MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cph2ass Structured version   Unicode version

Theorem cph2ass 19180
Description: Move scalar multiplication to outside of inner product. See his35 22595. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cphipcj.h  |-  .,  =  ( .i `  W )
cphipcj.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
cphass.f  |-  F  =  (Scalar `  W )
cphass.k  |-  K  =  ( Base `  F
)
cphass.s  |-  .x.  =  ( .s `  W )
Assertion
Ref Expression
cph2ass  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( A  e.  K  /\  B  e.  K )  /\  ( C  e.  V  /\  D  e.  V
) )  ->  (
( A  .x.  C
)  .,  ( B  .x.  D ) )  =  ( ( A  x.  ( * `  B
) )  x.  ( C  .,  D ) ) )

Proof of Theorem cph2ass
StepHypRef Expression
1 simp1 958 . . . 4  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( A  e.  K  /\  B  e.  K )  /\  ( C  e.  V  /\  D  e.  V
) )  ->  W  e.  CPreHil )
2 simp2r 985 . . . 4  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( A  e.  K  /\  B  e.  K )  /\  ( C  e.  V  /\  D  e.  V
) )  ->  B  e.  K )
3 simp3l 986 . . . 4  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( A  e.  K  /\  B  e.  K )  /\  ( C  e.  V  /\  D  e.  V
) )  ->  C  e.  V )
4 simp3r 987 . . . 4  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( A  e.  K  /\  B  e.  K )  /\  ( C  e.  V  /\  D  e.  V
) )  ->  D  e.  V )
5 cphipcj.h . . . . 5  |-  .,  =  ( .i `  W )
6 cphipcj.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  W
)
7 cphass.f . . . . 5  |-  F  =  (Scalar `  W )
8 cphass.k . . . . 5  |-  K  =  ( Base `  F
)
9 cphass.s . . . . 5  |-  .x.  =  ( .s `  W )
105, 6, 7, 8, 9cphassr 19179 . . . 4  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( B  e.  K  /\  C  e.  V  /\  D  e.  V )
)  ->  ( C  .,  ( B  .x.  D
) )  =  ( ( * `  B
)  x.  ( C 
.,  D ) ) )
111, 2, 3, 4, 10syl13anc 1187 . . 3  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( A  e.  K  /\  B  e.  K )  /\  ( C  e.  V  /\  D  e.  V
) )  ->  ( C  .,  ( B  .x.  D ) )  =  ( ( * `  B )  x.  ( C  .,  D ) ) )
1211oveq2d 6100 . 2  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( A  e.  K  /\  B  e.  K )  /\  ( C  e.  V  /\  D  e.  V
) )  ->  ( A  x.  ( C  .,  ( B  .x.  D
) ) )  =  ( A  x.  (
( * `  B
)  x.  ( C 
.,  D ) ) ) )
13 simp2l 984 . . 3  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( A  e.  K  /\  B  e.  K )  /\  ( C  e.  V  /\  D  e.  V
) )  ->  A  e.  K )
14 cphlmod 19142 . . . . 5  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  W  e.  LMod )
15143ad2ant1 979 . . . 4  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( A  e.  K  /\  B  e.  K )  /\  ( C  e.  V  /\  D  e.  V
) )  ->  W  e.  LMod )
166, 7, 9, 8lmodvscl 15972 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  B  e.  K  /\  D  e.  V )  ->  ( B  .x.  D )  e.  V )
1715, 2, 4, 16syl3anc 1185 . . 3  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( A  e.  K  /\  B  e.  K )  /\  ( C  e.  V  /\  D  e.  V
) )  ->  ( B  .x.  D )  e.  V )
185, 6, 7, 8, 9cphass 19178 . . 3  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( A  e.  K  /\  C  e.  V  /\  ( B  .x.  D )  e.  V ) )  ->  ( ( A 
.x.  C )  .,  ( B  .x.  D ) )  =  ( A  x.  ( C  .,  ( B  .x.  D ) ) ) )
191, 13, 3, 17, 18syl13anc 1187 . 2  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( A  e.  K  /\  B  e.  K )  /\  ( C  e.  V  /\  D  e.  V
) )  ->  (
( A  .x.  C
)  .,  ( B  .x.  D ) )  =  ( A  x.  ( C  .,  ( B  .x.  D ) ) ) )
