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Theorem cosne0 20463
Description: The cosine function has no zeroes within the vertical strip of the complex plane between real part 
-u pi  /  2 and  pi  /  2. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
cosne0  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( cos `  A
)  =/=  0 )

Proof of Theorem cosne0
StepHypRef Expression
1 halfpire 20406 . . . . . 6  |-  ( pi 
/  2 )  e.  RR
21recni 9133 . . . . 5  |-  ( pi 
/  2 )  e.  CC
3 simpl 445 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  A  e.  CC )
4 nncan 9361 . . . . 5  |-  ( ( ( pi  /  2
)  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( pi  / 
2 )  -  (
( pi  /  2
)  -  A ) )  =  A )
52, 3, 4sylancr 646 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( pi 
/  2 )  -  ( ( pi  / 
2 )  -  A
) )  =  A )
65fveq2d 5761 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( cos `  (
( pi  /  2
)  -  ( ( pi  /  2 )  -  A ) ) )  =  ( cos `  A ) )
7 subcl 9336 . . . . 5  |-  ( ( ( pi  /  2
)  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( pi  / 
2 )  -  A
)  e.  CC )
82, 3, 7sylancr 646 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( pi 
/  2 )  -  A )  e.  CC )
9 coshalfpim 20434 . . . 4  |-  ( ( ( pi  /  2
)  -  A )  e.  CC  ->  ( cos `  ( ( pi 
/  2 )  -  ( ( pi  / 
2 )  -  A
) ) )  =  ( sin `  (
( pi  /  2
)  -  A ) ) )
108, 9syl 16 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( cos `  (
( pi  /  2
)  -  ( ( pi  /  2 )  -  A ) ) )  =  ( sin `  ( ( pi  / 
2 )  -  A
) ) )
116, 10eqtr3d 2476 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( cos `  A
)  =  ( sin `  ( ( pi  / 
2 )  -  A
) ) )
125adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( ( ( pi  /  2
)  -  A )  /  pi )  e.  ZZ )  ->  (
( pi  /  2
)  -  ( ( pi  /  2 )  -  A ) )  =  A )
13 pire 20403 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  pi  e.  RR
1413recni 9133 . . . . . . . . . . . . 13  |-  pi  e.  CC
1514a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  pi  e.  CC )
16 pipos 20404 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  <  pi
1713, 16gt0ne0ii 9594 . . . . . . . . . . . . 13  |-  pi  =/=  0
1817a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  pi  =/=  0
)
198, 15, 18divcan1d 9822 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( ( ( pi  /  2
)  -  A )  /  pi )  x.  pi )  =  ( ( pi  /  2
)  -  A ) )
2019adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( ( ( pi  /  2
)  -  A )  /  pi )  e.  ZZ )  ->  (
( ( ( pi 
/  2 )  -  A )  /  pi )  x.  pi )  =  ( ( pi 
/  2 )  -  A ) )
21 zre 10317 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( pi  / 
2 )  -  A
)  /  pi )  e.  ZZ  ->  (
( ( pi  / 
2 )  -  A
)  /  pi )  e.  RR )
2221adantl 454 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( ( ( pi  /  2
)  -  A )  /  pi )  e.  ZZ )  ->  (
( ( pi  / 
2 )  -  A
)  /  pi )  e.  RR )
23 remulcl 9106 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( pi 
/  2 )  -  A )  /  pi )  e.  RR  /\  pi  e.  RR )  ->  (
( ( ( pi 
/  2 )  -  A )  /  pi )  x.  pi )  e.  RR )
2422, 13, 23sylancl 645 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( ( ( pi  /  2
)  -  A )  /  pi )  e.  ZZ )  ->  (
( ( ( pi 
/  2 )  -  A )  /  pi )  x.  pi )  e.  RR )
2520, 24eqeltrrd 2517 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( ( ( pi  /  2
)  -  A )  /  pi )  e.  ZZ )  ->  (
( pi  /  2
