MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cos01bnd Unicode version

Theorem cos01bnd 12466
Description: Bounds on the cosine of a positive real number less than or equal to 1. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
cos01bnd  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( 1  -  (
2  x.  ( ( A ^ 2 )  /  3 ) ) )  <  ( cos `  A )  /\  ( cos `  A )  < 
( 1  -  (
( A ^ 2 )  /  3 ) ) ) )

Proof of Theorem cos01bnd
Dummy variables  k  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0xr 8878 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  RR*
2 1re 8837 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  RR
3 elioc2 10713 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  1  e.  RR )  ->  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  <->  ( A  e.  RR  /\  0  < 
A  /\  A  <_  1 ) ) )
41, 2, 3mp2an 653 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  <->  ( A  e.  RR  /\  0  < 
A  /\  A  <_  1 ) )
54simp1bi 970 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  A  e.  RR )
6 eqid 2283 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( _i  x.  A
) ^ n )  /  ( ! `  n ) ) )  =  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( ( _i  x.  A ) ^ n )  / 
( ! `  n
) ) )
76recos4p 12419 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR  ->  ( cos `  A )  =  ( ( 1  -  ( ( A ^
2 )  /  2
) )  +  ( Re `  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  4 )
( ( n  e. 
NN0  |->  ( ( ( _i  x.  A ) ^ n )  / 
( ! `  n
) ) ) `  k ) ) ) )
85, 7syl 15 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  ( cos `  A )  =  ( ( 1  -  ( ( A ^
2 )  /  2
) )  +  ( Re `  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  4 )
( ( n  e. 
NN0  |->  ( ( ( _i  x.  A ) ^ n )  / 
( ! `  n
) ) ) `  k ) ) ) )
98eqcomd 2288 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( 1  -  (
( A ^ 2 )  /  2 ) )  +  ( Re
`  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  4 ) ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( _i  x.  A ) ^
n )  /  ( ! `  n )
) ) `  k
) ) )  =  ( cos `  A
) )
105recoscld 12424 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  ( cos `  A )  e.  RR )
1110recnd 8861 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  ( cos `  A )  e.  CC )
125resqcld 11271 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  ( A ^ 2 )  e.  RR )
1312rehalfcld 9958 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( A ^ 2 )  /  2 )  e.  RR )
14 resubcl 9111 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( ( A ^
2 )  /  2
)  e.  RR )  ->  ( 1  -  ( ( A ^
2 )  /  2
) )  e.  RR )
152, 13, 14sylancr 644 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
1  -  ( ( A ^ 2 )  /  2 ) )  e.  RR )
1615recnd 8861 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
1  -  ( ( A ^ 2 )  /  2 ) )  e.  CC )
17 ax-icn 8796 . . . . . . . . . 10  |-  _i  e.  CC
185recnd 8861 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  A  e.  CC )
19 mulcl 8821 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( _i  x.  A
)  e.  CC )
2017, 18, 19sylancr 644 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
_i  x.  A )  e.  CC )
21 4nn0 9984 . . . . . . . . 9  |-  4  e.  NN0
226eftlcl 12387 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( _i  x.  A
)  e.  CC  /\  4  e.  NN0 )  ->  sum_ k  e.  ( ZZ>= ` 
4 ) ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( _i  x.  A
) ^ n )  /  ( ! `  n ) ) ) `
 k )  e.  CC )
2320, 21, 22sylancl 643 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  4 )
( ( n  e. 
NN0  |->  ( ( ( _i  x.  A ) ^ n )  / 
( ! `  n
) ) ) `  k )  e.  CC )
2423recld 11679 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
Re `  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  4 )
( ( n  e. 
NN0  |->  ( ( ( _i  x.  A ) ^ n )  / 
( ! `  n
) ) ) `  k ) )  e.  RR )
2524recnd 8861 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
Re `  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  4 )
( ( n  e. 
