MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cosangneg2d Unicode version

Theorem cosangneg2d 20518
Description: The cosine of the angle between  X and  -u Y is the negative of that between  X and  Y. If A, B and C are collinear points, this implies that the cosines of DBA and DBC sum to zero, i.e., that DBA and DBC are supplementary. (Contributed by David Moews, 28-Feb-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
ang.1  |-  F  =  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } ) ,  y  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( Im `  ( log `  ( y  /  x ) ) ) )
cosangneg2d.1  |-  ( ph  ->  X  e.  CC )
cosangneg2d.2  |-  ( ph  ->  X  =/=  0 )
cosangneg2d.3  |-  ( ph  ->  Y  e.  CC )
cosangneg2d.4  |-  ( ph  ->  Y  =/=  0 )
Assertion
Ref Expression
cosangneg2d  |-  ( ph  ->  ( cos `  ( X F -u Y ) )  =  -u ( cos `  ( X F Y ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, X    x, Y, y
Allowed substitution hints:    ph( x, y)    F( x, y)

Proof of Theorem cosangneg2d
StepHypRef Expression
1 cosangneg2d.3 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Y  e.  CC )
2 cosangneg2d.1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  CC )
3 cosangneg2d.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  =/=  0 )
41, 2, 3divcld 9724 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Y  /  X
)  e.  CC )
54recld 11928 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Re `  ( Y  /  X ) )  e.  RR )
65recnd 9049 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Re `  ( Y  /  X ) )  e.  CC )
74abscld 12167 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( Y  /  X ) )  e.  RR )
87recnd 9049 . . 3  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( Y  /  X ) )  e.  CC )
9 cosangneg2d.4 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  =/=  0 )
101, 2, 9, 3divne0d 9740 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Y  /  X
)  =/=  0 )
114, 10absne0d 12178 . . 3  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( Y  /  X ) )  =/=  0 )
126, 8, 11divnegd 9737 . 2  |-  ( ph  -> 
-u ( ( Re
`  ( Y  /  X ) )  / 
( abs `  ( Y  /  X ) ) )  =  ( -u ( Re `  ( Y  /  X ) )  /  ( abs `  ( Y  /  X ) ) ) )
13 ang.1 . . . . . 6  |-  F  =  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } ) ,  y  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( Im `  ( log `  ( y  /  x ) ) ) )
1413, 2, 3, 1, 9angvald 20515 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( X F Y )  =  ( Im
`  ( log `  ( Y  /  X ) ) ) )
1514fveq2d 5674 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( cos `  ( X F Y ) )  =  ( cos `  (
Im `  ( log `  ( Y  /  X
) ) ) ) )
164, 10cosargd 20372 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( cos `  (
Im `  ( log `  ( Y  /  X
) ) ) )  =  ( ( Re
`  ( Y  /  X ) )  / 
( abs `  ( Y  /  X ) ) ) )
1715, 16eqtrd 2421 . . 3  |-  ( ph  ->  ( cos `  ( X F Y ) )  =  ( ( Re
`  ( Y  /  X ) )  / 
( abs `  ( Y  /  X ) ) ) )
1817negeqd 9234 . 2  |-  ( ph  -> 
-u ( cos `  ( X F Y ) )  =  -u ( ( Re
`  ( Y  /  X ) )  / 
( abs `  ( Y  /  X ) ) ) )
191negcld 9332 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
-u Y  e.  CC )
201, 9negne0d 9343 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
-u Y  =/=  0
)
2113, 2, 3, 19, 20angvald 20515 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( X F -u Y )  =  ( Im `  ( log `  ( -u Y  /  X ) ) ) )
2221fveq2d 5674 . . 3  |-  ( ph  ->  ( cos `  ( X F -u Y ) )  =  ( cos `  ( Im `  ( log `  ( -u Y  /  X ) ) ) ) )
2319, 2, 3divcld 9724 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( -u Y  /  X )  e.  CC )
2419, 2, 20, 3divne0d 9740 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( -u Y  /  X )  =/=  0
)
2523, 24cosargd 20372 . . 3  |-  ( ph  ->  ( cos `  (
Im `  ( log `  ( -u Y  /  X ) ) ) )  =  ( ( Re `  ( -u Y  /  X ) )  /  ( abs `  ( -u Y  /  X ) ) ) )
261, 2, 3divnegd 9737 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
-u ( Y  /  X )  =  (
-u Y  /  X
) )
2726fveq2d 5674 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Re `  -u ( Y  /  X ) )  =  ( Re `  ( -u Y  /  X
) ) )
284renegd 11943 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Re `  -u ( Y  /  X ) )  =  -u ( Re `  ( Y  /  X
) ) )
2927, 28eqtr3d 2423 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Re `  ( -u Y  /  X ) )  =  -u (
Re `  ( Y  /  X ) ) )
3026fveq2d 5674 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( abs `  -u ( Y  /  X ) )  =  ( abs `  ( -u Y  /  X ) ) )
