MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cosasin Unicode version

Theorem cosasin 20613
Description: The cosine of the arcsine of  A is  sqr (
1  -  A ^
2 ). (Contributed by Mario Carneiro, 2-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
cosasin  |-  ( A  e.  CC  ->  ( cos `  (arcsin `  A
) )  =  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^
2 ) ) ) )

Proof of Theorem cosasin
StepHypRef Expression
1 asincl 20582 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  (arcsin `  A )  e.  CC )
2 cosval 12653 . . 3  |-  ( (arcsin `  A )  e.  CC  ->  ( cos `  (arcsin `  A ) )  =  ( ( ( exp `  ( _i  x.  (arcsin `  A ) ) )  +  ( exp `  ( -u _i  x.  (arcsin `  A ) ) ) )  /  2 ) )
31, 2syl 16 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  ( cos `  (arcsin `  A
) )  =  ( ( ( exp `  (
_i  x.  (arcsin `  A
) ) )  +  ( exp `  ( -u _i  x.  (arcsin `  A ) ) ) )  /  2 ) )
4 ax-1cn 8983 . . . . . . 7  |-  1  e.  CC
5 sqcl 11373 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A ^ 2 )  e.  CC )
6 subcl 9239 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( A ^ 2 )  e.  CC )  -> 
( 1  -  ( A ^ 2 ) )  e.  CC )
74, 5, 6sylancr 645 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
1  -  ( A ^ 2 ) )  e.  CC )
87sqrcld 12168 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) )  e.  CC )
9 ax-icn 8984 . . . . . 6  |-  _i  e.  CC
10 mulcl 9009 . . . . . 6  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( _i  x.  A
)  e.  CC )
119, 10mpan 652 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
_i  x.  A )  e.  CC )
128, 11, 8ppncand 9385 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) )  +  ( _i  x.  A ) )  +  ( ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) )  -  ( _i  x.  A ) ) )  =  ( ( sqr `  ( 1  -  ( A ^
2 ) ) )  +  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) )
13 efiasin 20597 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  ( exp `  ( _i  x.  (arcsin `  A ) ) )  =  ( ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) )
1411, 8addcomd 9202 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( _i  x.  A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) )  =  ( ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) )  +  ( _i  x.  A ) ) )
1513, 14eqtrd 2421 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  ( exp `  ( _i  x.  (arcsin `  A ) ) )  =  ( ( sqr `  ( 1  -  ( A ^
2 ) ) )  +  ( _i  x.  A ) ) )
16 mulneg12 9406 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  (arcsin `  A )  e.  CC )  ->  ( -u _i  x.  (arcsin `  A ) )  =  ( _i  x.  -u (arcsin `  A ) ) )
179, 1, 16sylancr 645 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  ( -u _i  x.  (arcsin `  A ) )  =  ( _i  x.  -u (arcsin `  A ) ) )
18 asinneg 20595 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  CC  ->  (arcsin `  -u A )  =  -u (arcsin `  A ) )
1918oveq2d 6038 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  (
_i  x.  (arcsin `  -u A
) )  =  ( _i  x.  -u (arcsin `  A ) ) )
2017, 19eqtr4d 2424 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  ( -u _i  x.  (arcsin `  A ) )  =  ( _i  x.  (arcsin `  -u A ) ) )
2120fveq2d 5674 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  ( exp `  ( -u _i  x.  (arcsin `  A )
) )  =  ( exp `  ( _i  x.  (arcsin `  -u A
) ) ) )
22 negcl 9240 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  -u A  e.  CC )
23 efiasin 20597 . . . . . . . 8  |-  ( -u A  e.  CC  ->  ( exp `  ( _i  x.  (arcsin `  -u A
) ) )  =  ( ( _i  x.  -u A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) )