)  -  A )  e.  RR )
26 resubcl 9396 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( pi  /  2
)  e.  RR  /\  ( ( pi  / 
2 )  -  A
)  e.  RR )  ->  ( ( pi 
/  2 )  -  ( ( pi  / 
2 )  -  A
) )  e.  RR )
271, 25, 26sylancr 646 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( ( ( pi  /  2
)  -  A )  /  pi )  e.  ZZ )  ->  (
( pi  /  2
)  -  ( ( pi  /  2 )  -  A ) )  e.  RR )
2812, 27eqeltrrd 2517 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( ( ( pi  /  2
)  -  A )  /  pi )  e.  ZZ )  ->  A  e.  RR )
2928rered 12060 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( ( ( pi  /  2
)  -  A )  /  pi )  e.  ZZ )  ->  (
Re `  A )  =  A )
30 simplr 733 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( ( ( pi  /  2
)  -  A )  /  pi )  e.  ZZ )  ->  (
Re `  A )  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) ) )
3129, 30eqeltrrd 2517 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( ( ( pi  /  2
)  -  A )  /  pi )  e.  ZZ )  ->  A  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) ) )
32 0z 10324 . . . . . . 7  |-  0  e.  ZZ
3332a1i 11 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) )  -> 
0  e.  ZZ )
34 elioore 10977 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) )  ->  A  e.  RR )
35 resubcl 9396 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( pi  /  2
)  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( ( pi  / 
2 )  -  A
)  e.  RR )
361, 34, 35sylancr 646 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) )  -> 
( ( pi  / 
2 )  -  A
)  e.  RR )
3713a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) )  ->  pi  e.  RR )
38 eliooord 11001 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) )  -> 
( -u ( pi  / 
2 )  <  A  /\  A  <  ( pi 
/  2 ) ) )
3938simprd 451 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) )  ->  A  <  ( pi  / 
2 ) )
40 posdif 9552 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( pi  /  2
)  e.  RR )  ->  ( A  < 
( pi  /  2
)  <->  0  <  (
( pi  /  2
)  -  A ) ) )
4134, 1, 40sylancl 645 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) )  -> 
( A  <  (
pi  /  2 )  <->  0  <  ( ( pi  /  2 )  -  A ) ) )
4239, 41mpbid 203 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) )  -> 
0  <  ( (
pi  /  2 )  -  A ) )
4316a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) )  -> 
0  <  pi )
4436, 37, 42, 43divgt0d 9977 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) )  -> 
0  <  ( (
( pi  /  2
)  -  A )  /  pi ) )
451a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) )  -> 
( pi  /  2
)  e.  RR )
462negcli 9399 . . . . . . . . . . . 12  |-  -u (
pi  /  2 )  e.  CC
4714, 2negsubi 9409 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( pi  +  -u ( pi  / 
2 ) )  =  ( pi  -  (
pi  /  2 ) )
48 2halves 10227 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( pi  e.  CC  ->  (
( pi  /  2
)  +  ( pi 
/  2 ) )  =  pi )
4914, 48ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( pi  /  2 )  +  ( pi  / 
2 ) )  =  pi
5014, 2, 2, 49subaddrii 9420 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( pi 
-  ( pi  / 
2 ) )  =  ( pi  /  2
)
5147, 50eqtri 2462 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( pi  +  -u ( pi  / 
2 ) )  =  ( pi  /  2
)
522, 14, 46, 51subaddrii 9420 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( pi  /  2 )  -  pi )  = 
-u ( pi  / 
2 )
5338simpld 447 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) )  ->  -u ( pi  /  2