314absnegd 12180 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( abs `  -u ( Y  /  X ) )  =  ( abs `  ( Y  /  X ) ) )
3230, 31eqtr3d 2423 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( -u Y  /  X ) )  =  ( abs `  ( Y  /  X
) ) )
3329, 32oveq12d 6040 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( Re `  ( -u Y  /  X
) )  /  ( abs `  ( -u Y  /  X ) ) )  =  ( -u (
Re `  ( Y  /  X ) )  / 
( abs `  ( Y  /  X ) ) ) )
3422, 25, 333eqtrd 2425 . 2  |-  ( ph  ->  ( cos `  ( X F -u Y ) )  =  ( -u ( Re `  ( Y  /  X ) )  /  ( abs `  ( Y  /  X ) ) ) )
3512, 18, 343eqtr4rd 2432 1  |-  ( ph  ->  ( cos `  ( X F -u Y ) )  =  -u ( cos `  ( X F Y ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1649    e. wcel 1717    =/= wne 2552    \ cdif 3262   {csn 3759   ` cfv 5396  (class class class)co 6022    e. cmpt2 6024   CCcc 8923   0cc0 8925   -ucneg 9226    / cdiv 9611   Recre 11831   Imcim 11832   abscabs 11968   cosccos 12596   logclog 20321
This theorem is referenced by:  chordthmlem  20542
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-rep 4263  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346  ax-un 4643  ax-inf2 7531  ax-cnex 8981  ax-resscn 8982  ax-1cn 8983  ax-icn 8984  ax-addcl 8985  ax-addrcl 8986  ax-mulcl 8987  ax-mulrcl 8988  ax-mulcom 8989  ax-addass 8990  ax-mulass 8991  ax-distr 8992  ax-i2m1 8993  ax-1ne0 8994  ax-1rid 8995  ax-rnegex 8996  ax-rrecex 8997  ax-cnre 8998  ax-pre-lttri 8999  ax-pre-lttrn 9000  ax-pre-ltadd 9001  ax-pre-mulgt0 9002  ax-pre-sup 9003  ax-addf 9004  ax-mulf 9005
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-nel 2555  df-ral 2656  df-rex 2657  df-reu 2658  df-rmo 2659  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-csb 3197  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-pss 3281  df-nul 3574  df-if 3685  df-pw 3746  df-sn 3765  df-pr 3766  df-tp 3767  df-op 3768  df-uni 3960  df-int 3995  df-iun 4039  df-iin 4040  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-tr 4246  df-eprel 4437  df-id 4441  df-po 4446  df-so 4447  df-fr 4484  df-se 4485  df-we 4486  df-ord 4527  df-on 4528  df-lim 4529  df-suc 4530  df-om 4788  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-res 4832  df-ima 4833  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fn 5399  df-f 5400  df-f1 5401  df-fo 5402  df-f1o 5403  df-fv 5404  df-isom 5405  df-ov 6025  df-oprab 6026  df-mpt2 6027  df-of 6246  df-1st 6290  df-2nd 6291  df-riota 6487  df-recs 6571  df-rdg 6606  df-1o 6662  df-2o 6663  df-oadd 6666  df-er 6843  df-map 6958  df-pm 6959  df-ixp 7002  df-en 7048  df-dom 7049  df-sdom 7050  df-fin 7051  df-fi 7353  df-sup 7383  df-oi 7414  df-card 7761  df-cda 7983  df-pnf 9057  df-mnf 9058  df-xr 9059  df-ltxr 9060  df-le 9061  df-sub 9227  df-neg 9228  df-div 9612  df-nn 9935  df-2 9992  df-3 9993  df-4 9994  df-5 9995  df-6 9996  df-7 9997  df-8 9998  df-9 9999  df-10 10000  df-n0 10156  df-z 10217  df-dec 10317  df-uz 10423  df-q 10509  df-rp 10547  df-xneg 10644  df-xadd 10645  df-xmul 10646  df-ioo 10854  df-ioc 10855  df-ico 10856  df-icc 10857  df-fz 10978  df-fzo 11068  df-fl 11131  df-mod 11180  df-seq 11253  df-exp 11312  df-fac 11496  df-bc 11523  df-hash 11548  df-shft 11811  df-cj 11833  df-re 11834  df-im 11835  df-sqr 11969  df-abs 11970  df-limsup 12194  df-clim 12211  df-rlim 12212  df-sum 12409  df-ef 12599  df-sin 12601  df-cos 12602  df-pi 12604  df-struct 13400  df-ndx 13401  df-slot 13402  df-base 13403  df-sets 13404  df-ress 13405  df-plusg 13471  df-mulr 13472  df-starv 13473  df-sca 13474  df-vsca 13475  df-tset 13477  df-ple 13478  df-ds 13480  df-unif 13481  df-hom 13482  df-cco 13483  df-rest 13579  df-topn 13580  df-topgen 13596  df-pt 13597  df-prds 13600  df-xrs 13655  df-0g 13656  df-gsum 13657  df-qtop 13662  df-imas 13663  df-xps 13665  df-mre 13740  df-mrc 13741  df-acs 13743  df-mnd 14619  df-submnd 14668  df-mulg 14744  df-cntz 15045  df-cmn 15343  df-xmet 16621  df-met 16622  df-bl 16623  df-mopn 16624  df-fbas 16625  df-fg 16626  df-cnfld 16629  df-top 16888  df-bases 16890  df-topon 16891  df-topsp 16892  df-cld 17008  df-ntr 17009  df-cls 17010  df-nei 17087  df-lp 17125  df-perf 17126  df-cn 17215  df-cnp 17216  df-haus 17303  df-tx 17517  df-hmeo 17710  df-fil 17801  df-fm 17893  df-flim 17894  df-flf 17895  df-xms 18261  df-ms 18262  df-tms 18263  df-cncf 18781  df-limc 19622  df-dv 19623  df-log 20323
  Copyright terms: Public domain W3C validator