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Theorem cover2 26358
Description: Two ways of expressing the statement "there is a cover of  A by elements of  B such that for each set in the cover,  ph." Note that  ph and  x must be distinct. (Contributed by Jeff Madsen, 20-Jun-2010.)
Hypotheses
Ref Expression
cover2.1  |-  B  e. 
_V
cover2.2  |-  A  = 
U. B
Assertion
Ref Expression
cover2  |-  ( A. x  e.  A  E. y  e.  B  (
x  e.  y  /\  ph )  <->  E. z  e.  ~P  B ( U. z  =  A  /\  A. y  e.  z  ph ) )
Distinct variable groups:    ph, x, z   
x, B, y, z   
x, A, z
Allowed substitution hints:    ph( y)    A( y)

Proof of Theorem cover2
StepHypRef Expression
1 ssrab2 3258 . . . 4  |-  { y  e.  B  |  ph }  C_  B
2 cover2.1 . . . . 5  |-  B  e. 
_V
32elpw2 4175 . . . 4  |-  ( { y  e.  B  |  ph }  e.  ~P B  <->  { y  e.  B  |  ph }  C_  B )
41, 3mpbir 200 . . 3  |-  { y  e.  B  |  ph }  e.  ~P B
5 nfra1 2593 . . . . 5  |-  F/ x A. x  e.  A  E. y  e.  B  ( x  e.  y  /\  ph )
6 uniss 3848 . . . . . . . . 9  |-  ( { y  e.  B  |  ph }  C_  B  ->  U. { y  e.  B  |  ph }  C_  U. B
)
71, 6ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  U. {
y  e.  B  |  ph }  C_  U. B
87sseli 3176 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  U. { y  e.  B  |  ph }  ->  x  e.  U. B )
9 cover2.2 . . . . . . 7  |-  A  = 
U. B
108, 9syl6eleqr 2374 . . . . . 6  |-  ( x  e.  U. { y  e.  B  |  ph }  ->  x  e.  A
)
11 rsp 2603 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  A  E. y  e.  B  (
x  e.  y  /\  ph )  ->  ( x  e.  A  ->  E. y  e.  B  ( x  e.  y  /\  ph )
) )
12 elunirab 3840 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  U. { y  e.  B  |  ph } 
<->  E. y  e.  B  ( x  e.  y  /\  ph ) )
1311, 12syl6ibr 218 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  A  E. y  e.  B  (
x  e.  y  /\  ph )  ->  ( x  e.  A  ->  x  e. 
U. { y  e.  B  |  ph }
) )
1410, 13impbid2 195 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  E. y  e.  B  (
x  e.  y  /\  ph )  ->  ( x  e.  U. { y  e.  B  |  ph }  <->  x  e.  A ) )
155, 14alrimi 1745 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  E. y  e.  B  (
x  e.  y  /\  ph )  ->  A. x
( x  e.  U. { y  e.  B  |  ph }  <->  x  e.  A ) )
16 dfcleq 2277 . . . 4  |-  ( U. { y  e.  B  |  ph }  =  A  <->  A. x ( x  e. 
U. { y  e.  B  |  ph }  <->  x  e.  A ) )
1715, 16sylibr 203 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  E. y  e.  B  (
x  e.  y  /\  ph )  ->  U. { y  e.  B  |  ph }  =  A )
18 unieq 3836 . . . . . . 7  |-  ( z  =  { y  e.  B  |  ph }  ->  U. z  =  U. { y  e.  B  |  ph } )
1918eqeq1d 2291 . . . . . 6  |-  ( z  =  { y  e.  B  |  ph }  ->  ( U. z  =  A  <->  U. { y  e.  B  |  ph }  =  A ) )
2019anbi1d 685 . . . . 5  |-  ( z  =  { y  e.  B  |  ph }  ->  ( ( U. z  =  A  /\  A. y  e.  z  ph )  <->  ( U. { y  e.  B  |  ph }  =  A  /\  A. y  e.  z  ph ) ) )
21 nfrab1 2720 . . . . . . . 8  |-  F/_ y { y  e.  B  |  ph }
2221nfeq2 2430 . . . . . . 7  |-  F/ y  z  =  { y  e.  B  |  ph }
23 eleq2 2344 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  { y  e.  B  |  ph }  ->  ( y  e.  z  <-> 
y  e.  { y  e.  B  |  ph } ) )
24 rabid 2716 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  { y  e.  B  |  ph }  <->  ( y  e.  B  /\  ph ) )
2524simprbi 450 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  { y  e.  B  |  ph }  ->  ph )
2623, 25syl6bi 219 . . . . . . 7  |-  ( z  =  { y  e.  B  |  ph }  ->  ( y  e.  z  ->  ph ) )
2722, 26ralrimi 2624 . . . . . 6  |-  ( z  =  { y  e.  B  |  ph }  ->  A. y  e.  z 