20 cphclm 19157 . . . . . 6  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  W  e. CMod )
21203ad2ant1 979 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( A  e.  K  /\  B  e.  K )  /\  ( C  e.  V  /\  D  e.  V
) )  ->  W  e. CMod )
227, 8clmsscn 19109 . . . . 5  |-  ( W  e. CMod  ->  K  C_  CC )
2321, 22syl 16 . . . 4  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( A  e.  K  /\  B  e.  K )  /\  ( C  e.  V  /\  D  e.  V
) )  ->  K  C_  CC )
2423, 13sseldd 3351 . . 3  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( A  e.  K  /\  B  e.  K )  /\  ( C  e.  V  /\  D  e.  V
) )  ->  A  e.  CC )
2523, 2sseldd 3351 . . . 4  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( A  e.  K  /\  B  e.  K )  /\  ( C  e.  V  /\  D  e.  V
) )  ->  B  e.  CC )
2625cjcld 12006 . . 3  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( A  e.  K  /\  B  e.  K )  /\  ( C  e.  V  /\  D  e.  V
) )  ->  (
* `  B )  e.  CC )
276, 5cphipcl 19159 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  C  e.  V  /\  D  e.  V )  ->  ( C  .,  D )  e.  CC )
28273expb 1155 . . . 4  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( C  e.  V  /\  D  e.  V )
)  ->  ( C  .,  D )  e.  CC )
29283adant2 977 . . 3  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( A  e.  K  /\  B  e.  K )  /\  ( C  e.  V  /\  D  e.  V
) )  ->  ( C  .,  D )  e.  CC )
3024, 26, 29mulassd 9116 . 2  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( A  e.  K  /\  B  e.  K )  /\  ( C  e.  V  /\  D  e.  V
) )  ->  (
( A  x.  (
* `  B )
)  x.  ( C 
.,  D ) )  =  ( A  x.  ( ( * `  B )  x.  ( C  .,  D ) ) ) )
3112, 19, 303eqtr4d 2480 1  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( A  e.  K  /\  B  e.  K )  /\  ( C  e.  V  /\  D  e.  V
) )  ->  (
( A  .x.  C
)  .,  ( B  .x.  D ) )  =  ( ( A  x.  ( * `  B
) )  x.  ( C  .,  D ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726    C_ wss 3322   ` cfv 5457  (class class class)co 6084   CCcc 8993    x. cmul 9000   *ccj 11906   Basecbs 13474  Scalarcsca 13537   .scvsca 13538   .icip 13539   LModclmod 15955  CModcclm 19092   CPreHilccph 19134
This theorem is referenced by:  pjthlem1  19343
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072  ax-addf 9074  ax-mulf 9075
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-tpos 6482  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-oadd 6731  df-er 6908  df-map 7023  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-div 9683  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-4 10065  df-5 10066  df-6 10067  df-7 10068  df-8 10069  df-9 10070  df-10 10071  df-n0 10227  df-z 10288  df-dec 10388  df-uz 10494  df-fz 11049  df-seq 11329  df-exp 11388  df-cj 11909  df-struct 13476  df-ndx 13477  df-slot 13478  df-base 13479  df-sets 13480  df-ress 13481  df-plusg 13547  df-mulr 13548  df-starv 13549  df-sca 13550  df-vsca 13551  df-tset 13553  df-ple 13554  df-ds 13556  df-unif 13557  df-0g 13732  df-mnd 14695  df-mhm 14743  df-grp 14817  df-subg 14946  df-ghm 15009  df-cmn 15419  df-mgp 15654  df-rng 15668  df-cring 15669  df-ur 15670  df-oppr 15733  df-dvdsr 15751  df-unit 15752  df-rnghom 15824  df-drng 15842  df-subrg 15871  df-staf 15938  df-srng 15939  df-lmod 15957  df-lmhm 16103  df-lvec 16180  df-sra 16249  df-rgmod 16250  df-cnfld 16709  df-phl 16862  df-nlm 18639  df-clm 19093  df-cph 19136
  Copyright terms: Public domain W3C validator