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Theorem copco 18516
Description: The composition of a concatenation of paths with a continuous function. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pcoval.2  |-  ( ph  ->  F  e.  ( II 
Cn  J ) )
pcoval.3  |-  ( ph  ->  G  e.  ( II 
Cn  J ) )
pcoval2.4  |-  ( ph  ->  ( F `  1
)  =  ( G `
 0 ) )
copco.6  |-  ( ph  ->  H  e.  ( J  Cn  K ) )
Assertion
Ref Expression
copco  |-  ( ph  ->  ( H  o.  ( F ( *p `  J ) G ) )  =  ( ( H  o.  F ) ( *p `  K
) ( H  o.  G ) ) )

Proof of Theorem copco
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pcoval.2 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F  e.  ( II 
Cn  J ) )
2 iiuni 18385 . . . . . . . . 9  |-  ( 0 [,] 1 )  = 
U. II
3 eqid 2283 . . . . . . . . 9  |-  U. J  =  U. J
42, 3cnf 16976 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  ( II  Cn  J )  ->  F : ( 0 [,] 1 ) --> U. J
)
51, 4syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F : ( 0 [,] 1 ) --> U. J )
6 elii1 18433 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( 0 [,] ( 1  /  2
) )  <->  ( x  e.  ( 0 [,] 1
)  /\  x  <_  ( 1  /  2 ) ) )
7 iihalf1 18429 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( 0 [,] ( 1  /  2
) )  ->  (
2  x.  x )  e.  ( 0 [,] 1 ) )
86, 7sylbir 204 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  x  <_  ( 1  / 
2 ) )  -> 
( 2  x.  x
)  e.  ( 0 [,] 1 ) )
9 fvco3 5596 . . . . . . 7  |-  ( ( F : ( 0 [,] 1 ) --> U. J  /\  ( 2  x.  x )  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
( H  o.  F
) `  ( 2  x.  x ) )  =  ( H `  ( F `  ( 2  x.  x ) ) ) )
105, 8, 9syl2an 463 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 0 [,] 1
)  /\  x  <_  ( 1  /  2 ) ) )  ->  (
( H  o.  F
) `  ( 2  x.  x ) )  =  ( H `  ( F `  ( 2  x.  x ) ) ) )
1110anassrs 629 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1
) )  /\  x  <_  ( 1  /  2
) )  ->  (
( H  o.  F
) `  ( 2  x.  x ) )  =  ( H `  ( F `  ( 2  x.  x ) ) ) )
1211ifeq1da 3590 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  if ( x  <_  ( 1  /  2 ) ,  ( ( H  o.  F ) `  (
2  x.  x ) ) ,  ( ( H  o.  G ) `
 ( ( 2  x.  x )  - 
1 ) ) )  =  if ( x  <_  ( 1  / 
2 ) ,  ( H `  ( F `
 ( 2  x.  x ) ) ) ,  ( ( H  o.  G ) `  ( ( 2  x.  x )  -  1 ) ) ) )
13 pcoval.3 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  G  e.  ( II 
Cn  J ) )
142, 3cnf 16976 . . . . . . . 8  |-  ( G  e.  ( II  Cn  J )  ->  G : ( 0 [,] 1 ) --> U. J
)
1513, 14syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  G : ( 0 [,] 1 ) --> U. J )
16 elii2 18434 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  -.  x  <_  ( 1  /  2 ) )  ->  x  e.  ( ( 1  /  2
) [,] 1 ) )
17 iihalf2 18431 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( ( 1  /  2 ) [,] 1 )  ->  (
( 2  x.  x
)  -  1 )  e.  ( 0 [,] 1 ) )
1816, 17syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  -.  x  <_  ( 1  /  2 ) )  ->  ( ( 2  x.  x )  - 
1 )  e.  ( 0 [,] 1 ) )
19 fvco3 5596 . . . . . . 7  |-  ( ( G : ( 0 [,] 1 ) --> U. J  /\  ( ( 2  x.  x )  -  1 )  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
( H  o.  G
) `  ( (
2  x.  x )  -  1 ) )  =  ( H `  ( G `  ( ( 2  x.  x )  -  1 ) ) ) )
2015, 18, 19syl2an 463 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 0 [,] 1