NN0  |->  ( ( ( _i  x.  A ) ^ n )  / 
( ! `  n
) ) ) `  k ) )  e.  CC )
2611, 16, 25subaddd 9175 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( ( cos `  A
)  -  ( 1  -  ( ( A ^ 2 )  / 
2 ) ) )  =  ( Re `  sum_ k  e.  ( ZZ>= ` 
4 ) ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( _i  x.  A
) ^ n )  /  ( ! `  n ) ) ) `
 k ) )  <-> 
( ( 1  -  ( ( A ^
2 )  /  2
) )  +  ( Re `  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  4 )
( ( n  e. 
NN0  |->  ( ( ( _i  x.  A ) ^ n )  / 
( ! `  n
) ) ) `  k ) ) )  =  ( cos `  A
) ) )
279, 26mpbird 223 . . . 4  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( cos `  A
)  -  ( 1  -  ( ( A ^ 2 )  / 
2 ) ) )  =  ( Re `  sum_ k  e.  ( ZZ>= ` 
4 ) ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( _i  x.  A
) ^ n )  /  ( ! `  n ) ) ) `
 k ) ) )
2827fveq2d 5529 . . 3  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  ( abs `  ( ( cos `  A )  -  (
1  -  ( ( A ^ 2 )  /  2 ) ) ) )  =  ( abs `  ( Re
`  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  4 ) ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( _i  x.  A ) ^
n )  /  ( ! `  n )
) ) `  k
) ) ) )
2925abscld 11918 . . . 4  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  ( abs `  ( Re `  sum_ k  e.  ( ZZ>= ` 
4 ) ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( _i  x.  A
) ^ n )  /  ( ! `  n ) ) ) `
 k ) ) )  e.  RR )
3023abscld 11918 . . . 4  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  ( abs `  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  4 ) ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( _i  x.  A ) ^
n )  /  ( ! `  n )
) ) `  k
) )  e.  RR )
31 6nn 9881 . . . . 5  |-  6  e.  NN
32 nndivre 9781 . . . . 5  |-  ( ( ( A ^ 2 )  e.  RR  /\  6  e.  NN )  ->  ( ( A ^
2 )  /  6
)  e.  RR )
3312, 31, 32sylancl 643 . . . 4  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( A ^ 2 )  /  6 )  e.  RR )
34 absrele 11793 . . . . 5  |-  ( sum_ k  e.  ( ZZ>= ` 
4 ) ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( _i  x.  A
) ^ n )  /  ( ! `  n ) ) ) `
 k )  e.  CC  ->  ( abs `  ( Re `  sum_ k  e.  ( ZZ>= ` 
4 ) ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( _i  x.  A
) ^ n )  /  ( ! `  n ) ) ) `
 k ) ) )  <_  ( abs ` 
sum_ k  e.  (
ZZ>= `  4 ) ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( _i  x.  A ) ^
n )  /  ( ! `  n )
) ) `  k
) ) )
3523, 34syl 15 . . . 4  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  ( abs `  ( Re `  sum_ k  e.  ( ZZ>= ` 
4 ) ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( _i  x.  A
) ^ n )  /  ( ! `  n ) ) ) `
 k ) ) )  <_  ( abs ` 
sum_ k  e.  (
ZZ>= `  4 ) ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( _i  x.  A ) ^
n )  /  ( ! `  n )
) ) `  k
) ) )
36 reexpcl 11120 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  4  e.  NN0 )  -> 
( A ^ 4 )  e.  RR )
375, 21, 36sylancl 643 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  ( A ^ 4 )  e.  RR )
38 nndivre 9781 . . . . . 6  |-  ( ( ( A ^ 4 )  e.  RR  /\  6  e.  NN )  ->  ( ( A ^
4 )  /  6
)  e.  RR )
3937, 31, 38sylancl 643 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( A ^ 4 )  /  6 )  e.  RR )