)  <  A )
5452, 53syl5eqbr 4270 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) )  -> 
( ( pi  / 
2 )  -  pi )  <  A )
5545, 37, 34, 54ltsub23d 9662 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) )  -> 
( ( pi  / 
2 )  -  A
)  <  pi )
5614mulid1i 9123 . . . . . . . . 9  |-  ( pi  x.  1 )  =  pi
5755, 56syl6breqr 4277 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) )  -> 
( ( pi  / 
2 )  -  A
)  <  ( pi  x.  1 ) )
58 1re 9121 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  RR
5958a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) )  -> 
1  e.  RR )
60 ltdivmul 9913 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( pi  / 
2 )  -  A
)  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  (
pi  e.  RR  /\  0  <  pi ) )  ->  ( ( ( ( pi  /  2
)  -  A )  /  pi )  <  1  <->  ( ( pi 
/  2 )  -  A )  <  (
pi  x.  1 ) ) )
6136, 59, 37, 43, 60syl112anc 1189 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) )  -> 
( ( ( ( pi  /  2 )  -  A )  /  pi )  <  1  <->  ( ( pi  /  2
)  -  A )  <  ( pi  x.  1 ) ) )
6257, 61mpbird 225 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) )  -> 
( ( ( pi 
/  2 )  -  A )  /  pi )  <  1 )
63 1e0p1 10441 . . . . . . 7  |-  1  =  ( 0  +  1 )
6462, 63syl6breq 4276 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) )  -> 
( ( ( pi 
/  2 )  -  A )  /  pi )  <  ( 0  +  1 ) )
65 btwnnz 10377 . . . . . 6  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  0  <  ( ( ( pi  /  2 )  -  A )  /  pi )  /\  (
( ( pi  / 
2 )  -  A
)  /  pi )  <  ( 0  +  1 ) )  ->  -.  ( ( ( pi 
/  2 )  -  A )  /  pi )  e.  ZZ )
6633, 44, 64, 65syl3anc 1185 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) )  ->  -.  ( ( ( pi 
/  2 )  -  A )  /  pi )  e.  ZZ )
6731, 66syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( ( ( pi  /  2
)  -  A )  /  pi )  e.  ZZ )  ->  -.  ( ( ( pi 
/  2 )  -  A )  /  pi )  e.  ZZ )
6867pm2.01da 431 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  -.  ( (
( pi  /  2
)  -  A )  /  pi )  e.  ZZ )
69 sineq0 20460 . . . . 5  |-  ( ( ( pi  /  2
)  -  A )  e.  CC  ->  (
( sin `  (
( pi  /  2
)  -  A ) )  =  0  <->  (
( ( pi  / 
2 )  -  A
)  /  pi )  e.  ZZ ) )
708, 69syl 16 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( sin `  ( ( pi  / 
2 )  -  A
) )  =  0  <-> 
( ( ( pi 
/  2 )  -  A )  /  pi )  e.  ZZ )
)
7170necon3abid 2640 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( sin `  ( ( pi  / 
2 )  -  A
) )  =/=  0  <->  -.  ( ( ( pi 
/  2 )  -  A )  /  pi )  e.  ZZ )
)
7268, 71mpbird 225 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( sin `  (
( pi  /  2
)  -  A ) )  =/=  0 )
7311, 72eqnetrd 2625 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( cos `  A
)  =/=  0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1727    =/= wne 2605   class class class wbr 4237   ` cfv 5483  (class class class)co 6110   CCcc 9019   RRcr 9020   0cc0 9021   1c1 9022    + caddc 9024    x. cmul 9026    < clt 9151    - cmin 9322   -ucneg 9323    / cdiv 9708   2c2 10080   ZZcz 10313   (,)cioo 10947   Recre 11933   sincsin 12697   cosccos 12698   picpi 12700
This theorem is referenced by:  tanord  20471  tanregt0  20472  atantan  20794  tan2h  26276
