MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cosargd Unicode version

Theorem cosargd 20464
Description: The cosine of the argument is the quotient of the real part and the absolute value. Compare to efiarg 20463. (Contributed by David Moews, 28-Feb-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
cosargd.1  |-  ( ph  ->  X  e.  CC )
cosargd.2  |-  ( ph  ->  X  =/=  0 )
Assertion
Ref Expression
cosargd  |-  ( ph  ->  ( cos `  (
Im `  ( log `  X ) ) )  =  ( ( Re
`  X )  / 
( abs `  X
) ) )

Proof of Theorem cosargd
StepHypRef Expression
1 cosargd.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  CC )
21cjcld 11964 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( * `  X
)  e.  CC )
31, 2addcld 9071 . . 3  |-  ( ph  ->  ( X  +  ( * `  X ) )  e.  CC )
41abscld 12201 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( abs `  X
)  e.  RR )
54recnd 9078 . . 3  |-  ( ph  ->  ( abs `  X
)  e.  CC )
6 2cn 10034 . . . 4  |-  2  e.  CC
76a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  2  e.  CC )
8 cosargd.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  =/=  0 )
91, 8absne0d 12212 . . 3  |-  ( ph  ->  ( abs `  X
)  =/=  0 )
10 2ne0 10047 . . . 4  |-  2  =/=  0
1110a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  2  =/=  0 )
123, 5, 7, 9, 11divdiv32d 9779 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  +  ( * `  X ) )  / 
( abs `  X
) )  /  2
)  =  ( ( ( X  +  ( * `  X ) )  /  2 )  /  ( abs `  X
) ) )
131, 8logcld 20429 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( log `  X
)  e.  CC )
1413imcld 11963 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Im `  ( log `  X ) )  e.  RR )
1514recnd 9078 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Im `  ( log `  X ) )  e.  CC )
16 cosval 12687 . . . 4  |-  ( ( Im `  ( log `  X ) )  e.  CC  ->  ( cos `  ( Im `  ( log `  X ) ) )  =  ( ( ( exp `  (
_i  x.  ( Im `  ( log `  X
) ) ) )  +  ( exp `  ( -u _i  x.  ( Im
`  ( log `  X
) ) ) ) )  /  2 ) )
1715, 16syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( cos `  (
Im `  ( log `  X ) ) )  =  ( ( ( exp `  ( _i  x.  ( Im `  ( log `  X ) ) ) )  +  ( exp `  ( -u _i  x.  ( Im
`  ( log `  X
) ) ) ) )  /  2 ) )
18 efiarg 20463 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  CC  /\  X  =/=  0 )  -> 
( exp `  (
_i  x.  ( Im `  ( log `  X
) ) ) )  =  ( X  / 
( abs `  X
) ) )
191, 8, 18syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( exp `  (
_i  x.  ( Im `  ( log `  X
) ) ) )  =  ( X  / 
( abs `  X
) ) )
20 ax-icn 9013 . . . . . . . . . . 11  |-  _i  e.  CC
2120a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  _i  e.  CC )
2221, 15mulcld 9072 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( _i  x.  (
Im `  ( log `  X ) ) )  e.  CC )
23 efcj 12657 . . . . . . . . 9  |-  ( ( _i  x.  ( Im
`  ( log `  X
) ) )  e.  CC  ->  ( exp `  ( * `  (
_i  x.  ( Im `  ( log `  X
) ) ) ) )  =  ( * `
 ( exp `  (
_i  x.  ( Im `  ( log `  X
) ) ) ) ) )
2422, 23syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( exp `  (
* `  ( _i  x.  ( Im `  ( log `  X ) ) ) ) )  =  ( * `  ( exp `  ( _i  x.  ( Im `  ( log `  X ) ) ) ) ) )
2521, 15cjmuld 11989 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( * `  (
_i  x.  ( Im `  ( log `  X
) ) ) )  =  ( ( * `
 _i )  x.  ( * `  (
Im `  ( log `  X ) ) ) ) )
26 cji 11927 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( * `