406ef01bndlem 12464 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  ( abs `  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  4 ) ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( _i  x.  A ) ^
n )  /  ( ! `  n )
) ) `  k
) )  <  (
( A ^ 4 )  /  6 ) )
41 2nn0 9982 . . . . . . . 8  |-  2  e.  NN0
4241a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  2  e.  NN0 )
43 4nn 9879 . . . . . . . . . 10  |-  4  e.  NN
4443nnzi 10047 . . . . . . . . 9  |-  4  e.  ZZ
45 2re 9815 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  RR
46 4re 9819 . . . . . . . . . 10  |-  4  e.  RR
47 2lt4 9890 . . . . . . . . . 10  |-  2  <  4
4845, 46, 47ltleii 8941 . . . . . . . . 9  |-  2  <_  4
49 2z 10054 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  ZZ
5049eluz1i 10237 . . . . . . . . 9  |-  ( 4  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( 4  e.  ZZ  /\  2  <_ 
4 ) )
5144, 48, 50mpbir2an 886 . . . . . . . 8  |-  4  e.  ( ZZ>= `  2 )
5251a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  4  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
534simp2bi 971 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  0  <  A )
54 0re 8838 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  RR
55 ltle 8910 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( 0  <  A  ->  0  <_  A )
)
5654, 5, 55sylancr 644 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
0  <  A  ->  0  <_  A ) )
5753, 56mpd 14 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  0  <_  A )
584simp3bi 972 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  A  <_  1 )
595, 42, 52, 57, 58leexp2rd 11278 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  ( A ^ 4 )  <_ 
( A ^ 2 ) )
60 6re 9822 . . . . . . . 8  |-  6  e.  RR
6160a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  6  e.  RR )
62 6pos 9834 . . . . . . . 8  |-  0  <  6
6362a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  0  <  6 )
64 lediv1 9621 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A ^ 4 )  e.  RR  /\  ( A ^ 2 )  e.  RR  /\  (
6  e.  RR  /\  0  <  6 ) )  ->  ( ( A ^ 4 )  <_ 
( A ^ 2 )  <->  ( ( A ^ 4 )  / 
6 )  <_  (
( A ^ 2 )  /  6 ) ) )
6537, 12, 61, 63, 64syl112anc 1186 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( A ^ 4 )  <_  ( A ^ 2 )  <->  ( ( A ^ 4 )  / 
6 )  <_  (
( A ^ 2 )  /  6 ) ) )
6659, 65mpbid 201 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( A ^ 4 )  /  6 )  <_  ( ( A ^ 2 )  / 
6 ) )
6730, 39, 33, 40, 66ltletrd 8976 . . . 4  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  ( abs `  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  4 ) ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( _i  x.  A ) ^
n )  /  ( ! `  n )
) ) `  k
) )  <  (
( A ^ 2 )  /  6 ) )
6829, 30, 33, 35, 67lelttrd 8974 . . 3  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  ( abs `  ( Re `  sum_ k  e.  ( ZZ>= ` 
4 ) ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( _i  x.  A
) ^ n )  /  ( ! `  n ) ) ) `
 k ) ) )  <  ( ( A ^ 2 )  /  6 ) )
6928, 68eqbrtrd 4043 . 2  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  ( abs `  ( ( cos `  A )  -  (
1  -  ( ( A ^ 2 )  /  2 ) ) ) )  <  (
( A ^ 2 )  /  6 ) )
7010, 15, 33absdifltd 11916 . . 3  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( abs `  (
