrcl 9043  ax-mulcom 9044  ax-addass 9045  ax-mulass 9046  ax-distr 9047  ax-i2m1 9048  ax-1ne0 9049  ax-1rid 9050  ax-rnegex 9051  ax-rrecex 9052  ax-cnre 9053  ax-pre-lttri 9054  ax-pre-lttrn 9055  ax-pre-ltadd 9056  ax-pre-mulgt0 9057  ax-pre-sup 9058  ax-mulf 9060
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-of 6297  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-2o 6717  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-ixp 7056  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-fi 7408  df-sup 7438  df-oi 7469  df-card 7816  df-cda 8038  df-pnf 9112  df-mnf 9113  df-xr 9114  df-ltxr 9115  df-le 9116  df-sub 9283  df-neg 9284  df-div 9668  df-nn 9991  df-2 10048  df-3 10049  df-4 10050  df-5 10051  df-6 10052  df-7 10053  df-8 10054  df-9 10055  df-10 10056  df-n0 10212  df-z 10273  df-dec 10373  df-uz 10479  df-q 10565  df-rp 10603  df-xneg 10700  df-xadd 10701  df-xmul 10702  df-ioo 10910  df-icc 10913  df-fz 11034  df-fzo 11126  df-seq 11314  df-exp 11373  df-hash 11609  df-cj 11894  df-re 11895  df-im 11896  df-sqr 12030  df-abs 12031  df-struct 13461  df-ndx 13462  df-slot 13463  df-base 13464  df-sets 13465  df-ress 13466  df-plusg 13532  df-mulr 13533  df-starv 13534  df-sca 13535  df-vsca 13536  df-tset 13538  df-ple 13539  df-ds 13541  df-unif 13542  df-hom 13543  df-cco 13544  df-rest 13640  df-topn 13641  df-topgen 13657  df-pt 13658  df-prds 13661  df-xrs 13716  df-0g 13717  df-gsum 13718  df-qtop 13723  df-imas 13724  df-xps 13726  df-mre 13801  df-mrc 13802  df-acs 13804  df-mnd 14680  df-submnd 14729  df-mulg 14805  df-cntz 15106  df-cmn 15404  df-psmet 16684  df-xmet 16685  df-met 16686  df-bl 16687  df-mopn 16688  df-cnfld 16694  df-top 16953  df-bases 16955  df-topon 16956  df-topsp 16957  df-cld 17073  df-cn 17281  df-cnp 17282  df-tx 17584  df-hmeo 17777  df-xms 18340  df-ms 18341  df-tms 18342  df-ii 18897  df-pco 19020
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