MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cphassr Structured version   Unicode version

Theorem cphassr 19174
Description: "Associative" law for second argument of inner product (compare cphass 19173). See ipassr 16877, his52 . (Contributed by Mario Carneiro, 16-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cphipcj.h  |-  .,  =  ( .i `  W )
cphipcj.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
cphass.f  |-  F  =  (Scalar `  W )
cphass.k  |-  K  =  ( Base `  F
)
cphass.s  |-  .x.  =  ( .s `  W )
Assertion
Ref Expression
cphassr  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( A  e.  K  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )
)  ->  ( B  .,  ( A  .x.  C
) )  =  ( ( * `  A
)  x.  ( B 
.,  C ) ) )

Proof of Theorem cphassr
StepHypRef Expression
1 cphclm 19152 . . . . 5  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  W  e. CMod )
21adantr 452 . . . 4  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( A  e.  K  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )
)  ->  W  e. CMod )
3 cphass.f . . . . 5  |-  F  =  (Scalar `  W )
43clmmul 19100 . . . 4  |-  ( W  e. CMod  ->  x.  =  ( .r `  F ) )
52, 4syl 16 . . 3  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( A  e.  K  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )
)  ->  x.  =  ( .r `  F ) )
6 eqidd 2437 . . 3  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( A  e.  K  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )
)  ->  ( B  .,  C )  =  ( B  .,  C ) )
73clmcj 19101 . . . . 5  |-  ( W  e. CMod  ->  *  =  ( * r `  F
) )
82, 7syl 16 . . . 4  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( A  e.  K  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )
)  ->  *  =  ( * r `  F ) )
98fveq1d 5730 . . 3  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( A  e.  K  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )
)  ->  ( * `  A )  =  ( ( * r `  F ) `  A
) )
105, 6, 9oveq123d 6102 . 2  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( A  e.  K  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )
)  ->  ( ( B  .,  C )  x.  ( * `  A
) )  =  ( ( B  .,  C
) ( .r `  F ) ( ( * r `  F
) `  A )
) )
11 cphass.k . . . . . . 7  |-  K  =  ( Base `  F
)
123, 11clmsscn 19104 . . . . . 6  |-  ( W  e. CMod  ->  K  C_  CC )
132, 12syl 16 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( A  e.  K  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )
)  ->  K  C_  CC )
14 simpr1 963 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( A  e.  K  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )
)  ->  A  e.  K )
1513, 14sseldd 3349 . . . 4  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( A  e.  K  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )
)  ->  A  e.  CC )
1615cjcld 12001 . . 3  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( A  e.  K  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )
)  ->  ( * `  A )  e.  CC )
17 cphipcj.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  W
)
18 cphipcj.h . . . . 5  |-  .,  =  ( .i `  W )
1917, 18cphipcl 19154 . . . 4  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  ( B  .,  C )  e.  CC )
20193adant3r1 1162 . . 3  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( A  e.  K  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )
)  ->  ( B  .,  C )  e.  CC )
2116, 20mulcomd 9109 . 2  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( A  e.  K  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )
)  ->  ( (
* `  A )  x.  ( B  .,  C
) )  =  ( ( B  .,  C
)  x.  ( * `
 A ) ) )
22 cphphl 19134 . . 3  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  W  e.  PreHil )
23 3anrot 941 . . . 4  |-  ( ( A  e.  K  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  <->  ( B  e.  V  /\  C  e.  V  /\  A  e.  K )
)
2423biimpi 187 . . 3  |-  ( ( A  e.  K  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  ( B  e.  V  /\  C  e.  V  /\  A  e.  K
) )
25 cphass.s . . . 4  |-  .x.  =  ( .s `  W )
26 eqid 2436 . . . 4  |-  ( .r
`  F )  =  ( .r `  F
)
27 eqid 2436 . . . 4  |-  ( * r `  F )  =  ( * r `
 F )
283, 18, 17, 11, 25, 26, 27ipassr 16877 . . 3  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  ( B  e.  V  /\  C  e.  V  /\  A  e.  K )
)  ->  ( B  .,  ( A  .x.  C
) )  =  ( ( B  .,  C
) ( .r `  F ) ( ( * r `  F
) `  A )
) )
2922, 24, 28syl2an 464 . 2  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( A  e.  K  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )
)  ->  ( B  .,  ( A  .x.  C
) )  =  ( ( B  .,  C
) ( .r `  F ) ( ( * r `  F
) `  A )
) )
3010, 21, 293eqtr4rd 2479 1  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( A  e.  K  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )
)  ->  ( B  .,  ( A  .x.  C
) )  =  ( ( * `  A
)  x.  ( B 
.,  C ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725    C_ wss 3320   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   CCcc 8988    x. cmul 8995   *ccj 11901   Basecbs 13469   .rcmulr 13530   * rcstv 13531  Scalarcsca 13532   .scvsca 13533   .icip 13534   PreHilcphl 16855  CModcclm 19087   CPreHilccph 19129
This theorem is referenced by:  cph2ass  19175  pjthlem1  19338
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-addf 9069  ax-mulf 9070
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-tpos 6479  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-oadd 6728  df-er 6905  df-map 7020  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-5 10061  df-6 10062  df-7 10063  df-8 10064  df-9 10065  df-10 10066  df-n0 10222  df-z 10283  df-dec 10383  df-uz 10489  df-fz 11044  df-seq 11324  df-exp 11383  df-cj 11904  df-struct 13471  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-ress 13476  df-plusg 13542  df-mulr 13543  df-starv 13544  df-sca 13545  df-vsca 13546  df-tset 13548  df-ple 13549  df-ds 13551  df-unif 13552  df-0g 13727  df-mnd 14690  df-mhm 14738  df-grp 14812  df-subg 14941  df-ghm 15004  df-cmn 15414  df-mgp 15649  df-rng 15663  df-cring 15664  df-ur 15665  df-oppr 15728  df-dvdsr 15746  df-unit 15747  df-rnghom 15819  df-drng 15837  df-subrg 15866  df-staf 15933  df-srng 15934  df-lmod 15952  df-lmhm 16098  df-lvec 16175  df-sra 16244  df-rgmod 16245  df-cnfld 16704  df-phl 16857  df-nlm 18634  df-clm 19088  df-cph 19131
  Copyright terms: Public domain W3C validator