2422, 23syl 16 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  ( exp `  ( _i  x.  (arcsin `  -u A ) ) )  =  ( ( _i  x.  -u A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) ) )
25 mulneg2 9405 . . . . . . . . 9  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( _i  x.  -u A
)  =  -u (
_i  x.  A )
)
269, 25mpan 652 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  (
_i  x.  -u A )  =  -u ( _i  x.  A ) )
27 sqneg 11371 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  CC  ->  ( -u A ^ 2 )  =  ( A ^
2 ) )
2827oveq2d 6038 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  (
1  -  ( -u A ^ 2 ) )  =  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) )
2928fveq2d 5674 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^
2 ) ) )  =  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) )
3026, 29oveq12d 6040 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( _i  x.  -u A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( -u A ^ 2 ) ) ) )  =  ( -u ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) )
3121, 24, 303eqtrd 2425 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  ( exp `  ( -u _i  x.  (arcsin `  A )
) )  =  (
-u ( _i  x.  A )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^
2 ) ) ) ) )
3211negcld 9332 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  -u (
_i  x.  A )  e.  CC )
3332, 8addcomd 9202 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  ( -u ( _i  x.  A
)  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) )  =  ( ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) )  +  -u (
_i  x.  A )
) )
348, 11negsubd 9351 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) )  +  -u (
_i  x.  A )
)  =  ( ( sqr `  ( 1  -  ( A ^
2 ) ) )  -  ( _i  x.  A ) ) )
3531, 33, 343eqtrd 2425 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  ( exp `  ( -u _i  x.  (arcsin `  A )
) )  =  ( ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) )  -  ( _i  x.  A ) ) )
3615, 35oveq12d 6040 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( exp `  (
_i  x.  (arcsin `  A
) ) )  +  ( exp `  ( -u _i  x.  (arcsin `  A ) ) ) )  =  ( ( ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) )  +  ( _i  x.  A ) )  +  ( ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) )  -  ( _i  x.  A ) ) ) )
3782timesd 10144 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
2  x.  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) )  =  ( ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) )
3812, 36, 373eqtr4d 2431 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( exp `  (
_i  x.  (arcsin `  A
) ) )  +  ( exp `  ( -u _i  x.  (arcsin `  A ) ) ) )  =  ( 2  x.  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) ) )
3938oveq1d 6037 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( exp `  (
_i  x.  (arcsin `  A
) ) )  +  ( exp `  ( -u _i  x.  (arcsin `  A ) ) ) )  /  2 )  =  ( ( 2  x.  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) )  /  2
) )
40 2cn 10004 . . . 4  |-  2  e.  CC
4140a1i 11 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  2  e.  CC )
42 2ne0 10017 . . . 4  |-  2  =/=  0
4342a1i 11 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  2  =/=  0 )
448, 41, 43divcan3d 9729 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( 2  x.  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^ 2 ) ) ) )  /  2 )  =  ( sqr `  (
1  -  ( A ^ 2 ) ) ) )
453, 39, 443eqtrd 2425 1  |-  ( A  e.  CC  ->  ( cos `  (arcsin `  A
) )  =  ( sqr `  ( 1  -  ( A ^
2 ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1649    e. wcel 1717    =/= wne 2552   ` cfv 5396  (class class class)co 6022   CCcc 8923   0cc0 8925   1c1 8926   _ici 8927    + caddc 8928    x. cmul 8930    - cmin 9225   -ucneg 9226    / cdiv 9611   2c2 9983   ^cexp 11311   sqrcsqr 11967   expce 12593   cosccos 12596  arcsincasin 20571
