Theorem cosh111t 8712

Description: Cosine is one-to-one over the closed-below, open-above interval from 0 to pi. (Contributed by Paul Chapman, 16-Mar-2008.)

Assertion

Ref	Expression
cosh111t	|- ((A e. (0[,)pi) /\ B e. (0[,)pi)) -> (A = B <-> (cos` A) = (cos` B)))

Proof of Theorem cosh111t

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqeq1 1484	. . 3 |- (A = if(A e. (0[,)pi), A, 0) -> (A = B <-> if(A e. (0[,)pi), A, 0) = B))
2		fveq2 3730	. . . 4 |- (A = if(A e. (0[,)pi), A, 0) -> (cos` A) = (cos` if(A e. (0[,)pi), A, 0)))
3	2	eqeq1d 1486	. . 3 |- (A = if(A e. (0[,)pi), A, 0) -> ((cos` A) = (cos` B) <-> (cos` if(A e. (0[,)pi), A, 0)) = (cos` B)))
4	1, 3	bibi12d 631	. 2 |- (A = if(A e. (0[,)pi), A, 0) -> ((A = B <-> (cos` A) = (cos` B)) <-> (if(A e. (0[,)pi), A, 0) = B <-> (cos` if(A e. (0[,)pi), A, 0)) = (cos` B))))
5		eqeq2 1487	. . 3 |- (B = if(B e. (0[,)pi), B, 0) -> (if(A e. (0[,)pi), A, 0) = B <-> if(A e. (0[,)pi), A, 0) = if(B e. (0[,)pi), B, 0)))
6		fveq2 3730	. . . 4 |- (B = if(B e. (0[,)pi), B, 0) -> (cos` B) = (cos` if(B e. (0[,)pi), B, 0)))
7	6	eqeq2d 1489	. . 3 |- (B = if(B e. (0[,)pi), B, 0) -> ((cos` if(A e. (0[,)pi), A, 0)) = (cos` B) <-> (cos` if(A e. (0[,)pi), A, 0)) = (cos` if(B e. (0[,)pi), B, 0))))
8	5, 7	bibi12d 631	. 2 |- (B = if(B e. (0[,)pi), B, 0) -> ((if(A e. (0[,)pi), A, 0) = B <-> (cos` if(A e. (0[,)pi), A, 0)) = (cos` B)) <-> (if(A e. (0[,)pi), A, 0) = if(B e. (0[,)pi), B, 0) <-> (cos` if(A e. (0[,)pi), A, 0)) = (cos` if(B e. (0[,)pi), B, 0)))))
9		0re 5452	. . . . . . 7 |- 0 e. RR
10	9	leid 5622	. . . . . . 7 |- 0 <_ 0
11		pipos 8673	. . . . . . 7 |- 0 < pi
12		pire 8672	. . . . . . . . 9 |- pi e. RR
13		elico2t 6392	. . . . . . . . 9 |- ((0 e. RR /\ pi e. RR) -> (0 e. (0[,)pi) <-> (0 e. RR /\ 0 <_ 0 /\ 0 < pi)))
14	9, 12, 13	mp2an 699	. . . . . . . 8 |- (0 e. (0[,)pi) <-> (0 e. RR /\ 0 <_ 0 /\ 0 < pi))
15	14	biimpr 152	. . . . . . 7 |- ((0 e. RR /\ 0 <_ 0 /\ 0 < pi) -> 0 e. (0[,)pi))
16	9, 10, 11, 15	mp3an 918	. . . . . 6 |- 0 e. (0[,)pi)
17	16	elimel 2398	. . . . 5 |- if(A e. (0[,)pi), A, 0) e. (0[,)pi)
18		elico2t 6392	. . . . . 6 |- ((0 e. RR /\ pi e. RR) -> (if(A e. (0[,)pi), A, 0) e. (0[,)pi) <-> (if(A e. (0[,)pi), A, 0) e. RR /\ 0 <_ if(A e. (0[,)pi), A, 0) /\ if(A e. (0[,)pi), A, 0) < pi)))
19	9, 12, 18	mp2an 699	. . . . 5 |- (if(A e. (0[,)pi), A, 0) e. (0[,)pi) <-> (if(A e. (0[,)pi), A, 0) e. RR /\ 0 <_ if(A e. (0[,)pi), A, 0) /\ if(A e. (0[,)pi), A, 0) < pi))
20	17, 19	mpbi 189	. . . 4 |- (if(A e. (0[,)pi), A, 0) e. RR /\ 0 <_ if(A e. (0[,)pi), A, 0) /\ if(A e. (0[,)pi), A, 0) < pi)
21	20	3simp1i 793	. . 3 |- if(A e. (0[,)pi), A, 0) e. RR
22	16	elimel 2398	. . . . 5 |- if(B e. (0[,)pi), B, 0) e. (0[,)pi)
23		elico2t 6392	. . . . . 6 |- ((0 e. RR /\ pi e. RR) -> (if(B e. (0[,)pi), B, 0) e. (0[,)pi) <-> (if(B e. (0[,)pi), B, 0) e. RR /\ 0 <_ if(B e. (0[,)pi), B, 0) /\ if(B e. (0[,)pi), B, 0) < pi)))
24	9, 12, 23	mp2an 699	. . . . 5 |- (if(B e. (0[,)pi), B, 0) e. (0[,)pi) <-> (if(B e. (0[,)pi), B, 0) e. RR /\ 0 <_ if(B e. (0[,)pi), B, 0) /\ if(B e. (0[,)pi), B, 0) < pi))
25	22, 24	mpbi 189	. . . 4 |- (if(B e. (0[,)pi), B, 0) e. RR /\ 0 <_ if(B e. (0[,)pi), B, 0) /\ if(B e. (0[,)pi), B, 0) < pi)
26	25	3simp1i 793	. . 3 |- if(B e. (0[,)pi), B, 0) e. RR
27	20	3simp2i 794	. . 3 |- 0 <_ if(A e. (0[,)pi), A, 0)
28	25	3simp2i 794	. . 3 |- 0 <_ if(B e. (0[,)pi), B, 0)
29	20	3simp3i 795	. . 3 |- if(A e. (0[,)pi), A, 0) < pi
30	25	3simp3i 795	. . 3 |- if(B e. (0[,)pi), B, 0) < pi
31	21, 26, 27, 28, 29, 30	cosh111lem3 8711	. 2 |- (if(A e. (0[,)pi), A, 0) = if(B e. (0[,)pi), B, 0) <-> (cos` if(A e. (0[,)pi), A, 0)) = (cos` if(B e. (0[,)pi), B, 0)))
32	4, 8, 31	dedth2h 2391	1 |- ((A e. (0[,)pi) /\ B e. (0[,)pi)) -> (A = B <-> (cos` A) = (cos` B)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   /\ w3a 777   = wceq 958   e. wcel 960  ifcif 2365   class class class wbr 2624  ` cfv 3188  (class class class)co 3969  RRcr 5245  0cc0 5246   <_ cle 5307   < clt 5498  [,)cico 6360  cosccos 7296  picpi 7297

