MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cosordlem Unicode version

Theorem cosordlem 20300
Description: Lemma for cosord 20301. (Contributed by Mario Carneiro, 10-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cosord.1  |-  ( ph  ->  A  e.  ( 0 [,] pi ) )
cosord.2  |-  ( ph  ->  B  e.  ( 0 [,] pi ) )
cosord.3  |-  ( ph  ->  A  <  B )
Assertion
Ref Expression
cosordlem  |-  ( ph  ->  ( cos `  B
)  <  ( cos `  A ) )

Proof of Theorem cosordlem
StepHypRef Expression
1 cosord.2 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  e.  ( 0 [,] pi ) )
2 0re 9024 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR
3 pire 20239 . . . . . . . 8  |-  pi  e.  RR
42, 3elicc2i 10908 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  ( 0 [,] pi )  <->  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B  /\  B  <_  pi ) )
51, 4sylib 189 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B  /\  B  <_  pi ) )
65simp1d 969 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
76recnd 9047 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
8 cosord.1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  ( 0 [,] pi ) )
92, 3elicc2i 10908 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( 0 [,] pi )  <->  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A  /\  A  <_  pi ) )
108, 9sylib 189 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A  /\  A  <_  pi ) )
1110simp1d 969 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
1211recnd 9047 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
13 subcos 12703 . . . 4  |-  ( ( B  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( cos `  A
)  -  ( cos `  B ) )  =  ( 2  x.  (
( sin `  (
( B  +  A
)  /  2 ) )  x.  ( sin `  ( ( B  -  A )  /  2
) ) ) ) )
147, 12, 13syl2anc 643 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( cos `  A
)  -  ( cos `  B ) )  =  ( 2  x.  (
( sin `  (
( B  +  A
)  /  2 ) )  x.  ( sin `  ( ( B  -  A )  /  2
) ) ) ) )
15 2re 10001 . . . . 5  |-  2  e.  RR
16 2pos 10014 . . . . 5  |-  0  <  2
1715, 16elrpii 10547 . . . 4  |-  2  e.  RR+
186, 11readdcld 9048 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( B  +  A
)  e.  RR )
1918rehalfcld 10146 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( B  +  A )  /  2
)  e.  RR )
2019resincld 12671 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( sin `  (
( B  +  A
)  /  2 ) )  e.  RR )
212a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
2210simp2d 970 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
23 cosord.3 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  <  B )
2421, 11, 6, 22, 23lelttrd 9160 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  0  <  B )
25 addgtge0 9448 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( B  e.  RR  /\  A  e.  RR )  /\  ( 0  < 
B  /\  0  <_  A ) )  ->  0  <  ( B  +  A
) )
266, 11, 24, 22, 25syl22anc 1185 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  0  <  ( B  +  A ) )
27 divgt0 9810 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( B  +  A )  e.  RR  /\  0  <  ( B  +  A ) )  /\  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  -> 
0  <  ( ( B  +  A )  /  2 ) )
2815, 16, 27mpanr12 667 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( B  +  A
)  e.  RR  /\  0  <  ( B  +  A ) )  -> 
0  <  ( ( B  +  A )  /  2 ) )
2918, 26, 28syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  <  ( ( B  +  A )  /  2 ) )
303a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  pi  e.  RR )
3111, 6, 6, 23ltadd2dd 9161 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( B  +  A
)  <  ( B  +  B ) )
3272timesd 10142 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  B
)  =  ( B  +  B ) )
3331, 32breqtrrd 4179 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( B  +  A
)  <  ( 2  x.  B ) )
3415a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  2  e.  RR )
3516a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  0  <  2 )
36 ltdivmul 9814 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( B  +  A
)  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  (
2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( ( ( B  +  A )  /  2 )  < 
B  <->  ( B  +  A )  <  (
2  x.  B ) ) )
3718, 6, 34, 35, 36syl112anc 1188 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( B  +  A )  / 
2 )  <  B  <->  ( B  +  A )  <  ( 2  x.  B ) ) )
3833, 37mpbird 224 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( B  +  A )  /  2
)  <  B )
395simp3d 971 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  B  <_  pi )
