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Theorem copsexg 4445
Description: Substitution of class  A for ordered pair  <. x ,  y >.. (Contributed by NM, 27-Dec-1996.) (Revised by Andrew Salmon, 11-Jul-2011.)
Assertion
Ref Expression
copsexg  |-  ( A  =  <. x ,  y
>.  ->  ( ph  <->  E. x E. y ( A  = 
<. x ,  y >.  /\  ph ) ) )
Distinct variable groups:    x, A    y, A
Allowed substitution hints:    ph( x, y)

Proof of Theorem copsexg
Dummy variables  z  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 2961 . . . 4  |-  x  e. 
_V
2 vex 2961 . . . 4  |-  y  e. 
_V
31, 2eqvinop 4444 . . 3  |-  ( A  =  <. x ,  y
>. 
<->  E. z E. w
( A  =  <. z ,  w >.  /\  <. z ,  w >.  =  <. x ,  y >. )
)
4 19.8a 1763 . . . . . . . . 9  |-  ( E. y ( <. z ,  w >.  =  <. x ,  y >.  /\  ph )  ->  E. x E. y
( <. z ,  w >.  =  <. x ,  y
>.  /\  ph ) )
5419.23bi 1776 . . . . . . . 8  |-  ( (
<. z ,  w >.  = 
<. x ,  y >.  /\  ph )  ->  E. x E. y ( <. z ,  w >.  =  <. x ,  y >.  /\  ph ) )
65ex 425 . . . . . . 7  |-  ( <.
z ,  w >.  = 
<. x ,  y >.  ->  ( ph  ->  E. x E. y ( <. z ,  w >.  =  <. x ,  y >.  /\  ph ) ) )
7 vex 2961 . . . . . . . . 9  |-  z  e. 
_V
8 vex 2961 . . . . . . . . 9  |-  w  e. 
_V
97, 8opth 4438 . . . . . . . 8  |-  ( <.
z ,  w >.  = 
<. x ,  y >.  <->  ( z  =  x  /\  w  =  y )
)
109anbi1i 678 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
<. z ,  w >.  = 
<. x ,  y >.  /\  ph )  <->  ( (
z  =  x  /\  w  =  y )  /\  ph ) )
11102exbii 1594 . . . . . . . . 9  |-  ( E. x E. y (
<. z ,  w >.  = 
<. x ,  y >.  /\  ph )  <->  E. x E. y ( ( z  =  x  /\  w  =  y )  /\  ph ) )
12 nfe1 1748 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ x E. x ( z  =  x  /\  E. y
( w  =  y  /\  ph ) )
13 nfae 2043 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ y A. y  y  =  x
14 anass 632 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( z  =  x  /\  w  =  y )  /\  ph )  <->  ( z  =  x  /\  ( w  =  y  /\  ph ) ) )
15 19.8a 1763 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( w  =  y  /\  ph )  ->  E. y
( w  =  y  /\  ph ) )
1615a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. y  y  =  x  ->  ( ( w  =  y  /\  ph )  ->  E. y ( w  =  y  /\  ph ) ) )
1716anim2d 550 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. y  y  =  x  ->  ( ( z  =  x  /\  ( w  =  y  /\  ph ) )  ->  (
z  =  x  /\  E. y ( w  =  y  /\  ph )
) ) )
1814, 17syl5bi 210 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. y  y  =  x  ->  ( ( ( z  =  x  /\  w  =  y )  /\  ph )  ->  ( z  =  x  /\  E. y
( w  =  y  /\  ph ) ) ) )
1913, 18eximd 1787 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. y  y  =  x  ->  ( E. y ( ( z  =  x  /\  w  =  y )  /\  ph )  ->  E. y ( z  =  x  /\  E. y ( w  =  y  /\  ph )
) ) )
20 biidd 230 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. y  y  =  x  ->  ( ( z  =  x  /\  E. y
( w  =  y  /\  ph ) )  <-> 
( z  =  x  /\  E. y ( w  =  y  /\  ph ) ) ) )
2120drex1 2060 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. y  y  =  x  ->  ( E. y ( z  =  x  /\  E. y ( w  =  y  /\  ph )
)  <->  E. x ( z  =  x  /\  E. y ( w  =  y  /\  ph )
) ) )
2219, 21sylibd 207 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. y  y  =  x  ->  ( E. y ( ( z  =  x  /\  w  =  y )  /\  ph )  ->  E. x ( z  =  x  /\  E. y ( w  =  y  /\  ph )
) ) )
2314exbii 1593 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( E. y ( ( z  =  x  /\  w  =  y )  /\  ph )  <->  E. y ( z  =  x  /\  (
w  =  y  /\  ph ) ) )
24 19.40 1620 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( E. y ( z  =  x  /\  ( w  =  y  /\  ph ) )  ->  ( E. y  z  =  x  /\  E. y ( w  =  y  /\  ph ) ) )
25 nfnae 2045 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/ y  -.  A. y  y  =  x
26 dveeq2 2078 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( -. 