( cos `  A
)  -  ( 1  -  ( ( A ^ 2 )  / 
2 ) ) ) )  <  ( ( A ^ 2 )  /  6 )  <->  ( (
( 1  -  (
( A ^ 2 )  /  2 ) )  -  ( ( A ^ 2 )  /  6 ) )  <  ( cos `  A
)  /\  ( cos `  A )  <  (
( 1  -  (
( A ^ 2 )  /  2 ) )  +  ( ( A ^ 2 )  /  6 ) ) ) ) )
71 ax-1cn 8795 . . . . . . . 8  |-  1  e.  CC
7271a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  1  e.  CC )
7313recnd 8861 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( A ^ 2 )  /  2 )  e.  CC )
7433recnd 8861 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( A ^ 2 )  /  6 )  e.  CC )
7572, 73, 74subsub4d 9188 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( 1  -  (
( A ^ 2 )  /  2 ) )  -  ( ( A ^ 2 )  /  6 ) )  =  ( 1  -  ( ( ( A ^ 2 )  / 
2 )  +  ( ( A ^ 2 )  /  6 ) ) ) )
76 halfpm6th 9936 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 1  /  2
)  -  ( 1  /  6 ) )  =  ( 1  / 
3 )  /\  (
( 1  /  2
)  +  ( 1  /  6 ) )  =  ( 2  / 
3 ) )
7776simpri 448 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  /  2 )  +  ( 1  / 
6 ) )  =  ( 2  /  3
)
7877oveq2i 5869 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A ^ 2 )  x.  ( ( 1  /  2 )  +  ( 1  /  6
) ) )  =  ( ( A ^
2 )  x.  (
2  /  3 ) )
7912recnd 8861 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  ( A ^ 2 )  e.  CC )
80 2cn 9816 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  CC
81 2ne0 9829 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  =/=  0
8280, 81reccli 9490 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  /  2 )  e.  CC
8331nncni 9756 . . . . . . . . . . . 12  |-  6  e.  CC
8431nnne0i 9780 . . . . . . . . . . . 12  |-  6  =/=  0
8583, 84reccli 9490 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  /  6 )  e.  CC
86 adddi 8826 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A ^ 2 )  e.  CC  /\  ( 1  /  2
)  e.  CC  /\  ( 1  /  6
)  e.  CC )  ->  ( ( A ^ 2 )  x.  ( ( 1  / 
2 )  +  ( 1  /  6 ) ) )  =  ( ( ( A ^
2 )  x.  (
1  /  2 ) )  +  ( ( A ^ 2 )  x.  ( 1  / 
6 ) ) ) )
8782, 85, 86mp3an23 1269 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A ^ 2 )  e.  CC  ->  (
( A ^ 2 )  x.  ( ( 1  /  2 )  +  ( 1  / 
6 ) ) )  =  ( ( ( A ^ 2 )  x.  ( 1  / 
2 ) )  +  ( ( A ^
2 )  x.  (
1  /  6 ) ) ) )
8879, 87syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( A ^ 2 )  x.  ( ( 1  /  2 )  +  ( 1  / 
6 ) ) )  =  ( ( ( A ^ 2 )  x.  ( 1  / 
2 ) )  +  ( ( A ^
2 )  x.  (
1  /  6 ) ) ) )
8978, 88syl5eqr 2329 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( A ^ 2 )  x.  ( 2  /  3 ) )  =  ( ( ( A ^ 2 )  x.  ( 1  / 
2 ) )  +  ( ( A ^
2 )  x.  (
1  /  6 ) ) ) )
90 3cn 9818 . . . . . . . . . . 11  |-  3  e.  CC
91 3ne0 9831 . . . . . . . . . . 11  |-  3  =/=  0
9290, 91pm3.2i 441 . . . . . . . . . 10  |-  ( 3  e.  CC  /\  3  =/=  0 )
93 div12 9446 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( A ^ 2 )  e.  CC  /\  (
3  e.  CC  /\  3  =/=  0 ) )  ->  ( 2  x.  ( ( A ^
2 )  /  3
) )  =  ( ( A ^ 2 )  x.  ( 2  /  3 ) ) )
9480, 92, 93mp3an13 1268 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A ^ 2 )  e.  CC  ->  (
2  x.  ( ( A ^ 2 )  /  3 ) )  =  ( ( A ^ 2 )  x.  ( 2  /  3
) ) )
9579, 94syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
