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Theorem cosne0 20393
Description: The cosine function has no zeroes within the vertical strip of the complex plane between real part 
-u pi  /  2 and  pi  /  2. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
cosne0  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( cos `  A
)  =/=  0 )

Proof of Theorem cosne0
StepHypRef Expression
1 halfpire 20336 . . . . . 6  |-  ( pi 
/  2 )  e.  RR
21recni 9066 . . . . 5  |-  ( pi 
/  2 )  e.  CC
3 simpl 444 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  A  e.  CC )
4 nncan 9294 . . . . 5  |-  ( ( ( pi  /  2
)  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( pi  / 
2 )  -  (
( pi  /  2
)  -  A ) )  =  A )
52, 3, 4sylancr 645 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( pi 
/  2 )  -  ( ( pi  / 
2 )  -  A
) )  =  A )
65fveq2d 5699 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( cos `  (
( pi  /  2
)  -  ( ( pi  /  2 )  -  A ) ) )  =  ( cos `  A ) )
7 subcl 9269 . . . . 5  |-  ( ( ( pi  /  2
)  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( pi  / 
2 )  -  A
)  e.  CC )
82, 3, 7sylancr 645 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( pi 
/  2 )  -  A )  e.  CC )
9 coshalfpim 20364 . . . 4  |-  ( ( ( pi  /  2
)  -  A )  e.  CC  ->  ( cos `  ( ( pi 
/  2 )  -  ( ( pi  / 
2 )  -  A
) ) )  =  ( sin `  (
( pi  /  2
)  -  A ) ) )
108, 9syl 16 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( cos `  (
( pi  /  2
)  -  ( ( pi  /  2 )  -  A ) ) )  =  ( sin `  ( ( pi  / 
2 )  -  A
) ) )
116, 10eqtr3d 2446 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( cos `  A
)  =  ( sin `  ( ( pi  / 
2 )  -  A
) ) )
125adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( ( ( pi  /  2
)  -  A )  /  pi )  e.  ZZ )  ->  (
( pi  /  2
)  -  ( ( pi  /  2 )  -  A ) )  =  A )
13 pire 20333 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  pi  e.  RR
1413recni 9066 . . . . . . . . . . . . 13  |-  pi  e.  CC
1514a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  pi  e.  CC )
16 pipos 20334 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  <  pi
1713, 16gt0ne0ii 9527 . . . . . . . . . . . . 13  |-  pi  =/=  0
1817a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  pi  =/=  0
)
198, 15, 18divcan1d 9755 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( ( ( pi  /  2
)  -  A )  /  pi )  x.  pi )  =  ( ( pi  /  2
)  -  A ) )
2019adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( ( ( pi  /  2
)  -  A )  /  pi )  e.  ZZ )  ->  (
( ( ( pi 
/  2 )  -  A )  /  pi )  x.  pi )  =  ( ( pi 
/  2 )  -  A ) )
21 zre 10250 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( pi  / 
2 )  -  A
)  /  pi )  e.  ZZ  ->  (
( ( pi  / 
2 )  -  A
)  /  pi )  e.  RR )
2221adantl 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( ( ( pi  /  2
)  -  A )  /  pi )  e.  ZZ )  ->  (
( ( pi  / 
2 )  -  A
)  /  pi )  e.  RR )
23 remulcl 9039 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( pi 
/  2 )  -  A )  /  pi )  e.  RR  /\  pi  e.  RR )  ->  (
( ( ( pi 
/  2 )  -  A )  /  pi )  x.  pi )  e.  RR )
2422, 13, 23sylancl 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( ( ( pi  /  2
)  -  A )  /  pi )  e.  ZZ )  ->  (
( ( ( pi 
/  2 )  -  A )  /  pi )  x.  pi )  e.  RR )
2520, 24eqeltrrd 2487 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( ( ( pi  /  2
)  -  A )  /  pi )  e.  ZZ )  ->  (
( pi  /  2
)  -  A )  e.  RR )
26 resubcl 9329 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( pi  /  2
)  e.  RR  /\  ( ( pi  / 
2 )  -  A
)  e.  RR )  ->  ( ( pi 
/  2 )  -  ( ( pi  / 
2 )  -  A
) )  e.  RR )
271, 25, 26sylancr 645 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( ( ( pi  /  2
)  -  A )  /  pi )  e.  ZZ )  ->  (
( pi  /  2
)  -  ( ( pi  /  2 )  -  A ) )  e.  RR )
2812, 27eqeltrrd 2487 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( ( ( pi  /  2
)  -  A )  /  pi )  e.  ZZ )  ->  A  e.  RR )
2928rered 11992 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( ( ( pi  /  2
)  -  A )  /  pi )  e.  ZZ )  ->  (
Re `  A )  =  A )
30 simplr 732 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( ( ( pi  /  2
)  -  A )  /  pi )  e.  ZZ )  ->  (
Re `  A )  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) ) )
3129, 30eqeltrrd 2487 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( ( ( pi  /  2
)  -  A )  /  pi )  e.  ZZ )  ->  A  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) ) )
