MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coseq1 Unicode version

Theorem coseq1 20299
Description: A complex number whose cosine is one is an integer multiple of  2 pi. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
coseq1  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( cos `  A
)  =  1  <->  ( A  /  ( 2  x.  pi ) )  e.  ZZ ) )

Proof of Theorem coseq1
StepHypRef Expression
1 2cn 10004 . . . . . . . 8  |-  2  e.  CC
2 2ne0 10017 . . . . . . . 8  |-  2  =/=  0
3 divcan2 9620 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  ->  (
2  x.  ( A  /  2 ) )  =  A )
41, 2, 3mp3an23 1271 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  (
2  x.  ( A  /  2 ) )  =  A )
54fveq2d 5674 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  ( cos `  ( 2  x.  ( A  /  2
) ) )  =  ( cos `  A
) )
6 halfcl 10127 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  /  2 )  e.  CC )
7 cos2tsin 12709 . . . . . . 7  |-  ( ( A  /  2 )  e.  CC  ->  ( cos `  ( 2  x.  ( A  /  2
) ) )  =  ( 1  -  (
2  x.  ( ( sin `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) ) ) )
86, 7syl 16 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  ( cos `  ( 2  x.  ( A  /  2
) ) )  =  ( 1  -  (
2  x.  ( ( sin `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) ) ) )
95, 8eqtr3d 2423 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  ( cos `  A )  =  ( 1  -  (
2  x.  ( ( sin `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) ) ) )
109eqeq1d 2397 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( cos `  A
)  =  1  <->  (
1  -  ( 2  x.  ( ( sin `  ( A  /  2
) ) ^ 2 ) ) )  =  1 ) )
116sincld 12660 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  ( sin `  ( A  / 
2 ) )  e.  CC )
1211sqcld 11450 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( sin `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 )  e.  CC )
13 mulcl 9009 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( ( sin `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 )  e.  CC )  ->  (
2  x.  ( ( sin `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) )  e.  CC )
141, 12, 13sylancr 645 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
2  x.  ( ( sin `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) )  e.  CC )
15 ax-1cn 8983 . . . . . . 7  |-  1  e.  CC
16 subsub23 9244 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( 2  x.  (
( sin `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) )  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  (
( 1  -  (
2  x.  ( ( sin `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) ) )  =  1  <->  (
1  -  1 )  =  ( 2  x.  ( ( sin `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) ) ) )
1715, 15, 16mp3an13 1270 . . . . . 6  |-  ( ( 2  x.  ( ( sin `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) )  e.  CC  ->  (
( 1  -  (
2  x.  ( ( sin `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) ) )  =  1  <->  (
1  -  1 )  =  ( 2  x.  ( ( sin `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) ) ) )
1814, 17syl 16 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( 1  -  (
2  x.  ( ( sin `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) ) )  =  1  <->  (
1  -  1 )  =  ( 2  x.  ( ( sin `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) ) ) )
19 eqcom 2391 . . . . . 6  |-  ( ( 1  -  1 )  =  ( 2  x.  ( ( sin `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) )  <-> 
( 2  x.  (
( sin `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) )  =  ( 1  -  1 ) )
20 1m1e0 10002 . . . . . . 7  |-  ( 1  -  1 )  =  0
2120eqeq2i 2399 . . . . . 6  |-  ( ( 2  x.  ( ( sin `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) )  =  ( 1  -  1 )  <->  ( 2  x.  ( ( sin `  ( A  /  2
