MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cosordlem Unicode version

Theorem cosordlem 19893
Description: Lemma for cosord 19894. (Contributed by Mario Carneiro, 10-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cosord.1  |-  ( ph  ->  A  e.  ( 0 [,] pi ) )
cosord.2  |-  ( ph  ->  B  e.  ( 0 [,] pi ) )
cosord.3  |-  ( ph  ->  A  <  B )
Assertion
Ref Expression
cosordlem  |-  ( ph  ->  ( cos `  B
)  <  ( cos `  A ) )

Proof of Theorem cosordlem
StepHypRef Expression
1 cosord.2 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  e.  ( 0 [,] pi ) )
2 0re 8838 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR
3 pire 19832 . . . . . . . 8  |-  pi  e.  RR
42, 3elicc2i 10716 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  ( 0 [,] pi )  <->  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B  /\  B  <_  pi ) )
51, 4sylib 188 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B  /\  B  <_  pi ) )
65simp1d 967 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
76recnd 8861 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
8 cosord.1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  ( 0 [,] pi ) )
92, 3elicc2i 10716 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( 0 [,] pi )  <->  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A  /\  A  <_  pi ) )
108, 9sylib 188 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A  /\  A  <_  pi ) )
1110simp1d 967 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
1211recnd 8861 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
13 subcos 12455 . . . 4  |-  ( ( B  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( cos `  A
)  -  ( cos `  B ) )  =  ( 2  x.  (
( sin `  (
( B  +  A
)  /  2 ) )  x.  ( sin `  ( ( B  -  A )  /  2
) ) ) ) )
147, 12, 13syl2anc 642 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( cos `  A
)  -  ( cos `  B ) )  =  ( 2  x.  (
( sin `  (
( B  +  A
)  /  2 ) )  x.  ( sin `  ( ( B  -  A )  /  2
) ) ) ) )
15 2re 9815 . . . . 5  |-  2  e.  RR
16 2pos 9828 . . . . 5  |-  0  <  2
1715, 16elrpii 10357 . . . 4  |-  2  e.  RR+
186, 11readdcld 8862 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( B  +  A
)  e.  RR )
1918rehalfcld 9958 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( B  +  A )  /  2
)  e.  RR )
2019resincld 12423 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( sin `  (
( B  +  A
)  /  2 ) )  e.  RR )
212a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
2210simp2d 968 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
23 cosord.3 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  <  B )
2421, 11, 6, 22, 23lelttrd 8974 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  0  <  B )
25 addgtge0 9262 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( B  e.  RR  /\  A  e.  RR )  /\  ( 0  < 
B  /\  0  <_  A ) )  ->  0  <  ( B  +  A
) )
266, 11, 24, 22, 25syl22anc 1183 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  0  <  ( B  +  A ) )
27 divgt0 9624 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( B  +  A )  e.  RR  /\  0  <  ( B  +  A ) )  /\  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  -> 
0  <  ( ( B  +  A )  /  2 ) )
2815, 16, 27mpanr12 666 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( B  +  A
)  e.  RR  /\  0  <  ( B  +  A ) )  -> 
0  <  ( ( B  +  A )  /  2 ) )
2918, 26, 28syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  <  ( ( B  +  A )  /  2 ) )
303a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  pi  e.  RR )
3111, 6, 6, 23ltadd2dd 8975 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( B  +  A
)  <  ( B  +  B ) )
3272timesd 9954 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  B
)  =  ( B  +  B ) )
3331, 32breqtrrd 4049 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( B  +  A
)  <  ( 2  x.  B ) )
3415a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  2  e.  RR )
3516a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  0  <  2 )