A. y  y  =  x  ->  ( z  =  x  ->  A. y 
z  =  x ) )
2725, 26nfd 1783 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( -. 
A. y  y  =  x  ->  F/ y 
z  =  x )
282719.9d 1797 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -. 
A. y  y  =  x  ->  ( E. y  z  =  x  ->  z  =  x ) )
2928anim1d 549 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -. 
A. y  y  =  x  ->  ( ( E. y  z  =  x  /\  E. y ( w  =  y  /\  ph ) )  ->  (
z  =  x  /\  E. y ( w  =  y  /\  ph )
) ) )
3024, 29syl5 31 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -. 
A. y  y  =  x  ->  ( E. y ( z  =  x  /\  ( w  =  y  /\  ph ) )  ->  (
z  =  x  /\  E. y ( w  =  y  /\  ph )
) ) )
3123, 30syl5bi 210 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -. 
A. y  y  =  x  ->  ( E. y ( ( z  =  x  /\  w  =  y )  /\  ph )  ->  ( z  =  x  /\  E. y
( w  =  y  /\  ph ) ) ) )
32 19.8a 1763 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  =  x  /\  E. y ( w  =  y  /\  ph )
)  ->  E. x
( z  =  x  /\  E. y ( w  =  y  /\  ph ) ) )
3331, 32syl6 32 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -. 
A. y  y  =  x  ->  ( E. y ( ( z  =  x  /\  w  =  y )  /\  ph )  ->  E. x
( z  =  x  /\  E. y ( w  =  y  /\  ph ) ) ) )
3422, 33pm2.61i 159 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. y ( ( z  =  x  /\  w  =  y )  /\  ph )  ->  E. x
( z  =  x  /\  E. y ( w  =  y  /\  ph ) ) )
3512, 34exlimi 1822 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. x E. y ( ( z  =  x  /\  w  =  y )  /\  ph )  ->  E. x ( z  =  x  /\  E. y ( w  =  y  /\  ph )
) )
36 euequ1 2371 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  E! x  x  =  z
37 equcom 1693 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  z  <->  z  =  x )
3837eubii 2292 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( E! x  x  =  z  <-> 
E! x  z  =  x )
3936, 38mpbi 201 . . . . . . . . . . . . 13  |-  E! x  z  =  x
40 eupick 2346 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( E! x  z  =  x  /\  E. x
( z  =  x  /\  E. y ( w  =  y  /\  ph ) ) )  -> 
( z  =  x  ->  E. y ( w  =  y  /\  ph ) ) )
4139, 40mpan 653 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. x ( z  =  x  /\  E. y
( w  =  y  /\  ph ) )  ->  ( z  =  x  ->  E. y
( w  =  y  /\  ph ) ) )
4241com12 30 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  x  ->  ( E. x ( z  =  x  /\  E. y
( w  =  y  /\  ph ) )  ->  E. y ( w  =  y  /\  ph ) ) )
43 euequ1 2371 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  E! y  y  =  w
44 equcom 1693 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  w  <->  w  =  y )
4544eubii 2292 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( E! y  y  =  w  <-> 
E! y  w  =  y )
4643, 45mpbi 201 . . . . . . . . . . . . 13  |-  E! y  w  =  y
47 eupick 2346 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( E! y  w  =  y  /\  E. y
( w  =  y  /\  ph ) )  ->  ( w  =  y  ->  ph ) )
4846, 47mpan 653 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. y ( w  =  y  /\  ph )  ->  ( w  =  y  ->  ph ) )
4948com12 30 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  y  ->  ( E. y ( w  =  y  /\  ph )  ->  ph ) )
5042, 49sylan9 640 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  =  x  /\  w  =  y )  ->  ( E. x ( z  =  x  /\  E. y ( w  =  y  /\  ph )
)  ->  ph ) )
5135, 50syl5 31 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  =  x  /\  w  =  y )  ->  ( E. x E. y ( ( z  =  x  /\  w  =  y )  /\  ph )  ->  ph ) )
5211, 51syl5bi 210 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  =  x  /\  w  =  y )  ->  ( E. x E. y ( <. z ,  w >.  =  <. x ,  y >.  /\  ph )  ->  ph ) )
539, 52sylbi 189 . . . . . . 7  |-  ( <.