2  x.  ( ( A ^ 2 )  /  3 ) )  =  ( ( A ^ 2 )  x.  ( 2  /  3
) ) )
96 divrec 9440 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A ^ 2 )  e.  CC  /\  2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  ->  (
( A ^ 2 )  /  2 )  =  ( ( A ^ 2 )  x.  ( 1  /  2
) ) )
9780, 81, 96mp3an23 1269 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A ^ 2 )  e.  CC  ->  (
( A ^ 2 )  /  2 )  =  ( ( A ^ 2 )  x.  ( 1  /  2
) ) )
9879, 97syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( A ^ 2 )  /  2 )  =  ( ( A ^ 2 )  x.  ( 1  /  2
) ) )
99 divrec 9440 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A ^ 2 )  e.  CC  /\  6  e.  CC  /\  6  =/=  0 )  ->  (
( A ^ 2 )  /  6 )  =  ( ( A ^ 2 )  x.  ( 1  /  6
) ) )
10083, 84, 99mp3an23 1269 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A ^ 2 )  e.  CC  ->  (
( A ^ 2 )  /  6 )  =  ( ( A ^ 2 )  x.  ( 1  /  6
) ) )
10179, 100syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( A ^ 2 )  /  6 )  =  ( ( A ^ 2 )  x.  ( 1  /  6
) ) )
10298, 101oveq12d 5876 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( ( A ^
2 )  /  2
)  +  ( ( A ^ 2 )  /  6 ) )  =  ( ( ( A ^ 2 )  x.  ( 1  / 
2 ) )  +  ( ( A ^
2 )  x.  (
1  /  6 ) ) ) )
10389, 95, 1023eqtr4rd 2326 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( ( A ^
2 )  /  2
)  +  ( ( A ^ 2 )  /  6 ) )  =  ( 2  x.  ( ( A ^
2 )  /  3
) ) )
104103oveq2d 5874 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
1  -  ( ( ( A ^ 2 )  /  2 )  +  ( ( A ^ 2 )  / 
6 ) ) )  =  ( 1  -  ( 2  x.  (
( A ^ 2 )  /  3 ) ) ) )
10575, 104eqtrd 2315 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( 1  -  (
( A ^ 2 )  /  2 ) )  -  ( ( A ^ 2 )  /  6 ) )  =  ( 1  -  ( 2  x.  (
( A ^ 2 )  /  3 ) ) ) )
106105breq1d 4033 . . . 4  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( ( 1  -  ( ( A ^
2 )  /  2
) )  -  (
( A ^ 2 )  /  6 ) )  <  ( cos `  A )  <->  ( 1  -  ( 2  x.  ( ( A ^
2 )  /  3
) ) )  < 
( cos `  A
) ) )
10772, 73, 74subsubd 9185 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
1  -  ( ( ( A ^ 2 )  /  2 )  -  ( ( A ^ 2 )  / 
6 ) ) )  =  ( ( 1  -  ( ( A ^ 2 )  / 
2 ) )  +  ( ( A ^
2 )  /  6
) ) )
10876simpli 444 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  /  2 )  -  ( 1  / 
6 ) )  =  ( 1  /  3
)
109108oveq2i 5869 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A ^ 2 )  x.  ( ( 1  /  2 )  -  ( 1  /  6
) ) )  =  ( ( A ^
2 )  x.  (
1  /  3 ) )
110 subdi 9213 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A ^ 2 )  e.  CC  /\  ( 1  /  2
)  e.  CC  /\  ( 1  /  6
)  e.  CC )  ->  ( ( A ^ 2 )  x.  ( ( 1  / 
2 )  -  (
1  /  6 ) ) )  =  ( ( ( A ^
2 )  x.  (
1  /  2 ) )  -  ( ( A ^ 2 )  x.  ( 1  / 
6 ) ) ) )
11182, 85, 110mp3an23 1269 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A ^ 2 )  e.  CC  ->  (
( A ^ 2 )  x.  ( ( 1  /  2 )  -  ( 1  / 
6 ) ) )  =  ( ( ( A ^ 2 )  x.  ( 1  / 
2 ) )  -  ( ( A ^
2 )  x.  (
1  /  6 ) ) ) )
11279, 111syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( A ^ 2 )  x.  ( ( 1  /  2 )  -  ( 1  / 
6 ) ) )  =  ( ( ( A ^ 2 )  x.  ( 1  / 
2 ) )  -  ( ( A ^
2 )  x.  (
1  /  6 ) ) ) )
113109, 112syl5eqr 2329 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( A ^ 2 )  x.  ( 1  /  3 ) )  =  ( ( ( A ^ 2 )  x.  ( 1  / 