) ) ^ 2 ) )  =  0 )
2219, 21bitri 241 . . . . 5  |-  ( ( 1  -  1 )  =  ( 2  x.  ( ( sin `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) )  <-> 
( 2  x.  (
( sin `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) )  =  0 )
2318, 22syl6bb 253 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( 1  -  (
2  x.  ( ( sin `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) ) )  =  1  <->  (
2  x.  ( ( sin `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) )  =  0 ) )
2410, 23bitrd 245 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( cos `  A
)  =  1  <->  (
2  x.  ( ( sin `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) )  =  0 ) )
25 mul0or 9596 . . . . 5  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( ( sin `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 )  e.  CC )  ->  (
( 2  x.  (
( sin `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) )  =  0  <->  ( 2  =  0  \/  (
( sin `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 )  =  0 ) ) )
261, 12, 25sylancr 645 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( 2  x.  (
( sin `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) )  =  0  <->  ( 2  =  0  \/  (
( sin `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 )  =  0 ) ) )
27 df-ne 2554 . . . . . 6  |-  ( 2  =/=  0  <->  -.  2  =  0 )
282, 27mpbi 200 . . . . 5  |-  -.  2  =  0
29 biorf 395 . . . . 5  |-  ( -.  2  =  0  -> 
( ( ( sin `  ( A  /  2
) ) ^ 2 )  =  0  <->  (
2  =  0  \/  ( ( sin `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 )  =  0 ) ) )
3028, 29ax-mp 8 . . . 4  |-  ( ( ( sin `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 )  =  0  <->  ( 2  =  0  \/  ( ( sin `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 )  =  0 ) )
3126, 30syl6bbr 255 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( 2  x.  (
( sin `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) )  =  0  <->  ( ( sin `  ( A  / 
2 ) ) ^
2 )  =  0 ) )
32 sqeq0 11375 . . . 4  |-  ( ( sin `  ( A  /  2 ) )  e.  CC  ->  (
( ( sin `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 )  =  0  <->  ( sin `  ( A  /  2 ) )  =  0 ) )
3311, 32syl 16 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( sin `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 )  =  0  <->  ( sin `  ( A  /  2 ) )  =  0 ) )
3424, 31, 333bitrd 271 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( cos `  A
)  =  1  <->  ( sin `  ( A  / 
2 ) )  =  0 ) )
35 sineq0 20298 . . 3  |-  ( ( A  /  2 )  e.  CC  ->  (
( sin `  ( A  /  2 ) )  =  0  <->  ( ( A  /  2 )  /  pi )  e.  ZZ ) )
366, 35syl 16 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( sin `  ( A  /  2 ) )  =  0  <->  ( ( A  /  2 )  /  pi )  e.  ZZ ) )
371, 2pm3.2i 442 . . . 4  |-  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )
38 pire 20241 . . . . . 6  |-  pi  e.  RR
3938recni 9037 . . . . 5  |-  pi  e.  CC
40 pipos 20242 . . . . . 6  |-  0  <  pi
4138, 40gt0ne0ii 9497 . . . . 5  |-  pi  =/=  0
4239, 41pm3.2i 442 . . . 4  |-  ( pi  e.  CC  /\  pi  =/=  0 )
43 divdiv1 9659 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  /\  ( pi  e.  CC  /\  pi  =/=  0
) )  ->  (
( A  /  2
)  /  pi )  =  ( A  / 
( 2  x.  pi ) ) )
4437, 42, 43mp3an23 1271 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( A  /  2
)  /  pi )  =  ( A  / 
( 2  x.  pi ) ) )
4544eleq1d 2455 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( A  / 
2 )  /  pi )  e.  ZZ  <->  ( A  /  ( 2  x.  pi ) )  e.  ZZ ) )
4634, 36, 453bitrd 271 1  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( cos `  A
