MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cos1bnd Unicode version

Theorem cos1bnd 12716
Description: Bounds on the cosine of 1. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.)
Assertion
Ref Expression
cos1bnd  |-  ( ( 1  /  3 )  <  ( cos `  1
)  /\  ( cos `  1 )  <  (
2  /  3 ) )

Proof of Theorem cos1bnd
StepHypRef Expression
1 sq1 11404 . . . . . . . 8  |-  ( 1 ^ 2 )  =  1
21oveq1i 6031 . . . . . . 7  |-  ( ( 1 ^ 2 )  /  3 )  =  ( 1  /  3
)
32oveq2i 6032 . . . . . 6  |-  ( 2  x.  ( ( 1 ^ 2 )  / 
3 ) )  =  ( 2  x.  (
1  /  3 ) )
4 2cn 10003 . . . . . . 7  |-  2  e.  CC
5 3cn 10005 . . . . . . 7  |-  3  e.  CC
6 3ne0 10018 . . . . . . 7  |-  3  =/=  0
74, 5, 6divreci 9692 . . . . . 6  |-  ( 2  /  3 )  =  ( 2  x.  (
1  /  3 ) )
83, 7eqtr4i 2411 . . . . 5  |-  ( 2  x.  ( ( 1 ^ 2 )  / 
3 ) )  =  ( 2  /  3
)
98oveq2i 6032 . . . 4  |-  ( 1  -  ( 2  x.  ( ( 1 ^ 2 )  /  3
) ) )  =  ( 1  -  (
2  /  3 ) )
10 ax-1cn 8982 . . . . 5  |-  1  e.  CC
114, 5, 6divcli 9689 . . . . 5  |-  ( 2  /  3 )  e.  CC
125, 6reccli 9677 . . . . 5  |-  ( 1  /  3 )  e.  CC
13 df-3 9992 . . . . . . 7  |-  3  =  ( 2  +  1 )
1413oveq1i 6031 . . . . . 6  |-  ( 3  /  3 )  =  ( ( 2  +  1 )  /  3
)
155, 6dividi 9680 . . . . . 6  |-  ( 3  /  3 )  =  1
164, 10, 5, 6divdiri 9704 . . . . . 6  |-  ( ( 2  +  1 )  /  3 )  =  ( ( 2  / 
3 )  +  ( 1  /  3 ) )
1714, 15, 163eqtr3ri 2417 . . . . 5  |-  ( ( 2  /  3 )  +  ( 1  / 
3 ) )  =  1
1810, 11, 12, 17subaddrii 9322 . . . 4  |-  ( 1  -  ( 2  / 
3 ) )  =  ( 1  /  3
)
199, 18eqtri 2408 . . 3  |-  ( 1  -  ( 2  x.  ( ( 1 ^ 2 )  /  3
) ) )  =  ( 1  /  3
)
20 1re 9024 . . . . 5  |-  1  e.  RR
21 0lt1 9483 . . . . 5  |-  0  <  1
22 1le1 9583 . . . . 5  |-  1  <_  1
23 0xr 9065 . . . . . . 7  |-  0  e.  RR*
24 elioc2 10906 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  1  e.  RR )  ->  (
1  e.  ( 0 (,] 1 )  <->  ( 1  e.  RR  /\  0  <  1  /\  1  <_ 
1 ) ) )
2523, 20, 24mp2an 654 . . . . . 6  |-  ( 1  e.  ( 0 (,] 1 )  <->  ( 1  e.  RR  /\  0  <  1  /\  1  <_ 
1 ) )
26 cos01bnd 12715 . . . . . 6  |-  ( 1  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( 1  -  (
2  x.  ( ( 1 ^ 2 )  /  3 ) ) )  <  ( cos `  1 )  /\  ( cos `  1 )  <  ( 1  -  ( ( 1 ^ 2 )  /  3
) ) ) )
2725, 26sylbir 205 . . . . 5  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  0  <  1  /\  1  <_  1 )  ->  (
( 1  -  (
2  x.  ( ( 1 ^ 2 )  /  3 ) ) )  <  ( cos `  1 )  /\  ( cos `  1 )  <  ( 1  -  ( ( 1 ^ 2 )  /  3
) ) ) )
2820, 21, 22, 27mp3an 1279 . . . 4  |-  ( ( 1  -  ( 2  x.  ( ( 1 ^ 2 )  / 
3 ) ) )  <  ( cos `  1
)  /\  ( cos `  1 )  <  (
1  -  ( ( 1 ^ 2 )  /  3 ) ) )
2928simpli 445 . . 3  |-  ( 1  -  ( 2  x.  ( ( 1 ^ 2 )  /  3
) ) )  < 
( cos `  1
)
3019, 29eqbrtrri 4175 . 2  |-  ( 1  /  3 )  < 
( cos `  1
)
3128simpri 449 . . 3  |-  ( cos `  1 )  < 
( 1  -  (
( 1 ^ 2 )  /  3 ) )
