MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cphabscl Unicode version

Theorem cphabscl 18621
Description: The scalar field of a complex pre-Hilbert space is closed under the absolute value operation. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cphsca.f  |-  F  =  (Scalar `  W )
cphsca.k  |-  K  =  ( Base `  F
)
Assertion
Ref Expression
cphabscl  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  A  e.  K )  ->  ( abs `  A )  e.  K )

Proof of Theorem cphabscl
StepHypRef Expression
1 cphsca.f . . . . . 6  |-  F  =  (Scalar `  W )
2 cphsca.k . . . . . 6  |-  K  =  ( Base `  F
)
31, 2cphsubrg 18616 . . . . 5  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  K  e.  (SubRing ` fld ) )
4 cnfldbas 16383 . . . . . 6  |-  CC  =  ( Base ` fld )
54subrgss 15546 . . . . 5  |-  ( K  e.  (SubRing ` fld )  ->  K  C_  CC )
63, 5syl 15 . . . 4  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  K  C_  CC )
76sselda 3180 . . 3  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  A  e.  K )  ->  A  e.  CC )
8 absval 11723 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  ( abs `  A )  =  ( sqr `  ( A  x.  ( * `  A ) ) ) )
97, 8syl 15 . 2  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  A  e.  K )  ->  ( abs `  A )  =  ( sqr `  ( A  x.  ( * `  A ) ) ) )
10 simpl 443 . . 3  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  A  e.  K )  ->  W  e.  CPreHil )
113adantr 451 . . . 4  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  A  e.  K )  ->  K  e.  (SubRing ` fld ) )
12 simpr 447 . . . 4  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  A  e.  K )  ->  A  e.  K )
131, 2cphcjcl 18619 . . . 4  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  A  e.  K )  ->  (
* `  A )  e.  K )
14 cnfldmul 16385 . . . . 5  |-  x.  =  ( .r ` fld )
1514subrgmcl 15557 . . . 4  |-  ( ( K  e.  (SubRing ` fld )  /\  A  e.  K  /\  ( * `
 A )  e.  K )  ->  ( A  x.  ( * `  A ) )  e.  K )
1611, 12, 13, 15syl3anc 1182 . . 3  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  A  e.  K )  ->  ( A  x.  ( * `  A ) )  e.  K )
177cjmulrcld 11691 . . 3  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  A  e.  K )  ->  ( A  x.  ( * `  A ) )  e.  RR )
187cjmulge0d 11693 . . 3  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  A  e.  K )  ->  0  <_  ( A  x.  (
* `  A )
) )
191, 2cphsqrcl 18620 . . 3  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  (
( A  x.  (
* `  A )
)  e.  K  /\  ( A  x.  (
* `  A )
)  e.  RR  /\  0  <_  ( A  x.  ( * `  A
) ) ) )  ->  ( sqr `  ( A  x.  ( * `  A ) ) )  e.  K )
2010, 16, 17, 18, 19syl13anc 1184 . 2  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  A  e.  K )  ->  ( sqr `  ( A  x.  ( * `  A
) ) )  e.  K )
219, 20eqeltrd 2357 1  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  A  e.  K )  ->  ( abs `  A )  e.  K )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    C_ wss 3152   class class class wbr 4023   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737    x. cmul 8742    <_ cle 8868   *ccj 11581   sqrcsqr 11718   abscabs 11719   Basecbs 13148  Scalarcsca 13211  SubRingcsubrg 15541  ℂfldccnfld 16377   CPreHilccph 18602
This theorem is referenced by:  cphsqrcl2  18622
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-tpos 6234  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-rp 10355  df-ico 10662  df-fz 10783  df-seq 11047  df-exp 11105  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-0g 13404  df-mnd 14367  df-mhm 14415  df-grp 14489  df-subg 14618  df-ghm 14681  df-cmn 15091  df-mgp 15326  df-rng 15340  df-cring 15341  df-ur 15342  df-oppr 15405  df-dvdsr 15423  df-unit 15424  df-rnghom 15496  df-drng 15514  df-subrg 15543  df-staf 15610  df-srng 15611  df-lvec 15856  df-cnfld 16378  df-phl 16530  df-cph 18604
  Copyright terms: Public domain W3C validator