36 ltdivmul 9628 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( B  +  A
)  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  (
2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( ( ( B  +  A )  /  2 )  < 
B  <->  ( B  +  A )  <  (
2  x.  B ) ) )
3718, 6, 34, 35, 36syl112anc 1186 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( B  +  A )  / 
2 )  <  B  <->  ( B  +  A )  <  ( 2  x.  B ) ) )
3833, 37mpbird 223 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( B  +  A )  /  2
)  <  B )
395simp3d 969 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  B  <_  pi )
4019, 6, 30, 38, 39ltletrd 8976 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( B  +  A )  /  2
)  <  pi )
41 0xr 8878 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  RR*
42 rexr 8877 . . . . . . . . . 10  |-  ( pi  e.  RR  ->  pi  e.  RR* )
433, 42ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  pi  e.  RR*
44 elioo2 10697 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  pi  e.  RR* )  ->  (
( ( B  +  A )  /  2
)  e.  ( 0 (,) pi )  <->  ( (
( B  +  A
)  /  2 )  e.  RR  /\  0  <  ( ( B  +  A )  /  2
)  /\  ( ( B  +  A )  /  2 )  < 
pi ) ) )
4541, 43, 44mp2an 653 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( B  +  A
)  /  2 )  e.  ( 0 (,) pi )  <->  ( (
( B  +  A
)  /  2 )  e.  RR  /\  0  <  ( ( B  +  A )  /  2
)  /\  ( ( B  +  A )  /  2 )  < 
pi ) )
4619, 29, 40, 45syl3anbrc 1136 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( B  +  A )  /  2
)  e.  ( 0 (,) pi ) )
47 sinq12gt0 19875 . . . . . . 7  |-  ( ( ( B  +  A
)  /  2 )  e.  ( 0 (,) pi )  ->  0  <  ( sin `  (
( B  +  A
)  /  2 ) ) )
4846, 47syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  <  ( sin `  ( ( B  +  A )  /  2
) ) )
4920, 48elrpd 10388 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( sin `  (
( B  +  A
)  /  2 ) )  e.  RR+ )
506, 11resubcld 9211 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( B  -  A
)  e.  RR )
5150rehalfcld 9958 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( B  -  A )  /  2
)  e.  RR )
5251resincld 12423 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( sin `  (
( B  -  A
)  /  2 ) )  e.  RR )
5311, 6posdifd 9359 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A  <  B  <->  0  <  ( B  -  A ) ) )
5423, 53mpbid 201 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  0  <  ( B  -  A ) )
55 divgt0 9624 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( B  -  A )  e.  RR  /\  0  <  ( B  -  A ) )  /\  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  -> 
0  <  ( ( B  -  A )  /  2 ) )
5615, 16, 55mpanr12 666 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( B  -  A
)  e.  RR  /\  0  <  ( B  -  A ) )  -> 
0  <  ( ( B  -  A )  /  2 ) )
5750, 54, 56syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  <  ( ( B  -  A )  /  2 ) )
58 rehalfcl 9938 . . . . . . . . . 10  |-  ( pi  e.  RR  ->  (
pi  /  2 )  e.  RR )
593, 58mp1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( pi  /  2
)  e.  RR )
606, 11subge02d 9364 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  A  <->  ( B  -  A )  <_  B ) )
6122, 60mpbid 201 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( B  -  A
)  <_  B )
6250, 6, 30, 61, 39letrd 8973 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( B  -  A
)  <_  pi )
63 lediv1 9621 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( B  -  A
)  e.  RR  /\  pi  e.  RR  /\  (
2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( ( B  -  A )  <_  pi 
<->  ( ( B  -  A )  /  2
)  <_  ( pi  /  2 ) ) )
6450, 30, 34, 35, 63syl112anc 1186 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( B  -  A )  <_  pi  <->  ( ( B  -  A
)  /  2 )  <_  ( pi  / 
2 ) ) )
6562, 64mpbid 201 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( B  -  A )  /  2
)  <_  ( pi  /  2 ) )
66 pipos 19833 . . . . . . . . . . 11  |-  0  <  pi
673, 66elrpii 10357 . . . . . . . . . 10  |-  pi  e.  RR+
68 rphalflt 10380 . . . . . . . . . 10  |-  ( pi  e.  RR+  ->  ( pi 
