MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cossub Structured version   Unicode version

Theorem cossub 12772
Description: Cosine of difference. (Contributed by Paul Chapman, 12-Oct-2007.)
Assertion
Ref Expression
cossub  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( cos `  ( A  -  B )
)  =  ( ( ( cos `  A
)  x.  ( cos `  B ) )  +  ( ( sin `  A
)  x.  ( sin `  B ) ) ) )

Proof of Theorem cossub
StepHypRef Expression
1 negcl 9308 . . 3  |-  ( B  e.  CC  ->  -u B  e.  CC )
2 cosadd 12768 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  -u B  e.  CC )  ->  ( cos `  ( A  +  -u B ) )  =  ( ( ( cos `  A
)  x.  ( cos `  -u B ) )  -  ( ( sin `  A )  x.  ( sin `  -u B ) ) ) )
31, 2sylan2 462 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( cos `  ( A  +  -u B ) )  =  ( ( ( cos `  A
)  x.  ( cos `  -u B ) )  -  ( ( sin `  A )  x.  ( sin `  -u B ) ) ) )
4 negsub 9351 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  +  -u B )  =  ( A  -  B ) )
54fveq2d 5734 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( cos `  ( A  +  -u B ) )  =  ( cos `  ( A  -  B
) ) )
6 cosneg 12750 . . . . . 6  |-  ( B  e.  CC  ->  ( cos `  -u B )  =  ( cos `  B
) )
76adantl 454 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( cos `  -u B
)  =  ( cos `  B ) )
87oveq2d 6099 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( cos `  A
)  x.  ( cos `  -u B ) )  =  ( ( cos `  A )  x.  ( cos `  B ) ) )
9 sinneg 12749 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  CC  ->  ( sin `  -u B )  = 
-u ( sin `  B
) )
109adantl 454 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( sin `  -u B
)  =  -u ( sin `  B ) )
1110oveq2d 6099 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( sin `  A
)  x.  ( sin `  -u B ) )  =  ( ( sin `  A )  x.  -u ( sin `  B ) ) )
12 sincl 12729 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  ( sin `  A )  e.  CC )
13 sincl 12729 . . . . . 6  |-  ( B  e.  CC  ->  ( sin `  B )  e.  CC )
14 mulneg2 9473 . . . . . 6  |-  ( ( ( sin `  A
)  e.  CC  /\  ( sin `  B )  e.  CC )  -> 
( ( sin `  A
)  x.  -u ( sin `  B ) )  =  -u ( ( sin `  A )  x.  ( sin `  B ) ) )
1512, 13, 14syl2an 465 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( sin `  A
)  x.  -u ( sin `  B ) )  =  -u ( ( sin `  A )  x.  ( sin `  B ) ) )
1611, 15eqtrd 2470 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( sin `  A
)  x.  ( sin `  -u B ) )  =  -u ( ( sin `  A )  x.  ( sin `  B ) ) )
178, 16oveq12d 6101 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( cos `  A )  x.  ( cos `  -u B ) )  -  ( ( sin `  A )  x.  ( sin `  -u B ) ) )  =  ( ( ( cos `  A
)  x.  ( cos `  B ) )  -  -u ( ( sin `  A
)  x.  ( sin `  B ) ) ) )
18 coscl 12730 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  ( cos `  A )  e.  CC )
19 coscl 12730 . . . . 5  |-  ( B  e.  CC  ->  ( cos `  B )  e.  CC )
20 mulcl 9076 . . . . 5  |-  ( ( ( cos `  A
)  e.  CC  /\  ( cos `  B )  e.  CC )  -> 
( ( cos `  A
)  x.  ( cos `  B ) )  e.  CC )
2118, 19, 20syl2an 465 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( cos `  A
)  x.  ( cos `  B ) )  e.  CC )
22 mulcl 9076 . . . . 5  |-  ( ( ( sin `  A
)  e.  CC  /\  ( sin `  B )  e.  CC )  -> 
( ( sin `  A
)  x.  ( sin `  B ) )  e.  CC )
2312, 13, 22syl2an 465 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( sin `  A
)  x.  ( sin `  B ) )  e.  CC )
2421, 23subnegd 9420 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( cos `  A )  x.  ( cos `  B ) )  -  -u ( ( sin `  A )  x.  ( sin `  B ) ) )  =  ( ( ( cos `  A
)  x.  ( cos `  B ) )  +  ( ( sin `  A
)  x.  ( sin `  B ) ) ) )
2517, 24eqtrd 2470 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( cos `  A )  x.  ( cos `  -u B ) )  -  ( ( sin `  A )  x.  ( sin `  -u B ) ) )  =  ( ( ( cos `  A
)  x.  ( cos `  B ) )  +  ( ( sin `  A
)  x.  ( sin `  B ) ) ) )
263, 5, 253eqtr3d 2478 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( cos `  ( A  -  B )
)  =  ( ( ( cos `  A
)  x.  ( cos `  B ) )  +  ( ( sin `  A
)  x.  ( sin `  B ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   CCcc 8990    + caddc 8995    x. cmul 8997    - cmin 9293   -ucneg 9294   sincsin 12668   cosccos 12669
This theorem is referenced by:  sinmul  12775  cosmul  12776  addcos  12777  subcos  12778  cosmpi  20398  coshalfpim  20405
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-inf2 7598  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069  ax-pre-sup 9070  ax-addf 9071  ax-mulf 9072
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-se 4544  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-isom 5465  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-oadd 6730  df-er 6907  df-pm 7023  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-sup 7448  df-oi 7481  df-card 7828  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-n0 10224  df-z 10285  df-uz 10491  df-rp 10615  df-ico 10924  df-fz 11046  df-fzo 11138  df-fl 11204  df-seq 11326  df-exp 11385  df-fac 11569  df-bc 11596  df-hash 11621  df-shft 11884  df-cj 11906  df-re 11907  df-im 11908  df-sqr 12042  df-abs 12043  df-limsup 12267  df-clim 12284  df-rlim 12285  df-sum 12482  df-ef 12672  df-sin 12674  df-cos 12675
  Copyright terms: Public domain W3C validator