MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cph2ass Unicode version

Theorem cph2ass 19128
Description: Move scalar multiplication to outside of inner product. See his35 22543. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cphipcj.h  |-  .,  =  ( .i `  W )
cphipcj.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
cphass.f  |-  F  =  (Scalar `  W )
cphass.k  |-  K  =  ( Base `  F
)
cphass.s  |-  .x.  =  ( .s `  W )
Assertion
Ref Expression
cph2ass  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( A  e.  K  /\  B  e.  K )  /\  ( C  e.  V  /\  D  e.  V
) )  ->  (
( A  .x.  C
)  .,  ( B  .x.  D ) )  =  ( ( A  x.  ( * `  B
) )  x.  ( C  .,  D ) ) )

Proof of Theorem cph2ass
StepHypRef Expression
1 simp1 957 . . . 4  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( A  e.  K  /\  B  e.  K )  /\  ( C  e.  V  /\  D  e.  V
) )  ->  W  e.  CPreHil )
2 simp2r 984 . . . 4  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( A  e.  K  /\  B  e.  K )  /\  ( C  e.  V  /\  D  e.  V
) )  ->  B  e.  K )
3 simp3l 985 . . . 4  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( A  e.  K  /\  B  e.  K )  /\  ( C  e.  V  /\  D  e.  V
) )  ->  C  e.  V )
4 simp3r 986 . . . 4  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( A  e.  K  /\  B  e.  K )  /\  ( C  e.  V  /\  D  e.  V
) )  ->  D  e.  V )
5 cphipcj.h . . . . 5  |-  .,  =  ( .i `  W )
6 cphipcj.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  W
)
7 cphass.f . . . . 5  |-  F  =  (Scalar `  W )
8 cphass.k . . . . 5  |-  K  =  ( Base `  F
)
9 cphass.s . . . . 5  |-  .x.  =  ( .s `  W )
105, 6, 7, 8, 9cphassr 19127 . . . 4  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( B  e.  K  /\  C  e.  V  /\  D  e.  V )
)  ->  ( C  .,  ( B  .x.  D
) )  =  ( ( * `  B
)  x.  ( C 
.,  D ) ) )
111, 2, 3, 4, 10syl13anc 1186 . . 3  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( A  e.  K  /\  B  e.  K )  /\  ( C  e.  V  /\  D  e.  V
) )  ->  ( C  .,  ( B  .x.  D ) )  =  ( ( * `  B )  x.  ( C  .,  D ) ) )
1211oveq2d 6056 . 2  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( A  e.  K  /\  B  e.  K )  /\  ( C  e.  V  /\  D  e.  V
) )  ->  ( A  x.  ( C  .,  ( B  .x.  D
) ) )  =  ( A  x.  (
( * `  B
)  x.  ( C 
.,  D ) ) ) )
13 simp2l 983 . . 3  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( A  e.  K  /\  B  e.  K )  /\  ( C  e.  V  /\  D  e.  V
) )  ->  A  e.  K )
14 cphlmod 19090 . . . . 5  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  W  e.  LMod )
15143ad2ant1 978 . . . 4  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( A  e.  K  /\  B  e.  K )  /\  ( C  e.  V  /\  D  e.  V
) )  ->  W  e.  LMod )
166, 7, 9, 8lmodvscl 15922 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  B  e.  K  /\  D  e.  V )  ->  ( B  .x.  D )  e.  V )
1715, 2, 4, 16syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( A  e.  K  /\  B  e.  K )  /\  ( C  e.  V  /\  D  e.  V
) )  ->  ( B  .x.  D )  e.  V )
185, 6, 7, 8, 9cphass 19126 . . 3  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( A  e.  K  /\  C  e.  V  /\  ( B  .x.  D )  e.  V ) )  ->  ( ( A 
.x.  C )  .,  ( B  .x.  D ) )  =  ( A  x.  ( C  .,  ( B  .x.  D ) ) ) )
191, 13, 3, 17, 18syl13anc 1186 . 2  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( A  e.  K  /\  B  e.  K )  /\  ( C  e.  V  /\  D  e.  V
) )  ->  (
( A  .x.  C
)  .,  ( B  .x.  D ) )  =  ( A  x.  ( C  .,  ( B  .x.  D ) ) ) )
20 cphclm 19105 . . . . . 6  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  W  e. CMod )
21203ad2ant1 978 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( A  e.  K  /\  B  e.  K )  /\  ( C  e.  V  /\  D  e.  V
) )  ->  W  e. CMod )
227, 8clmsscn 19057 . . . . 5  |-  ( W  e. CMod  ->  K  C_  CC )
2321, 22syl 16 . . . 4  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( A  e.  K  /\  B  e.  K )  /\  ( C  e.  V  /\  D  e.  V
) )  ->  K  C_  CC )
2423, 13sseldd 3309 . . 3  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( A  e.  K  /\  B  e.  K )  /\  ( C  e.  V  /\  D  e.  V
) )  ->  A  e.  CC )
2523, 2sseldd 3309 . . . 4  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( A  e.  K  /\  B  e.  K )  /\  ( C  e.  V  /\  D  e.  V
) )  ->  B  e.  CC )
2625cjcld 11956 . . 3  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( A  e.  K  /\  B  e.  K )  /\  ( C  e.  V  /\  D  e.  V
) )  ->  (
* `  B )  e.  CC )
276, 5cphipcl 19107 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  C  e.  V  /\  D  e.  V )  ->  ( C  .,  D )  e.  CC )
28273expb 1154 . . . 4  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( C  e.  V  /\  D  e.  V )
)  ->  ( C  .,  D )  e.  CC )
29283adant2 976 . . 3  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( A  e.  K  /\  B  e.  K )  /\  ( C  e.  V  /\  D  e.  V
) )  ->  ( C  .,  D )  e.  CC )
3024, 26, 29mulassd 9067 . 2  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( A  e.  K  /\  B  e.  K )  /\  ( C  e.  V  /\  D  e.  V
) )  ->  (
( A  x.  (
* `  B )
)  x.  ( C 
.,  D ) )  =  ( A  x.  ( ( * `  B )  x.  ( C  .,  D ) ) ) )
3112, 19, 303eqtr4d 2446 1  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( A  e.  K  /\  B  e.  K )  /\  ( C  e.  V  /\  D  e.  V
) )  ->  (
( A  .x.  C
)  .,  ( B  .x.  D ) )  =  ( ( A  x.  ( * `  B
) )  x.  ( C  .,  D ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721    C_ wss 3280   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   CCcc 8944    x. cmul 8951   *ccj 11856   Basecbs 13424  Scalarcsca 13487   .scvsca 13488   .icip 13489   LModclmod 15905  CModcclm 19040   CPreHilccph 19082
This theorem is referenced by:  pjthlem1  19291
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-addf 9025  ax-mulf 9026
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-tpos 6438  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-fz 11000  df-seq 11279  df-exp 11338  df-cj 11859  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-0g 13682  df-mnd 14645  df-mhm 14693  df-grp 14767  df-subg 14896  df-ghm 14959  df-cmn 15369  df-mgp 15604  df-rng 15618  df-cring 15619  df-ur 15620  df-oppr 15683  df-dvdsr 15701  df-unit 15702  df-rnghom 15774  df-drng 15792  df-subrg 15821  df-staf 15888  df-srng 15889  df-lmod 15907  df-lmhm 16053  df-lvec 16130  df-sra 16199  df-rgmod 16200  df-cnfld 16659  df-phl 16812  df-nlm 18587  df-clm 19041  df-cph 19084
  Copyright terms: Public domain W3C validator