 _i )  = 
-u _i
2726a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( * `  _i )  =  -u _i )
2814cjred 11994 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( * `  (
Im `  ( log `  X ) ) )  =  ( Im `  ( log `  X ) ) )
2927, 28oveq12d 6066 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( * `  _i )  x.  (
* `  ( Im `  ( log `  X
) ) ) )  =  ( -u _i  x.  ( Im `  ( log `  X ) ) ) )
3025, 29eqtrd 2444 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( * `  (
_i  x.  ( Im `  ( log `  X
) ) ) )  =  ( -u _i  x.  ( Im `  ( log `  X ) ) ) )
3130fveq2d 5699 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( exp `  (
* `  ( _i  x.  ( Im `  ( log `  X ) ) ) ) )  =  ( exp `  ( -u _i  x.  ( Im
`  ( log `  X
) ) ) ) )
3219fveq2d 5699 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( * `  ( exp `  ( _i  x.  ( Im `  ( log `  X ) ) ) ) )  =  ( * `  ( X  /  ( abs `  X
) ) ) )
3324, 31, 323eqtr3d 2452 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( exp `  ( -u _i  x.  ( Im
`  ( log `  X
) ) ) )  =  ( * `  ( X  /  ( abs `  X ) ) ) )
341, 5, 9cjdivd 11991 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( * `  ( X  /  ( abs `  X
) ) )  =  ( ( * `  X )  /  (
* `  ( abs `  X ) ) ) )
354cjred 11994 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( * `  ( abs `  X ) )  =  ( abs `  X
) )
3635oveq2d 6064 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( * `  X )  /  (
* `  ( abs `  X ) ) )  =  ( ( * `
 X )  / 
( abs `  X
) ) )
3733, 34, 363eqtrd 2448 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( exp `  ( -u _i  x.  ( Im
`  ( log `  X
) ) ) )  =  ( ( * `
 X )  / 
( abs `  X
) ) )
3819, 37oveq12d 6066 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( exp `  (
_i  x.  ( Im `  ( log `  X
) ) ) )  +  ( exp `  ( -u _i  x.  ( Im
`  ( log `  X
) ) ) ) )  =  ( ( X  /  ( abs `  X ) )  +  ( ( * `  X )  /  ( abs `  X ) ) ) )
391, 2, 5, 9divdird 9792 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( X  +  ( * `  X
) )  /  ( abs `  X ) )  =  ( ( X  /  ( abs `  X
) )  +  ( ( * `  X
)  /  ( abs `  X ) ) ) )
4038, 39eqtr4d 2447 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( exp `  (
_i  x.  ( Im `  ( log `  X
) ) ) )  +  ( exp `  ( -u _i  x.  ( Im
`  ( log `  X
) ) ) ) )  =  ( ( X  +  ( * `
 X ) )  /  ( abs `  X
) ) )
4140oveq1d 6063 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( exp `  ( _i  x.  (
Im `  ( log `  X ) ) ) )  +  ( exp `  ( -u _i  x.  ( Im `  ( log `  X ) ) ) ) )  /  2
)  =  ( ( ( X  +  ( * `  X ) )  /  ( abs `  X ) )  / 
2 ) )
4217, 41eqtrd 2444 . 2  |-  ( ph  ->  ( cos `  (
Im `  ( log `  X ) ) )  =  ( ( ( X  +  ( * `
 X ) )  /  ( abs `  X
) )  /  2
) )
43 reval 11874 . . . 4  |-  ( X  e.  CC  ->  (
Re `  X )  =  ( ( X  +  ( * `  X ) )  / 
2 ) )
441, 43syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Re `  X
)  =  ( ( X  +  ( * `
 X ) )  /  2 ) )
4544oveq1d 6063 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( Re `  X )  /  ( abs `  X ) )  =  ( ( ( X  +  ( * `
 X ) )  /  2 )  / 
( abs `  X
) ) )
4612, 42, 453eqtr4d 2454 1  |-  ( ph  ->  ( cos `  (
Im `  ( log `  X ) ) )  =  ( ( Re
`  X )  / 
( abs `  X
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2575   ` cfv 5421  (class class class)co 6048   CCcc 8952   0cc0 8954   _ici 8956    + caddc 8957    x. cmul 8959   -ucneg 9256    / cdiv 9641   2c2 10013   *ccj 11864   Recre 11865   Imcim 11866   abscabs 12002   expce 12627   cosccos 12630   logclog 20413
