Theorem cos1bnd 7474

Description: Bounds on the cosine of 1. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.)

Assertion

Ref	Expression
cos1bnd	|- ((1 / 3) < (cos` 1) /\ (cos` 1) < (2 / 3))

Proof of Theorem cos1bnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sq1 6637	. . . . . . . 8 |- (1^2) = 1
2	1	opreq1i 3971	. . . . . . 7 |- ((1^2) / 3) = (1 / 3)
3	2	opreq2i 3972	. . . . . 6 |- (2 x. ((1^2) / 3)) = (2 x. (1 / 3))
4		2cn 5980	. . . . . . 7 |- 2 e. CC
5		3nn 6000	. . . . . . . 8 |- 3 e. NN
6	5	nncn 5932	. . . . . . 7 |- 3 e. CC
7	5	nnne0 5951	. . . . . . 7 |- 3 =/= 0
8	4, 6, 7	divrec 5737	. . . . . 6 |- (2 / 3) = (2 x. (1 / 3))
9	3, 8	eqtr4 1498	. . . . 5 |- (2 x. ((1^2) / 3)) = (2 / 3)
10	9	opreq2i 3972	. . . 4 |- (1 - (2 x. ((1^2) / 3))) = (1 - (2 / 3))
11		ax1cn 5269	. . . . 5 |- 1 e. CC
12	4, 6, 7	divcl 5710	. . . . 5 |- (2 / 3) e. CC
13	6, 7	reccl 5713	. . . . 5 |- (1 / 3) e. CC
14		df-3 5971	. . . . . . 7 |- 3 = (2 + 1)
15	14	opreq1i 3971	. . . . . 6 |- (3 / 3) = ((2 + 1) / 3)
16	6, 7	divid 5770	. . . . . 6 |- (3 / 3) = 1
17	4, 11, 6, 7	divdir 5747	. . . . . 6 |- ((2 + 1) / 3) = ((2 / 3) + (1 / 3))
18	15, 16, 17	3eqtr3r 1504	. . . . 5 |- ((2 / 3) + (1 / 3)) = 1
19	11, 12, 13, 18	subaddri 5372	. . . 4 |- (1 - (2 / 3)) = (1 / 3)
20	10, 19	eqtr 1495	. . 3 |- (1 - (2 x. ((1^2) / 3))) = (1 / 3)
21		1re 5435	. . . . 5 |- 1 e. RR
22		lt01 5680	. . . . 5 |- 0 < 1
23	21	leid 5610	. . . . 5 |- 1 <_ 1
24		0re 5440	. . . . . . 7 |- 0 e. RR
25		elioc2t 6390	. . . . . . 7 |- ((0 e. RR /\ 1 e. RR) -> (1 e. (0(,]1) <-> (1 e. RR /\ 0 < 1 /\ 1 <_ 1)))
26	24, 21, 25	mp2an 697	. . . . . 6 |- (1 e. (0(,]1) <-> (1 e. RR /\ 0 < 1 /\ 1 <_ 1))
27		cos01bnd 7473	. . . . . 6 |- (1 e. (0(,]1) -> ((1 - (2 x. ((1^2) / 3))) < (cos` 1) /\ (cos` 1) < (1 - ((1^2) / 3))))
28	26, 27	sylbir 201	. . . . 5 |- ((1 e. RR /\ 0 < 1 /\ 1 <_ 1) -> ((1 - (2 x. ((1^2) / 3))) < (cos` 1) /\ (cos` 1) < (1 - ((1^2) / 3))))
29	21, 22, 23, 28	mp3an 916	. . . 4 |- ((1 - (2 x. ((1^2) / 3))) < (cos` 1) /\ (cos` 1) < (1 - ((1^2) / 3)))
30	29	pm3.26i 320	. . 3 |- (1 - (2 x. ((1^2) / 3))) < (cos` 1)
31	20, 30	eqbrtrr 2636	. 2 |- (1 / 3) < (cos` 1)
32	29	pm3.27i 324	. . 3 |- (cos` 1) < (1 - ((1^2) / 3))
33	2	opreq2i 3972	. . . 4 |- (1 - ((1^2) / 3)) = (1 - (1 / 3))
34	11, 13, 12	subadd2 5373	. . . . 5 |- ((1 - (1 / 3)) = (2 / 3) <-> ((2 / 3) + (1 / 3)) = 1)
35	18, 34	mpbir 190	. . . 4 |- (1 - (1 / 3)) = (2 / 3)
36	33, 35	eqtr 1495	. . 3 |- (1 - ((1^2) / 3)) = (2 / 3)
37	32, 36	breqtr 2638	. 2 |- (cos` 1) < (2 / 3)
38	31, 37	pm3.2i 285	1 |- ((1 / 3) < (cos` 1) /\ (cos` 1) < (2 / 3))

Syntax hints:   <-> wb 146   /\ wa 223   /\ w3a 775   = wceq 956   e. wcel 958   class class class wbr 2619  ` cfv 3182  (class class class)co 3963  RRcr 5233  0cc0 5234  1c1 5235   + caddc 5237   x. cmul 5239   - cmin 5292   / cdiv 5294   <_ cle 5295   < clt 5486  2c2 5961  3c3 5962  (,]cioc 6358  ^cexp 6568  cosccos 7296

This theorem is referenced by:  cos2bnd 7475

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-nel 1588  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370  df-sup 4574  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-mr 5169  df-ltr 5170  df-0r 5171  df-1r 5172  df-m1r 5173  df-c 5240  df-0 5241  df-1 5242  df-i 5243  df-r 5244  df-plus 5245  df-mul 5246  df-lt 5247  df-sub 5356  df-neg 5358  df-pnf 5487  df-mnf 5488  df-xr 5489  df-ltxr 5490  df-le 5491  df-div 5703  df-n 5925  df-2 5970  df-3 5971  df-4 5972  df-5 5973  df-6 5974  df-7 5975  df-8 5976  df-n0 6100  df-z 6136  df-fl 6224  df-seq1 6308  df-shft 6341  df-ioc 6362  df-uz 6418  df-fz 6468  df-seqz 6533  df-seq0 6534  df-exp 6569  df-sqr 6670  df-re 6751  df-im 6752  df-cj 6753  df-abs 6754  df-fac 6932  df-clim 6975  df-sum 6980  df-ef 7298  df-cos 7301

Copyright terms: Public domain