This theorem is referenced by:  sinacos  20614
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-rep 4263  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346  ax-un 4643  ax-inf2 7531  ax-cnex 8981  ax-resscn 8982  ax-1cn 8983  ax-icn 8984  ax-addcl 8985  ax-addrcl 8986  ax-mulcl 8987  ax-mulrcl 8988  ax-mulcom 8989  ax-addass 8990  ax-mulass 8991  ax-distr 8992  ax-i2m1 8993  ax-1ne0 8994  ax-1rid 8995  ax-rnegex 8996  ax-rrecex 8997  ax-cnre 8998  ax-pre-lttri 8999  ax-pre-lttrn 9000  ax-pre-ltadd 9001  ax-pre-mulgt0 9002  ax-pre-sup 9003  ax-addf 9004  ax-mulf 9005
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-nel 2555  df-ral 2656  df-rex 2657  df-reu 2658  df-rmo 2659  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-csb 3197  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-pss 3281  df-nul 3574  df-if 3685  df-pw 3746  df-sn 3765  df-pr 3766  df-tp 3767  df-op 3768  df-uni 3960  df-int 3995  df-iun 4039  df-iin 4040  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-tr 4246  df-eprel 4437  df-id 4441  df-po 4446  df-so 4447  df-fr 4484  df-se 4485  df-we 4486  df-ord 4527  df-on 4528  df-lim 4529  df-suc 4530  df-om 4788  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-res 4832  df-ima 4833  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fn 5399  df-f 5400  df-f1 5401  df-fo 5402  df-f1o 5403  df-fv 5404  df-isom 5405  df-ov 6025  df-oprab 6026  df-mpt2 6027  df-of 6246  df-1st 6290  df-2nd 6291  df-riota 6487  df-recs 6571  df-rdg 6606  df-1o 6662  df-2o 6663  df-oadd 6666  df-er 6843  df-map 6958  df-pm 6959  df-ixp 7002  df-en 7048  df-dom 7049  df-sdom 7050  df-fin 7051  df-fi 7353  df-sup 7383  df-oi 7414  df-card 7761  df-cda 7983  df-pnf 9057  df-mnf 9058  df-xr 9059  df-ltxr 9060  df-le 9061  df-sub 9227  df-neg 9228  df-div 9612  df-nn 9935  df-2 9992  df-3 9993  df-4 9994  df-5 9995  df-6 9996  df-7 9997  df-8 9998  df-9 9999  df-10 10000  df-n0 10156  df-z 10217  df-dec 10317  df-uz 10423  df-q 10509  df-rp 10547  df-xneg 10644  df-xadd 10645  df-xmul 10646  df-ioo 10854  df-ioc 10855  df-ico 10856  df-icc 10857  df-fz 10978  df-fzo 11068  df-fl 11131  df-mod 11180  df-seq 11253  df-exp 11312  df-fac 11496  df-bc 11523  df-hash 11548  df-shft 11811  df-cj 11833  df-re 11834  df-im 11835  df-sqr 11969  df-abs 11970  df-limsup 12194  df-clim 12211  df-rlim 12212  df-sum 12409  df-ef 12599  df-sin 12601  df-cos 12602  df-pi 12604  df-struct 13400  df-ndx 13401  df-slot 13402  df-base 13403  df-sets 13404  df-ress 13405  df-plusg 13471  df-mulr 13472  df-starv 13473  df-sca 13474  df-vsca 13475  df-tset 13477  df-ple 13478  df-ds 13480  df-unif 13481  df-hom 13482  df-cco 13483  df-rest 13579  df-topn 13580  df-topgen 13596  df-pt 13597  df-prds 13600  df-xrs 13655  df-0g 13656  df-gsum 13657  df-qtop 13662  df-imas 13663  df-xps 13665  df-mre 13740  df-mrc 13741  df-acs 13743  df-mnd 14619  df-submnd 14668  df-mulg 14744  df-cntz 15045  df-cmn 15343  df-xmet 16621  df-met 16622  df-bl 16623  df-mopn 16624  df-fbas 16625  df-fg 16626  df-cnfld 16629  df-top 16888  df-bases 16890  df-topon 16891  df-topsp 16892  df-cld 17008  df-ntr 17009  df-cls 17010  df-nei 17087  df-lp 17125  df-perf 17126  df-cn 17215  df-cnp 17216  df-haus 17303  df-tx 17517  df-hmeo 17710  df-fil 17801  df-fm 17893  df-flim 17894  df-flf 17895  df-xms 18261  df-ms 18262  df-tms 18263  df-cncf 18781  df-limc 19622  df-dv 19623  df-log 20323  df-asin 20574
  Copyright terms: Public domain W3C validator