z ,  w >.  = 
<. x ,  y >.  ->  ( E. x E. y ( <. z ,  w >.  =  <. x ,  y >.  /\  ph )  ->  ph ) )
546, 53impbid 185 . . . . . 6  |-  ( <.
z ,  w >.  = 
<. x ,  y >.  ->  ( ph  <->  E. x E. y ( <. z ,  w >.  =  <. x ,  y >.  /\  ph ) ) )
55 eqeq1 2444 . . . . . . 7  |-  ( A  =  <. z ,  w >.  ->  ( A  = 
<. x ,  y >.  <->  <.
z ,  w >.  = 
<. x ,  y >.
) )
5655anbi1d 687 . . . . . . . . 9  |-  ( A  =  <. z ,  w >.  ->  ( ( A  =  <. x ,  y
>.  /\  ph )  <->  ( <. z ,  w >.  =  <. x ,  y >.  /\  ph ) ) )
57562exbidv 1639 . . . . . . . 8  |-  ( A  =  <. z ,  w >.  ->  ( E. x E. y ( A  = 
<. x ,  y >.  /\  ph )  <->  E. x E. y ( <. z ,  w >.  =  <. x ,  y >.  /\  ph ) ) )
5857bibi2d 311 . . . . . . 7  |-  ( A  =  <. z ,  w >.  ->  ( ( ph  <->  E. x E. y ( A  =  <. x ,  y >.  /\  ph ) )  <->  ( ph  <->  E. x E. y (
<. z ,  w >.  = 
<. x ,  y >.  /\  ph ) ) ) )
5955, 58imbi12d 313 . . . . . 6  |-  ( A  =  <. z ,  w >.  ->  ( ( A  =  <. x ,  y
>.  ->  ( ph  <->  E. x E. y ( A  = 
<. x ,  y >.  /\  ph ) ) )  <-> 
( <. z ,  w >.  =  <. x ,  y
>.  ->  ( ph  <->  E. x E. y ( <. z ,  w >.  =  <. x ,  y >.  /\  ph ) ) ) ) )
6054, 59mpbiri 226 . . . . 5  |-  ( A  =  <. z ,  w >.  ->  ( A  = 
<. x ,  y >.  ->  ( ph  <->  E. x E. y ( A  = 
<. x ,  y >.  /\  ph ) ) ) )
6160adantr 453 . . . 4  |-  ( ( A  =  <. z ,  w >.  /\  <. z ,  w >.  =  <. x ,  y >. )  ->  ( A  =  <. x ,  y >.  ->  ( ph 
<->  E. x E. y
( A  =  <. x ,  y >.  /\  ph ) ) ) )
6261exlimivv 1646 . . 3  |-  ( E. z E. w ( A  =  <. z ,  w >.  /\  <. z ,  w >.  =  <. x ,  y >. )  ->  ( A  =  <. x ,  y >.  ->  ( ph 
<->  E. x E. y
( A  =  <. x ,  y >.  /\  ph ) ) ) )
633, 62sylbi 189 . 2  |-  ( A  =  <. x ,  y
>.  ->  ( A  = 
<. x ,  y >.  ->  ( ph  <->  E. x E. y ( A  = 
<. x ,  y >.  /\  ph ) ) ) )
6463pm2.43i 46 1  |-  ( A  =  <. x ,  y
>.  ->  ( ph  <->  E. x E. y ( A  = 
<. x ,  y >.  /\  ph ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360   A.wal 1550   E.wex 1551    = wceq 1653   E!weu 2283   <.cop 3819
This theorem is referenced by:  copsex2t  4446  copsex2g  4447  mosubopt  4457  opabid  4464
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pr 4406
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-rab 2716  df-v 2960  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825
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