This theorem is referenced by:  efif1lem3 8727

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-reg 4602  ax-inf2 4634  ax-ac 4754

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-nel 1591  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-iin 2573  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-map 4330  df-en 4374  df-dom 4375  df-sdom 4376  df-sup 4583  df-r1 4653  df-rank 4654  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-mp 5101  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-mpr 5177  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-mr 5181  df-ltr 5182  df-0r 5183  df-1r 5184  df-m1r 5185  df-c 5252  df-0 5253  df-1 5254  df-i 5255  df-r 5256  df-plus 5257  df-mul 5258  df-lt 5259  df-sub 5368  df-neg 5370  df-pnf 5499  df-mnf 5500  df-xr 5501  df-ltxr 5502  df-le 5503  df-div 5715  df-n 5927  df-2 5972  df-3 5973  df-4 5974  df-5 5975  df-6 5976  df-7 5977  df-8 5978  df-9 5979  df-n0 6102  df-z 6138  df-fl 6226  df-q 6257  df-rp 6282  df-seq1 6309  df-shft 6342  df-ioo 6362  df-ioc 6363  df-ico 6364  df-icc 6365  df-uz 6419  df-fz 6469  df-seqz 6534  df-seq0 6535  df-exp 6570  df-sqr 6671  df-re 6752  df-im 6753  df-cj 6754  df-abs 6755  df-fac 6932  df-bc 6957  df-clim 6975  df-sum 6980  df-cncf 7263  df-ef 7298  df-sin 7300  df-cos 7301  df-pi 7302  df-top 7594  df-cn 7751  df-cnp 7752  df-met 7790  df-bl 7792  df-opn 7793  df-lm 7919

Copyright terms: Public domain