2 ) )  -  ( ( A ^
2 )  x.  (
1  /  6 ) ) ) )
114 divrec 9440 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A ^ 2 )  e.  CC  /\  3  e.  CC  /\  3  =/=  0 )  ->  (
( A ^ 2 )  /  3 )  =  ( ( A ^ 2 )  x.  ( 1  /  3
) ) )
11590, 91, 114mp3an23 1269 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A ^ 2 )  e.  CC  ->  (
( A ^ 2 )  /  3 )  =  ( ( A ^ 2 )  x.  ( 1  /  3
) ) )
11679, 115syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( A ^ 2 )  /  3 )  =  ( ( A ^ 2 )  x.  ( 1  /  3
) ) )
11798, 101oveq12d 5876 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( ( A ^
2 )  /  2
)  -  ( ( A ^ 2 )  /  6 ) )  =  ( ( ( A ^ 2 )  x.  ( 1  / 
2 ) )  -  ( ( A ^
2 )  x.  (
1  /  6 ) ) ) )
118113, 116, 1173eqtr4rd 2326 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( ( A ^
2 )  /  2
)  -  ( ( A ^ 2 )  /  6 ) )  =  ( ( A ^ 2 )  / 
3 ) )
119118oveq2d 5874 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
1  -  ( ( ( A ^ 2 )  /  2 )  -  ( ( A ^ 2 )  / 
6 ) ) )  =  ( 1  -  ( ( A ^
2 )  /  3
) ) )
120107, 119eqtr3d 2317 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( 1  -  (
( A ^ 2 )  /  2 ) )  +  ( ( A ^ 2 )  /  6 ) )  =  ( 1  -  ( ( A ^
2 )  /  3
) ) )
121120breq2d 4035 . . . 4  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( cos `  A
)  <  ( (
1  -  ( ( A ^ 2 )  /  2 ) )  +  ( ( A ^ 2 )  / 
6 ) )  <->  ( cos `  A )  <  (
1  -  ( ( A ^ 2 )  /  3 ) ) ) )
122106, 121anbi12d 691 . . 3  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( ( ( 1  -  ( ( A ^ 2 )  / 
2 ) )  -  ( ( A ^
2 )  /  6
) )  <  ( cos `  A )  /\  ( cos `  A )  <  ( ( 1  -  ( ( A ^ 2 )  / 
2 ) )  +  ( ( A ^
2 )  /  6
) ) )  <->  ( (
1  -  ( 2  x.  ( ( A ^ 2 )  / 
3 ) ) )  <  ( cos `  A
)  /\  ( cos `  A )  <  (
1  -  ( ( A ^ 2 )  /  3 ) ) ) ) )
12370, 122bitrd 244 . 2  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( abs `  (
( cos `  A
)  -  ( 1  -  ( ( A ^ 2 )  / 
2 ) ) ) )  <  ( ( A ^ 2 )  /  6 )  <->  ( (
1  -  ( 2  x.  ( ( A ^ 2 )  / 
3 ) ) )  <  ( cos `  A
)  /\  ( cos `  A )  <  (
1  -  ( ( A ^ 2 )  /  3 ) ) ) ) )
12469, 123mpbid 201 1  |-  ( A  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( 1  -  (
2  x.  ( ( A ^ 2 )  /  3 ) ) )  <  ( cos `  A )  /\  ( cos `  A )  < 
( 1  -  (
( A ^ 2 )  /  3 ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738   _ici 8739    + caddc 8740    x. cmul 8742   RR*cxr 8866    < clt 8867    <_ cle 8868    - cmin 9037    / cdiv 9423   NNcn 9746   2c2 9795   3c3 9796   4c4 9797   6c6 9799   NN0cn0 9965   ZZcz 10024   ZZ>=cuz 10230   (,]cioc 10657   ^cexp 11104   !cfa 11288   Recre 11582   abscabs 11719   sum_csu 12158   cosccos 12346
This theorem is referenced by:  cos1bnd  12467  cos01gt0  12471  tangtx  19873
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-pm 6775  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-rp 10355  df-ioc 10661  df-ico 10662  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-seq 11047  df-exp 11105  df-fac 11289  df-hash 11338  df-shft 11562  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-limsup 11945  df-clim 11962  df-rlim 11963  df-sum 12159  df-ef 12349  df-cos 12352
  Copyright terms: Public domain W3C validator