)  =  1  <->  ( A  /  ( 2  x.  pi ) )  e.  ZZ ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717    =/= wne 2552   ` cfv 5396  (class class class)co 6022   CCcc 8923   0cc0 8925   1c1 8926    x. cmul 8930    - cmin 9225    / cdiv 9611   2c2 9983   ZZcz 10216   ^cexp 11311   sincsin 12595   cosccos 12596   picpi 12598
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-rep 4263  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346  ax-un 4643  ax-inf2 7531  ax-cnex 8981  ax-resscn 8982  ax-1cn 8983  ax-icn 8984  ax-addcl 8985  ax-addrcl 8986  ax-mulcl 8987  ax-mulrcl 8988  ax-mulcom 8989  ax-addass 8990  ax-mulass 8991  ax-distr 8992  ax-i2m1 8993  ax-1ne0 8994  ax-1rid 8995  ax-rnegex 8996  ax-rrecex 8997  ax-cnre 8998  ax-pre-lttri 8999  ax-pre-lttrn 9000  ax-pre-ltadd 9001  ax-pre-mulgt0 9002  ax-pre-sup 9003  ax-addf 9004  ax-mulf 9005
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-nel 2555  df-ral 2656  df-rex 2657  df-reu 2658  df-rmo 2659  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-csb 3197  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-pss 3281  df-nul 3574  df-if 3685  df-pw 3746  df-sn 3765  df-pr 3766  df-tp 3767  df-op 3768  df-uni 3960  df-int 3995  df-iun 4039  df-iin 4040  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-tr 4246  df-eprel 4437  df-id 4441  df-po 4446  df-so 4447  df-fr 4484  df-se 4485  df-we 4486  df-ord 4527  df-on 4528  df-lim 4529  df-suc 4530  df-om 4788  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-res 4832  df-ima 4833  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fn 5399  df-f 5400  df-f1 5401  df-fo 5402  df-f1o 5403  df-fv 5404  df-isom 5405  df-ov 6025  df-oprab 6026  df-mpt2 6027  df-of 6246  df-1st 6290  df-2nd 6291  df-riota 6487  df-recs 6571  df-rdg 6606  df-1o 6662  df-2o 6663  df-oadd 6666  df-er 6843  df-map 6958  df-pm 6959  df-ixp 7002  df-en 7048  df-dom 7049  df-sdom 7050  df-fin 7051  df-fi 7353  df-sup 7383  df-oi 7414  df-card 7761  df-cda 7983  df-pnf 9057  df-mnf 9058  df-xr 9059  df-ltxr 9060  df-le 9061  df-sub 9227  df-neg 9228  df-div 9612  df-nn 9935  df-2 9992  df-3 9993  df-4 9994  df-5 9995  df-6 9996  df-7 9997  df-8 9998  df-9 9999  df-10 10000  df-n0 10156  df-z 10217  df-dec 10317  df-uz 10423  df-q 10509  df-rp 10547  df-xneg 10644  df-xadd 10645  df-xmul 10646  df-ioo 10854  df-ioc 10855  df-ico 10856  df-icc 10857  df-fz 10978  df-fzo 11068  df-fl 11131  df-mod 11180  df-seq 11253  df-exp 11312  df-fac 11496  df-bc 11523  df-hash 11548  df-shft 11811  df-cj 11833  df-re 11834  df-im 11835  df-sqr 11969  df-abs 11970  df-limsup 12194  df-clim 12211  df-rlim 12212  df-sum 12409  df-ef 12599  df-sin 12601  df-cos 12602  df-pi 12604  df-struct 13400  df-ndx 13401  df-slot 13402  df-base 13403  df-sets 13404  df-ress 13405  df-plusg 13471  df-mulr 13472  df-starv 13473  df-sca 13474  df-vsca 13475  df-tset 13477  df-ple 13478  df-ds 13480  df-unif 13481  df-hom 13482  df-cco 13483  df-rest 13579  df-topn 13580  df-topgen 13596  df-pt 13597  df-prds 13600  df-xrs 13655  df-0g 13656  df-gsum 13657  df-qtop 13662  df-imas 13663  df-xps 13665  df-mre 13740  df-mrc 13741  df-acs 13743  df-mnd 14619  df-submnd 14668  df-mulg 14744  df-cntz 15045  df-cmn 15343  df-xmet 16621  df-met 16622  df-bl 16623  df-mopn 16624  df-fbas 16625  df-fg 16626  df-cnfld 16629  df-top 16888  df-bases 16890  df-topon 16891  df-topsp 16892  df-cld 17008  df-ntr 17009  df-cls 17010  df-nei 17087  df-lp 17125  df-perf 17126  df-cn 17215  df-cnp 17216  df-haus 17303  df-tx 17517  df-hmeo 17710  df-fil 17801  df-fm 17893  df-flim 17894  df-flf 17895  df-xms 18261  df-ms 18262  df-tms 18263  df-cncf 18781  df-limc 19622  df-dv 19623
  Copyright terms: Public domain W3C validator