)  /\  -.  x  <_  ( 1  /  2
) ) )  -> 
( ( H  o.  G ) `  (
( 2  x.  x
)  -  1 ) )  =  ( H `
 ( G `  ( ( 2  x.  x )  -  1 ) ) ) )
2120anassrs 629 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1
) )  /\  -.  x  <_  ( 1  / 
2 ) )  -> 
( ( H  o.  G ) `  (
( 2  x.  x
)  -  1 ) )  =  ( H `
 ( G `  ( ( 2  x.  x )  -  1 ) ) ) )
2221ifeq2da 3591 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  if ( x  <_  ( 1  /  2 ) ,  ( H `  ( F `  ( 2  x.  x ) ) ) ,  ( ( H  o.  G ) `  ( ( 2  x.  x )  -  1 ) ) )  =  if ( x  <_ 
( 1  /  2
) ,  ( H `
 ( F `  ( 2  x.  x
) ) ) ,  ( H `  ( G `  ( (
2  x.  x )  -  1 ) ) ) ) )
2312, 22eqtrd 2315 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  if ( x  <_  ( 1  /  2 ) ,  ( ( H  o.  F ) `  (
2  x.  x ) ) ,  ( ( H  o.  G ) `
 ( ( 2  x.  x )  - 
1 ) ) )  =  if ( x  <_  ( 1  / 
2 ) ,  ( H `  ( F `
 ( 2  x.  x ) ) ) ,  ( H `  ( G `  ( ( 2  x.  x )  -  1 ) ) ) ) )
2423mpteq2dva 4106 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  if ( x  <_ 
( 1  /  2
) ,  ( ( H  o.  F ) `
 ( 2  x.  x ) ) ,  ( ( H  o.  G ) `  (
( 2  x.  x
)  -  1 ) ) ) )  =  ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  if ( x  <_ 
( 1  /  2
) ,  ( H `
 ( F `  ( 2  x.  x
) ) ) ,  ( H `  ( G `  ( (
2  x.  x )  -  1 ) ) ) ) ) )
25 copco.6 . . . 4  |-  ( ph  ->  H  e.  ( J  Cn  K ) )
26 cnco 16995 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  H  e.  ( J  Cn  K ) )  -> 
( H  o.  F
)  e.  ( II 
Cn  K ) )
271, 25, 26syl2anc 642 . . 3  |-  ( ph  ->  ( H  o.  F
)  e.  ( II 
Cn  K ) )
28 cnco 16995 . . . 4  |-  ( ( G  e.  ( II 
Cn  J )  /\  H  e.  ( J  Cn  K ) )  -> 
( H  o.  G
)  e.  ( II 
Cn  K ) )
2913, 25, 28syl2anc 642 . . 3  |-  ( ph  ->  ( H  o.  G
)  e.  ( II 
Cn  K ) )
3027, 29pcoval 18509 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( H  o.  F ) ( *p
`  K ) ( H  o.  G ) )  =  ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  if ( x  <_  ( 1  /  2 ) ,  ( ( H  o.  F ) `  (
2  x.  x ) ) ,  ( ( H  o.  G ) `
 ( ( 2  x.  x )  - 
1 ) ) ) ) )
311, 13pcoval 18509 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F ( *p
`  J ) G )  =  ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  if ( x  <_  ( 1  /  2 ) ,  ( F `  (
2  x.  x ) ) ,  ( G `
 ( ( 2  x.  x )  - 
1 ) ) ) ) )
32 pcoval2.4 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( F `  1
)  =  ( G `
 0 ) )
331, 13, 32pcocn 18515 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F ( *p
`  J ) G )  e.  ( II 
Cn  J ) )
3431, 33eqeltrrd 2358 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  if ( x  <_ 
( 1  /  2
) ,  ( F `
 ( 2  x.  x ) ) ,  ( G `  (
( 2  x.  x
)  -  1 ) ) ) )  e.  ( II  Cn  J
) )
352, 3cnf 16976 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  if ( x  <_  (
1  /  2 ) ,  ( F `  ( 2  x.  x
) ) ,  ( G `  ( ( 2  x.  x )  -  1 ) ) ) )  e.  ( II  Cn  J )  ->  ( x  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  if ( x  <_  ( 1  / 
2 ) ,  ( F `  ( 2  x.  x ) ) ,  ( G `  ( ( 2  x.  x )  -  1 ) ) ) ) : ( 0 [,] 1 ) --> U. J
)
3634, 35syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  if ( x  <_ 
( 1  /  2
) ,  ( F `
 ( 2  x.  x ) ) ,  ( G `  (
( 2  x.  x
)  -  1 ) ) ) ) : ( 0 [,] 1
) --> U. J )
37 eqid 2283 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  if ( x  <_  ( 1  /  2 ) ,  ( F `  (
