MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cphclm Unicode version

Theorem cphclm 19016
Description: A complex pre-Hilbert space is a complex module. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
cphclm  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  W  e. CMod )

Proof of Theorem cphclm
StepHypRef Expression
1 cphlmod 19001 . 2  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  W  e.  LMod )
2 eqid 2380 . . 3  |-  (Scalar `  W )  =  (Scalar `  W )
3 eqid 2380 . . 3  |-  ( Base `  (Scalar `  W )
)  =  ( Base `  (Scalar `  W )
)
42, 3cphsca 19006 . 2  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  (Scalar `  W )  =  (flds  (
Base `  (Scalar `  W
) ) ) )
52, 3cphsubrg 19007 . 2  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  ( Base `  (Scalar `  W ) )  e.  (SubRing ` fld ) )
62, 3isclm 18953 . 2  |-  ( W  e. CMod 
<->  ( W  e.  LMod  /\  (Scalar `  W )  =  (flds  (
Base `  (Scalar `  W
) ) )  /\  ( Base `  (Scalar `  W
) )  e.  (SubRing ` fld ) ) )
71, 4, 5, 6syl3anbrc 1138 1  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  W  e. CMod )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1649    e. wcel 1717   ` cfv 5387  (class class class)co 6013   Basecbs 13389   ↾s cress 13390  Scalarcsca 13452  SubRingcsubrg 15784   LModclmod 15870  ℂfldccnfld 16619  CModcclm 18951   CPreHilccph 18993
This theorem is referenced by:  cphnmvs  19017  cphipcj  19026  cphorthcom  19027  cphip0l  19028  cphip0r  19029  cphipeq0  19030  cphdir  19031  cphdi  19032  cph2di  19033  cphsubdir  19034  cphsubdi  19035  cph2subdi  19036  cphass  19037  cphassr  19038  cph2ass  19039  nmparlem  19060  ipcn  19064  csscld  19067  clsocv  19068  minveclem2  19187  pjthlem2  19199
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-rep 4254  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337  ax-un 4634  ax-cnex 8972  ax-resscn 8973  ax-1cn 8974  ax-icn 8975  ax-addcl 8976  ax-addrcl 8977  ax-mulcl 8978  ax-mulrcl 8979  ax-mulcom 8980  ax-addass 8981  ax-mulass 8982  ax-distr 8983  ax-i2m1 8984  ax-1ne0 8985  ax-1rid 8986  ax-rnegex 8987  ax-rrecex 8988  ax-cnre 8989  ax-pre-lttri 8990  ax-pre-lttrn 8991  ax-pre-ltadd 8992  ax-pre-mulgt0 8993  ax-addf 8995  ax-mulf 8996
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-nel 2546  df-ral 2647  df-rex 2648  df-reu 2649  df-rmo 2650  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-csb 3188  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-pss 3272  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-tp 3758  df-op 3759  df-uni 3951  df-int 3986  df-iun 4030  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-tr 4237  df-eprel 4428  df-id 4432  df-po 4437  df-so 4438  df-fr 4475  df-we 4477  df-ord 4518  df-on 4519  df-lim 4520  df-suc 4521  df-om 4779  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fn 5390  df-f 5391  df-f1 5392  df-fo 5393  df-f1o 5394  df-fv 5395  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpt2 6018  df-1st 6281  df-2nd 6282  df-tpos 6408  df-riota 6478  df-recs 6562  df-rdg 6597  df-1o 6653  df-oadd 6657  df-er 6834  df-en 7039  df-dom 7040  df-sdom 7041  df-fin 7042  df-pnf 9048  df-mnf 9049  df-xr 9050  df-ltxr 9051  df-le 9052  df-sub 9218  df-neg 9219  df-div 9603  df-nn 9926  df-2 9983  df-3 9984  df-4 9985  df-5 9986  df-6 9987  df-7 9988  df-8 9989  df-9 9990  df-10 9991  df-n0 10147  df-z 10208  df-dec 10308  df-uz 10414  df-fz 10969  df-seq 11244  df-exp 11303  df-struct 13391  df-ndx 13392  df-slot 13393  df-base 13394  df-sets 13395  df-ress 13396  df-plusg 13462  df-mulr 13463  df-starv 13464  df-tset 13468  df-ple 13469  df-ds 13471  df-unif 13472  df-0g 13647  df-mnd 14610  df-grp 14732  df-subg 14861  df-cmn 15334  df-mgp 15569  df-rng 15583  df-cring 15584  df-ur 15585  df-oppr 15648  df-dvdsr 15666  df-unit 15667  df-drng 15757  df-subrg 15786  df-lvec 16095  df-cnfld 16620  df-phl 16773  df-nlm 18498  df-clm 18952  df-cph 18995
  Copyright terms: Public domain W3C validator