MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cph2di Unicode version

Theorem cph2di 18695
Description: Distributive law for inner product. Complex version of ip2di 16601. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cphipcj.h  |-  .,  =  ( .i `  W )
cphipcj.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
cphdir.P  |-  .+  =  ( +g  `  W )
cph2di.1  |-  ( ph  ->  W  e.  CPreHil )
cph2di.2  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
cph2di.3  |-  ( ph  ->  B  e.  V )
cph2di.4  |-  ( ph  ->  C  e.  V )
cph2di.5  |-  ( ph  ->  D  e.  V )
Assertion
Ref Expression
cph2di  |-  ( ph  ->  ( ( A  .+  B )  .,  ( C  .+  D ) )  =  ( ( ( A  .,  C )  +  ( B  .,  D ) )  +  ( ( A  .,  D )  +  ( B  .,  C ) ) ) )

Proof of Theorem cph2di
StepHypRef Expression
1 eqid 2316 . . 3  |-  (Scalar `  W )  =  (Scalar `  W )
2 cphipcj.h . . 3  |-  .,  =  ( .i `  W )
3 cphipcj.v . . 3  |-  V  =  ( Base `  W
)
4 cphdir.P . . 3  |-  .+  =  ( +g  `  W )
5 eqid 2316 . . 3  |-  ( +g  `  (Scalar `  W )
)  =  ( +g  `  (Scalar `  W )
)
6 cph2di.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  W  e.  CPreHil )
7 cphphl 18660 . . . 4  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  W  e.  PreHil )
86, 7syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  W  e.  PreHil )
9 cph2di.2 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
10 cph2di.3 . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  V )
11 cph2di.4 . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  V )
12 cph2di.5 . . 3  |-  ( ph  ->  D  e.  V )
131, 2, 3, 4, 5, 8, 9, 10, 11, 12ip2di 16601 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( A  .+  B )  .,  ( C  .+  D ) )  =  ( ( ( A  .,  C ) ( +g  `  (Scalar `  W ) ) ( B  .,  D ) ) ( +g  `  (Scalar `  W ) ) ( ( A  .,  D
) ( +g  `  (Scalar `  W ) ) ( B  .,  C ) ) ) )
14 cphclm 18678 . . . 4  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  W  e. CMod )
151clmadd 18625 . . . 4  |-  ( W  e. CMod  ->  +  =  ( +g  `  (Scalar `  W ) ) )
166, 14, 153syl 18 . . 3  |-  ( ph  ->  +  =  ( +g  `  (Scalar `  W )
) )
1716oveqd 5917 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( A  .,  C )  +  ( B  .,  D ) )  =  ( ( A  .,  C ) ( +g  `  (Scalar `  W ) ) ( B  .,  D ) ) )
1816oveqd 5917 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( A  .,  D )  +  ( B  .,  C ) )  =  ( ( A  .,  D ) ( +g  `  (Scalar `  W ) ) ( B  .,  C ) ) )
1916, 17, 18oveq123d 5921 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( A 
.,  C )  +  ( B  .,  D
) )  +  ( ( A  .,  D
)  +  ( B 
.,  C ) ) )  =  ( ( ( A  .,  C
) ( +g  `  (Scalar `  W ) ) ( B  .,  D ) ) ( +g  `  (Scalar `  W ) ) ( ( A  .,  D
) ( +g  `  (Scalar `  W ) ) ( B  .,  C ) ) ) )
2013, 19eqtr4d 2351 1  |-  ( ph  ->  ( ( A  .+  B )  .,  ( C  .+  D ) )  =  ( ( ( A  .,  C )  +  ( B  .,  D ) )  +  ( ( A  .,  D )  +  ( B  .,  C ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1633    e. wcel 1701   ` cfv 5292  (class class class)co 5900    + caddc 8785   Basecbs 13195   +g cplusg 13255  Scalarcsca 13258   .icip 13260   PreHilcphl 16584  CModcclm 18613   CPreHilccph 18655
This theorem is referenced by:  nmparlem  18722
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-rep 4168  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549  ax-cnex 8838  ax-resscn 8839  ax-1cn 8840  ax-icn 8841  ax-addcl 8842  ax-addrcl 8843  ax-mulcl 8844  ax-mulrcl 8845  ax-mulcom 8846  ax-addass 8847  ax-mulass 8848  ax-distr 8849  ax-i2m1 8850  ax-1ne0 8851  ax-1rid 8852  ax-rnegex 8853  ax-rrecex 8854  ax-cnre 8855  ax-pre-lttri 8856  ax-pre-lttrn 8857  ax-pre-ltadd 8858  ax-pre-mulgt0 8859  ax-addf 8861  ax-mulf 8862
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-nel 2482  df-ral 2582  df-rex 2583  df-reu 2584  df-rmo 2585  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-csb 3116  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-pss 3202  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-tp 3682  df-op 3683  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3944  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-tr 4151  df-eprel 4342  df-id 4346  df-po 4351  df-so 4352  df-fr 4389  df-we 4391  df-ord 4432  df-on 4433  df-lim 4434  df-suc 4435  df-om 4694  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-f1 5297  df-fo 5298  df-f1o 5299  df-fv 5300  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpt2 5905  df-1st 6164  df-2nd 6165  df-tpos 6276  df-riota 6346  df-recs 6430  df-rdg 6465  df-1o 6521  df-oadd 6525  df-er 6702  df-map 6817  df-en 6907  df-dom 6908  df-sdom 6909  df-fin 6910  df-pnf 8914  df-mnf 8915  df-xr 8916  df-ltxr 8917  df-le 8918  df-sub 9084  df-neg 9085  df-div 9469  df-nn 9792  df-2 9849  df-3 9850  df-4 9851  df-5 9852  df-6 9853  df-7 9854  df-8 9855  df-9 9856  df-10 9857  df-n0 10013  df-z 10072  df-dec 10172  df-uz 10278  df-fz 10830  df-seq 11094  df-exp 11152  df-struct 13197  df-ndx 13198  df-slot 13199  df-base 13200  df-sets 13201  df-ress 13202  df-plusg 13268  df-mulr 13269  df-starv 13270  df-sca 13271  df-vsca 13272  df-tset 13274  df-ple 13275  df-ds 13277  df-unif 13278  df-0g 13453  df-mnd 14416  df-mhm 14464  df-grp 14538  df-minusg 14539  df-subg 14667  df-ghm 14730  df-cmn 15140  df-abl 15141  df-mgp 15375  df-rng 15389  df-cring 15390  df-ur 15391  df-oppr 15454  df-dvdsr 15472  df-unit 15473  df-rnghom 15545  df-drng 15563  df-subrg 15592  df-staf 15659  df-srng 15660  df-lmod 15678  df-lmhm 15828  df-lvec 15905  df-sra 15974  df-rgmod 15975  df-cnfld 16433  df-phl 16586  df-nlm 18161  df-clm 18614  df-cph 18657
  Copyright terms: Public domain W3C validator