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1668  ax-8 1689  ax-13 1729  ax-14 1731  ax-6 1746  ax-7 1751  ax-11 1763  ax-12 1953  ax-ext 2423  ax-rep 4345  ax-sep 4355  ax-nul 4363  ax-pow 4406  ax-pr 4432  ax-un 4730  ax-inf2 7625  ax-cnex 9077  ax-resscn 9078  ax-1cn 9079  ax-icn 9080  ax-addcl 9081  ax-addrcl 9082  ax-mulcl 9083  ax-mulrcl 9084  ax-mulcom 9085  ax-addass 9086  ax-mulass 9087  ax-distr 9088  ax-i2m1 9089  ax-1ne0 9090  ax-1rid 9091  ax-rnegex 9092  ax-rrecex 9093  ax-cnre 9094  ax-pre-lttri 9095  ax-pre-lttrn 9096  ax-pre-ltadd 9097  ax-pre-mulgt0 9098  ax-pre-sup 9099  ax-addf 9100  ax-mulf 9101
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2291  df-mo 2292  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2716  df-rex 2717  df-reu 2718  df-rmo 2719  df-rab 2720  df-v 2964  df-sbc 3168  df-csb 3268  df-dif 3309  df-un 3311  df-in 3313  df-ss 3320  df-pss 3322  df-nul 3614  df-if 3764  df-pw 3825  df-sn 3844  df-pr 3845  df-tp 3846  df-op 3847  df-uni 4040  df-int 4075  df-iun 4119  df-iin 4120  df-br 4238  df-opab 4292  df-mpt 4293  df-tr 4328  df-eprel 4523  df-id 4527  df-po 4532  df-so 4533  df-fr 4570  df-se 4571  df-we 4572  df-ord 4613  df-on 4614  df-lim 4615  df-suc 4616  df-om 4875  df-xp 4913  df-rel 4914  df-cnv 4915  df-co 4916  df-dm 4917  df-rn 4918  df-res 4919  df-ima 4920  df-iota 5447  df-fun 5485  df-fn 5486  df-f 5487  df-f1 5488  df-fo 5489  df-f1o 5490  df-fv 5491  df-isom 5492  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-of 6334  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-riota 6578  df-recs 6662  df-rdg 6697  df-1o 6753  df-2o 6754  df-oadd 6757  df-er 6934  df-map 7049  df-pm 7050  df-ixp 7093  df-en 7139  df-dom 7140  df-sdom 7141  df-fin 7142  df-fi 7445  df-sup 7475  df-oi 7508  df-card 7857  df-cda 8079  df-pnf 9153  df-mnf 9154  df-xr 9155  df-ltxr 9156  df-le 9157  df-sub 9324  df-neg 9325  df-div 9709  df-nn 10032  df-2 10089  df-3 10090  df-4 10091  df-5 10092  df-6 10093  df-7 10094  df-8 10095  df-9 10096  df-10 10097  df-n0 10253  df-z 10314  df-dec 10414  df-uz 10520  df-q 10606  df-rp 10644  df-xneg 10741  df-xadd 10742  df-xmul 10743  df-ioo 10951  df-ioc 10952  df-ico 10953  df-icc 10954  df-fz 11075  df-fzo 11167  df-fl 11233  df-mod 11282  df-seq 11355  df-exp 11414  df-fac 11598  df-bc 11625  df-hash 11650  df-shft 11913  df-cj 11935  df-re 11936  df-im 11937  df-sqr 12071  df-abs 12072  df-limsup 12296  df-clim 12313  df-rlim 12314  df-sum 12511  df-ef 12701  df-sin 12703  df-cos 12704  df-pi 12706  df-struct 13502  df-ndx 13503  df-slot 13504  df-base 13505  df-sets 13506  df-ress 13507  df-plusg 13573  df-mulr 13574  df-starv 13575  df-sca 13576  df-vsca 13577  df-tset 13579  df-ple 13580  df-ds 13582  df-unif 13583  df-hom 13584  df-cco 13585  df-rest 13681  df-topn 13682  df-topgen 13698  df-pt 13699  df-prds 13702  df-xrs 13757  df-0g 13758  df-gsum 13759  df-qtop 13764  df-imas 13765  df-xps 13767  df-mre 13842  df-mrc 13843  df-acs 13845  df-mnd 14721  df-submnd 14770  df-mulg 14846  df-cntz 15147  df-cmn 15445  df-psmet 16725  df-xmet 16726  df-met 16727  df-bl 16728  df-mopn 16729  df-fbas 16730  df-fg 16731  df-cnfld 16735  df-top 16994  df-bases 16996  df-topon 16997  df-topsp 16998  df-cld 17114  df-ntr 17115  df-cls 17116  df-nei 17193  df-lp 17231  df-perf 17232  df-cn 17322  df-cnp 17323  df-haus 17410  df-tx 17625  df-hmeo 17818  df-fil 17909  df-fm 18001  df-flim 18002  df-flf 18003  df-xms 18381  df-ms 18382  df-tms 18383  df-cncf 18939  df-limc 19784  df-dv 19785
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