32 0z 10257 . . . . . . 7  |-  0  e.  ZZ
3332a1i 11 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) )  -> 
0  e.  ZZ )
34 elioore 10910 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) )  ->  A  e.  RR )
35 resubcl 9329 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( pi  /  2
)  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( ( pi  / 
2 )  -  A
)  e.  RR )
361, 34, 35sylancr 645 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) )  -> 
( ( pi  / 
2 )  -  A
)  e.  RR )
3713a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) )  ->  pi  e.  RR )
38 eliooord 10934 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) )  -> 
( -u ( pi  / 
2 )  <  A  /\  A  <  ( pi 
/  2 ) ) )
3938simprd 450 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) )  ->  A  <  ( pi  / 
2 ) )
40 posdif 9485 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( pi  /  2
)  e.  RR )  ->  ( A  < 
( pi  /  2
)  <->  0  <  (
( pi  /  2
)  -  A ) ) )
4134, 1, 40sylancl 644 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) )  -> 
( A  <  (
pi  /  2 )  <->  0  <  ( ( pi  /  2 )  -  A ) ) )
4239, 41mpbid 202 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) )  -> 
0  <  ( (
pi  /  2 )  -  A ) )
4316a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) )  -> 
0  <  pi )
4436, 37, 42, 43divgt0d 9910 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) )  -> 
0  <  ( (
( pi  /  2
)  -  A )  /  pi ) )
451a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) )  -> 
( pi  /  2
)  e.  RR )
462negcli 9332 . . . . . . . . . . . 12  |-  -u (
pi  /  2 )  e.  CC
4714, 2negsubi 9342 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( pi  +  -u ( pi  / 
2 ) )  =  ( pi  -  (
pi  /  2 ) )
48 2halves 10160 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( pi  e.  CC  ->  (
( pi  /  2
)  +  ( pi 
/  2 ) )  =  pi )
4914, 48ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( pi  /  2 )  +  ( pi  / 
2 ) )  =  pi
5014, 2, 2, 49subaddrii 9353 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( pi 
-  ( pi  / 
2 ) )  =  ( pi  /  2
)
5147, 50eqtri 2432 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( pi  +  -u ( pi  / 
2 ) )  =  ( pi  /  2
)
522, 14, 46, 51subaddrii 9353 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( pi  /  2 )  -  pi )  = 
-u ( pi  / 
2 )
5338simpld 446 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) )  ->  -u ( pi  /  2
)  <  A )
5452, 53syl5eqbr 4213 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) )  -> 
( ( pi  / 
2 )  -  pi )  <  A )
5545, 37, 34, 54ltsub23d 9595 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) )  -> 
( ( pi  / 
2 )  -  A
)  <  pi )
5614mulid1i 9056 . . . . . . . . 9  |-  ( pi  x.  1 )  =  pi
5755, 56syl6breqr 4220 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) )  -> 
( ( pi  / 
2 )  -  A
)  <  ( pi  x.  1 ) )
58 1re 9054 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  RR
5958a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) )  -> 
1  e.  RR )
60 ltdivmul 9846 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( pi  / 
2 )  -  A
)  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  (
pi  e.  RR  /\  0  <  pi ) )  ->  ( ( ( ( pi  /  2
)  -  A )  /  pi )  <  1  <->  ( ( pi 
/  2 )  -  A )  <  (
pi  x.  1 ) ) )
6136, 59, 37, 43, 60syl112anc 1188 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) )  -> 
( ( ( ( pi  /  2 )  -  A )  /  pi )  <  1  <->  ( ( pi  /  2
)  -  A )  <  ( pi  x.  1 ) ) )
6257, 61mpbird 224 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) )  -> 
( ( ( pi 
/  2 )  -  A )  /  pi )  <  1 )
63 1e0p1 10374 . . . . . . 7  |-  1  =  ( 0  +  1 )
6462, 63syl6breq 4219 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) )  -> 
( ( ( pi 
/  2 )  -  A )  /  pi )  <  ( 0  +  1 ) )
65 btwnnz 10310 . . . . . 6  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  0  <  ( ( ( pi  /  2 )  -  A )  /  pi )  /\  (
( ( pi  / 
2 )  -  A
)  /  pi )  <  ( 0  +  1 ) )  ->  -.  ( ( ( pi 
/  2 )  -  A )  /  pi )  e.  ZZ )
6633, 44, 64, 65syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) )  ->  -.  ( ( ( pi 
/  2 )  -  A )  /  pi )  e.  ZZ )
6731, 66syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( ( ( pi  /  2
)  -  A )  /  pi )  e.  ZZ )  ->  -.  ( ( ( pi 
/  2 )  -  A )  /  pi )  e.  ZZ )
6867pm2.01da 430 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  -.  ( (
( pi  /  2