2  x.  x ) ) ,  ( G `
 ( ( 2  x.  x )  - 
1 ) ) ) )  =  ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  if ( x  <_  ( 1  /  2 ) ,  ( F `  (
2  x.  x ) ) ,  ( G `
 ( ( 2  x.  x )  - 
1 ) ) ) )
3837fmpt 5681 . . . 4  |-  ( A. x  e.  ( 0 [,] 1 ) if ( x  <_  (
1  /  2 ) ,  ( F `  ( 2  x.  x
) ) ,  ( G `  ( ( 2  x.  x )  -  1 ) ) )  e.  U. J  <->  ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  if ( x  <_  (
1  /  2 ) ,  ( F `  ( 2  x.  x
) ) ,  ( G `  ( ( 2  x.  x )  -  1 ) ) ) ) : ( 0 [,] 1 ) --> U. J )
3936, 38sylibr 203 . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( 0 [,] 1 ) if ( x  <_ 
( 1  /  2
) ,  ( F `
 ( 2  x.  x ) ) ,  ( G `  (
( 2  x.  x
)  -  1 ) ) )  e.  U. J )
40 eqid 2283 . . . . . 6  |-  U. K  =  U. K
413, 40cnf 16976 . . . . 5  |-  ( H  e.  ( J  Cn  K )  ->  H : U. J --> U. K
)
4225, 41syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  H : U. J --> U. K )
4342feqmptd 5575 . . 3  |-  ( ph  ->  H  =  ( y  e.  U. J  |->  ( H `  y ) ) )
44 fveq2 5525 . . . 4  |-  ( y  =  if ( x  <_  ( 1  / 
2 ) ,  ( F `  ( 2  x.  x ) ) ,  ( G `  ( ( 2  x.  x )  -  1 ) ) )  -> 
( H `  y
)  =  ( H `
 if ( x  <_  ( 1  / 
2 ) ,  ( F `  ( 2  x.  x ) ) ,  ( G `  ( ( 2  x.  x )  -  1 ) ) ) ) )
45 fvif 5540 . . . 4  |-  ( H `
 if ( x  <_  ( 1  / 
2 ) ,  ( F `  ( 2  x.  x ) ) ,  ( G `  ( ( 2  x.  x )  -  1 ) ) ) )  =  if ( x  <_  ( 1  / 
2 ) ,  ( H `  ( F `
 ( 2  x.  x ) ) ) ,  ( H `  ( G `  ( ( 2  x.  x )  -  1 ) ) ) )
4644, 45syl6eq 2331 . . 3  |-  ( y  =  if ( x  <_  ( 1  / 
2 ) ,  ( F `  ( 2  x.  x ) ) ,  ( G `  ( ( 2  x.  x )  -  1 ) ) )  -> 
( H `  y
)  =  if ( x  <_  ( 1  /  2 ) ,  ( H `  ( F `  ( 2  x.  x ) ) ) ,  ( H `  ( G `  ( ( 2  x.  x )  -  1 ) ) ) ) )
4739, 31, 43, 46fmptcof 5692 . 2  |-  ( ph  ->  ( H  o.  ( F ( *p `  J ) G ) )  =  ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  if ( x  <_  ( 1  /  2 ) ,  ( H `  ( F `  ( 2  x.  x ) ) ) ,  ( H `  ( G `  ( ( 2  x.  x )  -  1 ) ) ) ) ) )
4824, 30, 473eqtr4rd 2326 1  |-  ( ph  ->  ( H  o.  ( F ( *p `  J ) G ) )  =  ( ( H  o.  F ) ( *p `  K
) ( H  o.  G ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   ifcif 3565   U.cuni 3827   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077    o. ccom 4693   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   0cc0 8737   1c1 8738    x. cmul 8742    <_ cle 8868    - cmin 9037    / cdiv 9423   2c2 9795   [,]cicc 10659    Cn ccn 16954   IIcii 18379   *pcpco 18498
This theorem is referenced by:  pi1coghm  18559  cvmlift3lem6  23855
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ioo 10660  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-hom 13232  df-cco 13233  df-rest 13327  df-topn 13328  df-topgen 13344  df-pt 13345  df-prds 13348  df-xrs 13403  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-qtop 13410  df-imas 13411  df-xps 13413  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-mulg 14492  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-cnfld 16378  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-cld 16756  df-cn 16957  df-cnp 16958  df-tx 17257  df-hmeo 17446  df-xms 17885  df-ms 17886  df-tms 17887  df-ii 18381  df-pco 18503
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