MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cphcjcl Structured version   Unicode version

Theorem cphcjcl 19146
Description: The scalar field of a complex pre-Hilbert space is closed under conjugation. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cphsca.f  |-  F  =  (Scalar `  W )
cphsca.k  |-  K  =  ( Base `  F
)
Assertion
Ref Expression
cphcjcl  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  A  e.  K )  ->  (
* `  A )  e.  K )

Proof of Theorem cphcjcl
StepHypRef Expression
1 cphsca.f . . . . . . 7  |-  F  =  (Scalar `  W )
2 cphsca.k . . . . . . 7  |-  K  =  ( Base `  F
)
31, 2cphsca 19142 . . . . . 6  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  F  =  (flds  K ) )
43fveq2d 5732 . . . . 5  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  ( * r `
 F )  =  ( * r `  (flds  K
) ) )
5 fvex 5742 . . . . . . 7  |-  ( Base `  F )  e.  _V
62, 5eqeltri 2506 . . . . . 6  |-  K  e. 
_V
7 eqid 2436 . . . . . . 7  |-  (flds  K )  =  (flds  K )
8 cnfldcj 16710 . . . . . . 7  |-  *  =  ( * r ` fld )
97, 8ressstarv 13583 . . . . . 6  |-  ( K  e.  _V  ->  *  =  ( * r `
 (flds  K ) ) )
106, 9ax-mp 8 . . . . 5  |-  *  =  ( * r `  (flds  K
) )
114, 10syl6eqr 2486 . . . 4  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  ( * r `
 F )  =  * )
1211adantr 452 . . 3  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  A  e.  K )  ->  (
* r `  F
)  =  * )
1312fveq1d 5730 . 2  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  A  e.  K )  ->  (
( * r `  F ) `  A
)  =  ( * `
 A ) )
14 cphphl 19134 . . . 4  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  W  e.  PreHil )
151phlsrng 16862 . . . 4  |-  ( W  e.  PreHil  ->  F  e.  *Ring )
1614, 15syl 16 . . 3  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  F  e.  *Ring )
17 eqid 2436 . . . 4  |-  ( * r `  F )  =  ( * r `
 F )
1817, 2srngcl 15943 . . 3  |-  ( ( F  e.  *Ring  /\  A  e.  K )  ->  (
( * r `  F ) `  A
)  e.  K )
1916, 18sylan 458 . 2  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  A  e.  K )  ->  (
( * r `  F ) `  A
)  e.  K )
2013, 19eqeltrrd 2511 1  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  A  e.  K )  ->  (
* `  A )  e.  K )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   _Vcvv 2956   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   *ccj 11901   Basecbs 13469   ↾s cress 13470   * rcstv 13531  Scalarcsca 13532   *Ringcsr 15932  ℂfldccnfld 16703   PreHilcphl 16855   CPreHilccph 19129
This theorem is referenced by:  cphabscl  19148
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-oadd 6728  df-er 6905  df-map 7020  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-5 10061  df-6 10062  df-7 10063  df-8 10064  df-9 10065  df-10 10066  df-n0 10222  df-z 10283  df-dec 10383  df-uz 10489  df-fz 11044  df-cj 11904  df-struct 13471  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-ress 13476  df-plusg 13542  df-mulr 13543  df-starv 13544  df-tset 13548  df-ple 13549  df-ds 13551  df-unif 13552  df-0g 13727  df-mhm 14738  df-ghm 15004  df-mgp 15649  df-rng 15663  df-ur 15665  df-rnghom 15819  df-staf 15933  df-srng 15934  df-cnfld 16704  df-phl 16857  df-cph 19131
  Copyright terms: Public domain W3C validator