)  -  A )  /  pi )  e.  ZZ )
69 sineq0 20390 . . . . 5  |-  ( ( ( pi  /  2
)  -  A )  e.  CC  ->  (
( sin `  (
( pi  /  2
)  -  A ) )  =  0  <->  (
( ( pi  / 
2 )  -  A
)  /  pi )  e.  ZZ ) )
708, 69syl 16 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( sin `  ( ( pi  / 
2 )  -  A
) )  =  0  <-> 
( ( ( pi 
/  2 )  -  A )  /  pi )  e.  ZZ )
)
7170necon3abid 2608 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( sin `  ( ( pi  / 
2 )  -  A
) )  =/=  0  <->  -.  ( ( ( pi 
/  2 )  -  A )  /  pi )  e.  ZZ )
)
7268, 71mpbird 224 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( sin `  (
( pi  /  2
)  -  A ) )  =/=  0 )
7311, 72eqnetrd 2593 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( cos `  A
)  =/=  0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2575   class class class wbr 4180   ` cfv 5421  (class class class)co 6048   CCcc 8952   RRcr 8953   0cc0 8954   1c1 8955    + caddc 8957    x. cmul 8959    < clt 9084    - cmin 9255   -ucneg 9256    / cdiv 9641   2c2 10013   ZZcz 10246   (,)cioo 10880   Recre 11865   sincsin 12629   cosccos 12630   picpi 12632
This theorem is referenced by:  tanord  20401  tanregt0  20402  atantan  20724
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-rep 4288  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668  ax-inf2 7560  ax-cnex 9010  ax-resscn 9011  ax-1cn 9012  ax-icn 9013  ax-addcl 9014  ax-addrcl 9015  ax-mulcl 9016  ax-mulrcl 9017  ax-mulcom 9018  ax-addass 9019  ax-mulass 9020  ax-distr 9021  ax-i2m1 9022  ax-1ne0 9023  ax-1rid 9024  ax-rnegex 9025  ax-rrecex 9026  ax-cnre 9027  ax-pre-lttri 9028  ax-pre-lttrn 9029  ax-pre-ltadd 9030  ax-pre-mulgt0 9031  ax-pre-sup 9032  ax-addf 9033  ax-mulf 9034
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-nel 2578  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rmo 2682  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-pss 3304  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-tp 3790  df-op 3791  df-uni 3984  df-int 4019  df-iun 4063  df-iin 4064  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-tr 4271  df-eprel 4462  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-fr 4509  df-se 4510  df-we 4511  df-ord 4552  df-on 4553  df-lim 4554  df-suc 4555  df-om 4813  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-isom 5430  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-of 6272  df-1st 6316  df-2nd 6317  df-riota 6516  df-recs 6600  df-rdg 6635  df-1o 6691  df-2o 6692  df-oadd 6695  df-er 6872  df-map 6987  df-pm 6988  df-ixp 7031  df-en 7077  df-dom 7078  df-sdom 7079  df-fin 7080  df-fi 7382  df-sup 7412  df-oi 7443  df-card 7790  df-cda 8012  df-pnf 9086  df-mnf 9087  df-xr 9088  df-ltxr 9089  df-le 9090  df-sub 9257  df-neg 9258  df-div 9642  df-nn 9965  df-2 10022  df-3 10023  df-4 10024  df-5 10025  df-6 10026  df-7 10027  df-8 10028  df-9 10029  df-10 10030  df-n0 10186  df-z 10247  df-dec 10347  df-uz 10453  df-q 10539  df-rp 10577  df-xneg 10674  df-xadd 10675  df-xmul 10676  df-ioo 10884  df-ioc 10885  df-ico 10886  df-icc 10887  df-fz 11008  df-fzo 11099  df-fl 11165  df-mod 11214  df-seq 11287  df-exp 11346  df-fac 11530  df-bc 11557  df-hash 11582  df-shft 11845  df-cj 11867  df-re 11868  df-im 11869  df-sqr 12003  df-abs 12004  df-limsup 12228  df-clim 12245  df-rlim 12246  df-sum 12443  df-ef 12633  df-sin 12635  df-cos 12636  df-pi 12638  df-struct 13434  df-ndx 13435  df-slot 13436  df-base 13437  df-sets 13438  df-ress 13439  df-plusg 13505  df-mulr 13506  df-starv 13507  df-sca 13508  df-vsca 13509  df-tset 13511  df-ple 13512  df-ds 13514  df-unif 13515  df-hom 13516  df-cco 13517  df-rest 13613  df-topn 13614  df-topgen 13630  df-pt 13631  df-prds 13634  df-xrs 13689  df-0g 13690  df-gsum 13691  df-qtop 13696  df-imas 13697  df-xps 13699  df-mre 13774  df-mrc 13775  df-acs 13777  df-mnd 14653  df-submnd 14702  df-mulg 14778  df-cntz 15079  df-cmn 15377  df-psmet 16657  df-xmet 16658  df-met 16659  df-bl 16660  df-mopn 16661  df-fbas 16662  df-fg 16663  df-cnfld 16667  df-top 16926  df-bases 16928  df-topon 16929  df-topsp 16930  df-cld 17046  df-ntr 17047  df-cls 17048  df-nei 17125  df-lp 17163  df-perf 17164  df-cn 17253  df-cnp 17254  df-haus 17341  df-tx 17555  df-hmeo 17748  df-fil 17839  df-fm 17931  df-flim 17932  df-flf 17933  df-xms 18311  df-ms 18312  df-tms 18313  df-cncf 18869  df-limc 19714  df-dv 19715
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