322oveq2i 6032 . . . 4  |-  ( 1  -  ( ( 1 ^ 2 )  / 
3 ) )  =  ( 1  -  (
1  /  3 ) )
3310, 12, 11subadd2i 9321 . . . . 5  |-  ( ( 1  -  ( 1  /  3 ) )  =  ( 2  / 
3 )  <->  ( (
2  /  3 )  +  ( 1  / 
3 ) )  =  1 )
3417, 33mpbir 201 . . . 4  |-  ( 1  -  ( 1  / 
3 ) )  =  ( 2  /  3
)
3532, 34eqtri 2408 . . 3  |-  ( 1  -  ( ( 1 ^ 2 )  / 
3 ) )  =  ( 2  /  3
)
3631, 35breqtri 4177 . 2  |-  ( cos `  1 )  < 
( 2  /  3
)
3730, 36pm3.2i 442 1  |-  ( ( 1  /  3 )  <  ( cos `  1
)  /\  ( cos `  1 )  <  (
2  /  3 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717   class class class wbr 4154   ` cfv 5395  (class class class)co 6021   RRcr 8923   0cc0 8924   1c1 8925    + caddc 8927    x. cmul 8929   RR*cxr 9053    < clt 9054    <_ cle 9055    - cmin 9224    / cdiv 9610   2c2 9982   3c3 9983   (,]cioc 10850   ^cexp 11310   cosccos 12595
This theorem is referenced by:  cos2bnd  12717
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-rep 4262  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642  ax-inf2 7530  ax-cnex 8980  ax-resscn 8981  ax-1cn 8982  ax-icn 8983  ax-addcl 8984  ax-addrcl 8985  ax-mulcl 8986  ax-mulrcl 8987  ax-mulcom 8988  ax-addass 8989  ax-mulass 8990  ax-distr 8991  ax-i2m1 8992  ax-1ne0 8993  ax-1rid 8994  ax-rnegex 8995  ax-rrecex 8996  ax-cnre 8997  ax-pre-lttri 8998  ax-pre-lttrn 8999  ax-pre-ltadd 9000  ax-pre-mulgt0 9001  ax-pre-sup 9002  ax-addf 9003  ax-mulf 9004
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-nel 2554  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rmo 2658  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-pss 3280  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-tp 3766  df-op 3767  df-uni 3959  df-int 3994  df-iun 4038  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-tr 4245  df-eprel 4436  df-id 4440  df-po 4445  df-so 4446  df-fr 4483  df-se 4484  df-we 4485  df-ord 4526  df-on 4527  df-lim 4528  df-suc 4529  df-om 4787  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-isom 5404  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-1st 6289  df-2nd 6290  df-riota 6486  df-recs 6570  df-rdg 6605  df-1o 6661  df-oadd 6665  df-er 6842  df-pm 6958  df-en 7047  df-dom 7048  df-sdom 7049  df-fin 7050  df-sup 7382  df-oi 7413  df-card 7760  df-pnf 9056  df-mnf 9057  df-xr 9058  df-ltxr 9059  df-le 9060  df-sub 9226  df-neg 9227  df-div 9611  df-nn 9934  df-2 9991  df-3 9992  df-4 9993  df-5 9994  df-6 9995  df-7 9996  df-8 9997  df-n0 10155  df-z 10216  df-uz 10422  df-rp 10546  df-ioc 10854  df-ico 10855  df-fz 10977  df-fzo 11067  df-fl 11130  df-seq 11252  df-exp 11311  df-fac 11495  df-hash 11547  df-shft 11810  df-cj 11832  df-re 11833  df-im 11834  df-sqr 11968  df-abs 11969  df-limsup 12193  df-clim 12210  df-rlim 12211  df-sum 12408  df-ef 12598  df-cos 12601
  Copyright terms: Public domain W3C validator