ph )
2827biantrud 493 . . . . 5  |-  ( z  =  { y  e.  B  |  ph }  ->  ( U. { y  e.  B  |  ph }  =  A  <->  ( U. { y  e.  B  |  ph }  =  A  /\  A. y  e.  z  ph ) ) )
2920, 28bitr4d 247 . . . 4  |-  ( z  =  { y  e.  B  |  ph }  ->  ( ( U. z  =  A  /\  A. y  e.  z  ph )  <->  U. { y  e.  B  |  ph }  =  A )
)
3029rspcev 2884 . . 3  |-  ( ( { y  e.  B  |  ph }  e.  ~P B  /\  U. { y  e.  B  |  ph }  =  A )  ->  E. z  e.  ~P  B ( U. z  =  A  /\  A. y  e.  z  ph ) )
314, 17, 30sylancr 644 . 2  |-  ( A. x  e.  A  E. y  e.  B  (
x  e.  y  /\  ph )  ->  E. z  e.  ~P  B ( U. z  =  A  /\  A. y  e.  z  ph ) )
32 eleq2 2344 . . . . . . . . . 10  |-  ( U. z  =  A  ->  ( x  e.  U. z  <->  x  e.  A ) )
3332biimpar 471 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U. z  =  A  /\  x  e.  A
)  ->  x  e.  U. z )
34 eluni2 3831 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  U. z  <->  E. y  e.  z  x  e.  y )
3533, 34sylib 188 . . . . . . . 8  |-  ( ( U. z  =  A  /\  x  e.  A
)  ->  E. y  e.  z  x  e.  y )
36 elpwi 3633 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  ~P B  -> 
z  C_  B )
37 r19.29r 2684 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( E. y  e.  z  x  e.  y  /\  A. y  e.  z  ph )  ->  E. y  e.  z  ( x  e.  y  /\  ph ) )
3837expcom 424 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. y  e.  z  ph  ->  ( E. y  e.  z  x  e.  y  ->  E. y  e.  z  ( x  e.  y  /\  ph ) ) )
39 ssrexv 3238 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z 
C_  B  ->  ( E. y  e.  z 
( x  e.  y  /\  ph )  ->  E. y  e.  B  ( x  e.  y  /\  ph ) ) )
4038, 39sylan9r 639 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  C_  B  /\  A. y  e.  z  ph )  ->  ( E. y  e.  z  x  e.  y  ->  E. y  e.  B  ( x  e.  y  /\  ph ) ) )
4136, 40sylan 457 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  ~P B  /\  A. y  e.  z 
ph )  ->  ( E. y  e.  z  x  e.  y  ->  E. y  e.  B  ( x  e.  y  /\  ph ) ) )
4241imp 418 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( z  e.  ~P B  /\  A. y  e.  z  ph )  /\  E. y  e.  z  x  e.  y )  ->  E. y  e.  B  ( x  e.  y  /\  ph ) )
4335, 42sylan2 460 . . . . . . 7  |-  ( ( ( z  e.  ~P B  /\  A. y  e.  z  ph )  /\  ( U. z  =  A  /\  x  e.  A
) )  ->  E. y  e.  B  ( x  e.  y  /\  ph )
)
4443anassrs 629 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P B  /\  A. y  e.  z  ph )  /\  U. z  =  A )  /\  x  e.  A )  ->  E. y  e.  B  ( x  e.  y  /\  ph )
)
4544ralrimiva 2626 . . . . 5  |-  ( ( ( z  e.  ~P B  /\  A. y  e.  z  ph )  /\  U. z  =  A )  ->  A. x  e.  A  E. y  e.  B  ( x  e.  y  /\  ph ) )
4645anasss 628 . . . 4  |-  ( ( z  e.  ~P B  /\  ( A. y  e.  z  ph  /\  U. z  =  A )
)  ->  A. x  e.  A  E. y  e.  B  ( x  e.  y  /\  ph )
)
4746ancom2s 777 . . 3  |-  ( ( z  e.  ~P B  /\  ( U. z  =  A  /\  A. y  e.  z  ph ) )  ->  A. x  e.  A  E. y  e.  B  ( x  e.  y  /\  ph ) )
4847rexlimiva 2662 . 2  |-  ( E. z  e.  ~P  B
( U. z  =  A  /\  A. y  e.  z  ph )  ->  A. x  e.  A  E. y  e.  B  ( x  e.  y  /\  ph ) )
4931, 48impbii 180 1  |-  ( A. x  e.  A  E. y  e.  B  (
x  e.  y  /\  ph )  <->  E. z  e.  ~P  B ( U. z  =  A  /\  A. y  e.  z  ph ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   A.wal 1527    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544   {crab 2547   _Vcvv 2788    C_ wss 3152   ~Pcpw 3625   U.cuni 3827
This theorem is referenced by:  cover2g  26359
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3627  df-uni 3828
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