4019, 6, 30, 38, 39ltletrd 9162 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( B  +  A )  /  2
)  <  pi )
41 0xr 9064 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  RR*
423rexri 9070 . . . . . . . . 9  |-  pi  e.  RR*
43 elioo2 10889 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  pi  e.  RR* )  ->  (
( ( B  +  A )  /  2
)  e.  ( 0 (,) pi )  <->  ( (
( B  +  A
)  /  2 )  e.  RR  /\  0  <  ( ( B  +  A )  /  2
)  /\  ( ( B  +  A )  /  2 )  < 
pi ) ) )
4441, 42, 43mp2an 654 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( B  +  A
)  /  2 )  e.  ( 0 (,) pi )  <->  ( (
( B  +  A
)  /  2 )  e.  RR  /\  0  <  ( ( B  +  A )  /  2
)  /\  ( ( B  +  A )  /  2 )  < 
pi ) )
4519, 29, 40, 44syl3anbrc 1138 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( B  +  A )  /  2
)  e.  ( 0 (,) pi ) )
46 sinq12gt0 20282 . . . . . . 7  |-  ( ( ( B  +  A
)  /  2 )  e.  ( 0 (,) pi )  ->  0  <  ( sin `  (
( B  +  A
)  /  2 ) ) )
4745, 46syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  <  ( sin `  ( ( B  +  A )  /  2
) ) )
4820, 47elrpd 10578 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( sin `  (
( B  +  A
)  /  2 ) )  e.  RR+ )
496, 11resubcld 9397 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( B  -  A
)  e.  RR )
5049rehalfcld 10146 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( B  -  A )  /  2
)  e.  RR )
5150resincld 12671 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( sin `  (
( B  -  A
)  /  2 ) )  e.  RR )
5211, 6posdifd 9545 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A  <  B  <->  0  <  ( B  -  A ) ) )
5323, 52mpbid 202 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  0  <  ( B  -  A ) )
54 divgt0 9810 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( B  -  A )  e.  RR  /\  0  <  ( B  -  A ) )  /\  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  -> 
0  <  ( ( B  -  A )  /  2 ) )
5515, 16, 54mpanr12 667 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( B  -  A
)  e.  RR  /\  0  <  ( B  -  A ) )  -> 
0  <  ( ( B  -  A )  /  2 ) )
5649, 53, 55syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  <  ( ( B  -  A )  /  2 ) )
57 rehalfcl 10126 . . . . . . . . . 10  |-  ( pi  e.  RR  ->  (
pi  /  2 )  e.  RR )
583, 57mp1i 12 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( pi  /  2
)  e.  RR )
596, 11subge02d 9550 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  A  <->  ( B  -  A )  <_  B ) )
6022, 59mpbid 202 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( B  -  A
)  <_  B )
6149, 6, 30, 60, 39letrd 9159 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( B  -  A
)  <_  pi )
62 lediv1 9807 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( B  -  A
)  e.  RR  /\  pi  e.  RR  /\  (
2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( ( B  -  A )  <_  pi 
<->  ( ( B  -  A )  /  2
)  <_  ( pi  /  2 ) ) )
6349, 30, 34, 35, 62syl112anc 1188 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( B  -  A )  <_  pi  <->  ( ( B  -  A
)  /  2 )  <_  ( pi  / 
2 ) ) )
6461, 63mpbid 202 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( B  -  A )  /  2
)  <_  ( pi  /  2 ) )
65 pipos 20240 . . . . . . . . . . 11  |-  0  <  pi
663, 65elrpii 10547 . . . . . . . . . 10  |-  pi  e.  RR+
67 rphalflt 10570 . . . . . . . . . 10  |-  ( pi  e.  RR+  ->  ( pi 
/  2 )  < 
pi )
6866, 67mp1i 12 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( pi  /  2
)  <  pi )
6950, 58, 30, 64, 68lelttrd 9160 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( B  -  A )  /  2
)  <  pi )
70 elioo2 10889 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  pi  e.  RR* )  ->  (
( ( B  -  A )  /  2
)  e.  ( 0 (,) pi )  <->  ( (
( B  -  A
)  /  2 )  e.  RR  /\  0  <  ( ( B  -  A )  /  2
)  /\  ( ( B  -  A )  /  2 )  < 
pi ) ) )
7141, 42, 70mp2an 654 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( B  -  A
)  /  2 )  e.  ( 0 (,) pi )  <->  ( (
( B  -  A
)  /  2 )  e.  RR  /\  0  <  ( ( B  -  A )  /  2
)  /\  ( ( B  -  A )  /  2 )  < 
pi ) )
7250, 56, 69, 71syl3anbrc 1138 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( B  -  A )  /  2
)  e.  ( 0 (,) pi ) )
73 sinq12gt0 20282 . . . . . . 7  |-  ( ( ( B  -  A
)  /  2 )  e.  ( 0 (,) pi )  ->  0  <  ( sin `  (
( B  -  A
)  /  2 ) ) )
7472, 73syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  <  ( sin `  ( ( B  -  A )  /  2
) ) )
7551, 74elrpd 10578 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( sin `  (
( B  -  A
)  /  2 ) )  e.  RR+ )
7648, 75rpmulcld 10596 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( sin `  (