This theorem is referenced by:  cosarg0d  20465  cosangneg2d  20610
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-rep 4288  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668  ax-inf2 7560  ax-cnex 9010  ax-resscn 9011  ax-1cn 9012  ax-icn 9013  ax-addcl 9014  ax-addrcl 9015  ax-mulcl 9016  ax-mulrcl 9017  ax-mulcom 9018  ax-addass 9019  ax-mulass 9020  ax-distr 9021  ax-i2m1 9022  ax-1ne0 9023  ax-1rid 9024  ax-rnegex 9025  ax-rrecex 9026  ax-cnre 9027  ax-pre-lttri 9028  ax-pre-lttrn 9029  ax-pre-ltadd 9030  ax-pre-mulgt0 9031  ax-pre-sup 9032  ax-addf 9033  ax-mulf 9034
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-nel 2578  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rmo 2682  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-pss 3304  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-tp 3790  df-op 3791  df-uni 3984  df-int 4019  df-iun 4063  df-iin 4064  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-tr 4271  df-eprel 4462  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-fr 4509  df-se 4510  df-we 4511  df-ord 4552  df-on 4553  df-lim 4554  df-suc 4555  df-om 4813  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-isom 5430  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-of 6272  df-1st 6316  df-2nd 6317  df-riota 6516  df-recs 6600  df-rdg 6635  df-1o 6691  df-2o 6692  df-oadd 6695  df-er 6872  df-map 6987  df-pm 6988  df-ixp 7031  df-en 7077  df-dom 7078  df-sdom 7079  df-fin 7080  df-fi 7382  df-sup 7412  df-oi 7443  df-card 7790  df-cda 8012  df-pnf 9086  df-mnf 9087  df-xr 9088  df-ltxr 9089  df-le 9090  df-sub 9257  df-neg 9258  df-div 9642  df-nn 9965  df-2 10022  df-3 10023  df-4 10024  df-5 10025  df-6 10026  df-7 10027  df-8 10028  df-9 10029  df-10 10030  df-n0 10186  df-z 10247  df-dec 10347  df-uz 10453  df-q 10539  df-rp 10577  df-xneg 10674  df-xadd 10675  df-xmul 10676  df-ioo 10884  df-ioc 10885  df-ico 10886  df-icc 10887  df-fz 11008  df-fzo 11099  df-fl 11165  df-mod 11214  df-seq 11287  df-exp 11346  df-fac 11530  df-bc 11557  df-hash 11582  df-shft 11845  df-cj 11867  df-re 11868  df-im 11869  df-sqr 12003  df-abs 12004  df-limsup 12228  df-clim 12245  df-rlim 12246  df-sum 12443  df-ef 12633  df-sin 12635  df-cos 12636  df-pi 12638  df-struct 13434  df-ndx 13435  df-slot 13436  df-base 13437  df-sets 13438  df-ress 13439  df-plusg 13505  df-mulr 13506  df-starv 13507  df-sca 13508  df-vsca 13509  df-tset 13511  df-ple 13512  df-ds 13514  df-unif 13515  df-hom 13516  df-cco 13517  df-rest 13613  df-topn 13614  df-topgen 13630  df-pt 13631  df-prds 13634  df-xrs 13689  df-0g 13690  df-gsum 13691  df-qtop 13696  df-imas 13697  df-xps 13699  df-mre 13774  df-mrc 13775  df-acs 13777  df-mnd 14653  df-submnd 14702  df-mulg 14778  df-cntz 15079  df-cmn 15377  df-psmet 16657  df-xmet 16658  df-met 16659  df-bl 16660  df-mopn 16661  df-fbas 16662  df-fg 16663  df-cnfld 16667  df-top 16926  df-bases 16928  df-topon 16929  df-topsp 16930  df-cld 17046  df-ntr 17047  df-cls 17048  df-nei 17125  df-lp 17163  df-perf 17164  df-cn 17253  df-cnp 17254  df-haus 17341  df-tx 17555  df-hmeo 17748  df-fil 17839  df-fm 17931  df-flim 17932  df-flf 17933  df-xms 18311  df-ms 18312  df-tms 18313  df-cncf 18869  df-limc 19714  df-dv 19715  df-log 20415
  Copyright terms: Public domain W3C validator