/  2 )  < 
pi )
6967, 68mp1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( pi  /  2
)  <  pi )
7051, 59, 30, 65, 69lelttrd 8974 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( B  -  A )  /  2
)  <  pi )
71 elioo2 10697 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  pi  e.  RR* )  ->  (
( ( B  -  A )  /  2
)  e.  ( 0 (,) pi )  <->  ( (
( B  -  A
)  /  2 )  e.  RR  /\  0  <  ( ( B  -  A )  /  2
)  /\  ( ( B  -  A )  /  2 )  < 
pi ) ) )
7241, 43, 71mp2an 653 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( B  -  A
)  /  2 )  e.  ( 0 (,) pi )  <->  ( (
( B  -  A
)  /  2 )  e.  RR  /\  0  <  ( ( B  -  A )  /  2
)  /\  ( ( B  -  A )  /  2 )  < 
pi ) )
7351, 57, 70, 72syl3anbrc 1136 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( B  -  A )  /  2
)  e.  ( 0 (,) pi ) )
74 sinq12gt0 19875 . . . . . . 7  |-  ( ( ( B  -  A
)  /  2 )  e.  ( 0 (,) pi )  ->  0  <  ( sin `  (
( B  -  A
)  /  2 ) ) )
7573, 74syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  <  ( sin `  ( ( B  -  A )  /  2
) ) )
7652, 75elrpd 10388 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( sin `  (
( B  -  A
)  /  2 ) )  e.  RR+ )
7749, 76rpmulcld 10406 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( sin `  (
( B  +  A
)  /  2 ) )  x.  ( sin `  ( ( B  -  A )  /  2
) ) )  e.  RR+ )
78 rpmulcl 10375 . . . 4  |-  ( ( 2  e.  RR+  /\  (
( sin `  (
( B  +  A
)  /  2 ) )  x.  ( sin `  ( ( B  -  A )  /  2
) ) )  e.  RR+ )  ->  ( 2  x.  ( ( sin `  ( ( B  +  A )  /  2
) )  x.  ( sin `  ( ( B  -  A )  / 
2 ) ) ) )  e.  RR+ )
7917, 77, 78sylancr 644 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  (
( sin `  (
( B  +  A
)  /  2 ) )  x.  ( sin `  ( ( B  -  A )  /  2
) ) ) )  e.  RR+ )
8014, 79eqeltrd 2357 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( cos `  A
)  -  ( cos `  B ) )  e.  RR+ )
816recoscld 12424 . . 3  |-  ( ph  ->  ( cos `  B
)  e.  RR )
8211recoscld 12424 . . 3  |-  ( ph  ->  ( cos `  A
)  e.  RR )
83 difrp 10387 . . 3  |-  ( ( ( cos `  B
)  e.  RR  /\  ( cos `  A )  e.  RR )  -> 
( ( cos `  B
)  <  ( cos `  A )  <->  ( ( cos `  A )  -  ( cos `  B ) )  e.  RR+ )
)
8481, 82, 83syl2anc 642 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( cos `  B
)  <  ( cos `  A )  <->  ( ( cos `  A )  -  ( cos `  B ) )  e.  RR+ )
)
8580, 84mpbird 223 1  |-  ( ph  ->  ( cos `  B
)  <  ( cos `  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   class class class wbr 4023   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737    + caddc 8740    x. cmul 8742   RR*cxr 8866    < clt 8867    <_ cle 8868    - cmin 9037    / cdiv 9423   2c2 9795   RR+crp 10354   (,)cioo 10656   [,]cicc 10659   sincsin 12345   cosccos 12346   picpi 12348
This theorem is referenced by:  cosord  19894
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ioo 10660  df-ioc 10661  df-ico 10662  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-seq 11047  df-exp 11105  df-fac 11289  df-bc 11316  df-hash 11338  df-shft 11562  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-limsup 11945  df-clim 11962  df-rlim 11963  df-sum 12159  df-ef 12349  df-sin 12351  df-cos 12352  df-pi 12354  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-hom 13232  df-cco 13233  df-rest 13327  df-topn 13328  df-topgen 13344  df-pt 13345  df-prds 13348  df-xrs 13403  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-qtop 13410  df-imas 13411  df-xps 13413  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-mulg 14492  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-cnfld 16378  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-cld 16756  df-ntr 16757  df-cls 16758  df-nei 16835  df-lp 16868  df-perf 16869  df-cn 16957  df-cnp 16958  df-haus 17043  df-tx 17257  df-hmeo 17446  df-fbas 17520  df-fg 17521  df-fil 17541  df-fm 17633  df-flim 17634  df-flf 17635  df-xms 17885  df-ms 17886  df-tms 17887  df-cncf 18382  df-limc 19216  df-dv 19217
  Copyright terms: Public domain W3C validator