( B  +  A
)  /  2 ) )  x.  ( sin `  ( ( B  -  A )  /  2
) ) )  e.  RR+ )
77 rpmulcl 10565 . . . 4  |-  ( ( 2  e.  RR+  /\  (
( sin `  (
( B  +  A
)  /  2 ) )  x.  ( sin `  ( ( B  -  A )  /  2
) ) )  e.  RR+ )  ->  ( 2  x.  ( ( sin `  ( ( B  +  A )  /  2
) )  x.  ( sin `  ( ( B  -  A )  / 
2 ) ) ) )  e.  RR+ )
7817, 76, 77sylancr 645 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  (
( sin `  (
( B  +  A
)  /  2 ) )  x.  ( sin `  ( ( B  -  A )  /  2
) ) ) )  e.  RR+ )
7914, 78eqeltrd 2461 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( cos `  A
)  -  ( cos `  B ) )  e.  RR+ )
806recoscld 12672 . . 3  |-  ( ph  ->  ( cos `  B
)  e.  RR )
8111recoscld 12672 . . 3  |-  ( ph  ->  ( cos `  A
)  e.  RR )
82 difrp 10577 . . 3  |-  ( ( ( cos `  B
)  e.  RR  /\  ( cos `  A )  e.  RR )  -> 
( ( cos `  B
)  <  ( cos `  A )  <->  ( ( cos `  A )  -  ( cos `  B ) )  e.  RR+ )
)
8380, 81, 82syl2anc 643 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( cos `  B
)  <  ( cos `  A )  <->  ( ( cos `  A )  -  ( cos `  B ) )  e.  RR+ )
)
8479, 83mpbird 224 1  |-  ( ph  ->  ( cos `  B
)  <  ( cos `  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717   class class class wbr 4153   ` cfv 5394  (class class class)co 6020   CCcc 8921   RRcr 8922   0cc0 8923    + caddc 8926    x. cmul 8928   RR*cxr 9052    < clt 9053    <_ cle 9054    - cmin 9223    / cdiv 9609   2c2 9981   RR+crp 10544   (,)cioo 10848   [,]cicc 10851   sincsin 12593   cosccos 12594   picpi 12596
This theorem is referenced by:  cosord  20301
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-rep 4261  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-inf2 7529  ax-cnex 8979  ax-resscn 8980  ax-1cn 8981  ax-icn 8982  ax-addcl 8983  ax-addrcl 8984  ax-mulcl 8985  ax-mulrcl 8986  ax-mulcom 8987  ax-addass 8988  ax-mulass 8989  ax-distr 8990  ax-i2m1 8991  ax-1ne0 8992  ax-1rid 8993  ax-rnegex 8994  ax-rrecex 8995  ax-cnre 8996  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998  ax-pre-ltadd 8999  ax-pre-mulgt0 9000  ax-pre-sup 9001  ax-addf 9002  ax-mulf 9003
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rmo 2657  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-int 3993  df-iun 4037  df-iin 4038  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-se 4483  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-om 4786  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-isom 5403  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-of 6244  df-1st 6288  df-2nd 6289  df-riota 6485  df-recs 6569  df-rdg 6604  df-1o 6660  df-2o 6661  df-oadd 6664  df-er 6841  df-map 6956  df-pm 6957  df-ixp 7000  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-fin 7049  df-fi 7351  df-sup 7381  df-oi 7412  df-card 7759  df-cda 7981  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-xr 9057  df-ltxr 9058  df-le 9059  df-sub 9225  df-neg 9226  df-div 9610  df-nn 9933  df-2 9990  df-3 9991  df-4 9992  df-5 9993  df-6 9994  df-7 9995  df-8 9996  df-9 9997  df-10 9998  df-n0 10154  df-z 10215  df-dec 10315  df-uz 10421  df-q 10507  df-rp 10545  df-xneg 10642  df-xadd 10643  df-xmul 10644  df-ioo 10852  df-ioc 10853  df-ico 10854  df-icc 10855  df-fz 10976  df-fzo 11066  df-fl 11129  df-seq 11251  df-exp 11310  df-fac 11494  df-bc 11521  df-hash 11546  df-shft 11809  df-cj 11831  df-re 11832  df-im 11833  df-sqr 11967  df-abs 11968  df-limsup 12192  df-clim 12209  df-rlim 12210  df-sum 12407  df-ef 12597  df-sin 12599  df-cos 12600  df-pi 12602  df-struct 13398  df-ndx 13399  df-slot 13400  df-base 13401  df-sets 13402  df-ress 13403  df-plusg 13469  df-mulr 13470  df-starv 13471  df-sca 13472  df-vsca 13473  df-tset 13475  df-ple 13476  df-ds 13478  df-unif 13479  df-hom 13480  df-cco 13481  df-rest 13577  df-topn 13578  df-topgen 13594  df-pt 13595  df-prds 13598  df-xrs 13653  df-0g 13654  df-gsum 13655  df-qtop 13660  df-imas 13661  df-xps 13663  df-mre 13738  df-mrc 13739  df-acs 13741  df-mnd 14617  df-submnd 14666  df-mulg 14742  df-cntz 15043  df-cmn 15341  df-xmet 16619  df-met 16620  df-bl 16621  df-mopn 16622  df-fbas 16623  df-fg 16624  df-cnfld 16627  df-top 16886  df-bases 16888  df-topon 16889  df-topsp 16890  df-cld 17006  df-ntr 17007  df-cls 17008  df-nei 17085  df-lp 17123  df-perf 17124  df-cn 17213  df-cnp 17214  df-haus 17301  df-tx 17515  df-hmeo 17708  df-fil 17799  df-fm 17891  df-flim 17892  df-flf 17893  df-xms 18259  df-ms 18260  df-tms 18261  df-cncf 18779  df-limc 19620  df-dv 19621
  Copyright terms: Public domain W3C validator