MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cphdi Structured version   Unicode version

Theorem cphdi 19199
Description: Distributive law for inner product. Complex version of ipdi 16902. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cphipcj.h  |-  .,  =  ( .i `  W )
cphipcj.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
cphdir.P  |-  .+  =  ( +g  `  W )
Assertion
Ref Expression
cphdi  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )
)  ->  ( A  .,  ( B  .+  C
) )  =  ( ( A  .,  B
)  +  ( A 
.,  C ) ) )

Proof of Theorem cphdi
StepHypRef Expression
1 cphphl 19165 . . 3  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  W  e.  PreHil )
2 eqid 2442 . . . 4  |-  (Scalar `  W )  =  (Scalar `  W )
3 cphipcj.h . . . 4  |-  .,  =  ( .i `  W )
4 cphipcj.v . . . 4  |-  V  =  ( Base `  W
)
5 cphdir.P . . . 4  |-  .+  =  ( +g  `  W )
6 eqid 2442 . . . 4  |-  ( +g  `  (Scalar `  W )
)  =  ( +g  `  (Scalar `  W )
)
72, 3, 4, 5, 6ipdi 16902 . . 3  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )
)  ->  ( A  .,  ( B  .+  C
) )  =  ( ( A  .,  B
) ( +g  `  (Scalar `  W ) ) ( A  .,  C ) ) )
81, 7sylan 459 . 2  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )
)  ->  ( A  .,  ( B  .+  C
) )  =  ( ( A  .,  B
) ( +g  `  (Scalar `  W ) ) ( A  .,  C ) ) )
9 cphclm 19183 . . . . 5  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  W  e. CMod )
102clmadd 19130 . . . . 5  |-  ( W  e. CMod  ->  +  =  ( +g  `  (Scalar `  W ) ) )
119, 10syl 16 . . . 4  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  +  =  ( +g  `  (Scalar `  W ) ) )
1211adantr 453 . . 3  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )
)  ->  +  =  ( +g  `  (Scalar `  W ) ) )
1312oveqd 6127 . 2  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )
)  ->  ( ( A  .,  B )  +  ( A  .,  C
) )  =  ( ( A  .,  B
) ( +g  `  (Scalar `  W ) ) ( A  .,  C ) ) )
148, 13eqtr4d 2477 1  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )
)  ->  ( A  .,  ( B  .+  C
) )  =  ( ( A  .,  B
)  +  ( A 
.,  C ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1727   ` cfv 5483  (class class class)co 6110    + caddc 9024   Basecbs 13500   +g cplusg 13560  Scalarcsca 13563   .icip 13565   PreHilcphl 16886  CModcclm 19118   CPreHilccph 19160
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1668  ax-8 1689  ax-13 1729  ax-14 1731  ax-6 1746  ax-7 1751  ax-11 1763  ax-12 1953  ax-ext 2423  ax-rep 4345  ax-sep 4355  ax-nul 4363  ax-pow 4406  ax-pr 4432  ax-un 4730  ax-cnex 9077  ax-resscn 9078  ax-1cn 9079  ax-icn 9080  ax-addcl 9081  ax-addrcl 9082  ax-mulcl 9083  ax-mulrcl 9084  ax-mulcom 9085  ax-addass 9086  ax-mulass 9087  ax-distr 9088  ax-i2m1 9089  ax-1ne0 9090  ax-1rid 9091  ax-rnegex 9092  ax-rrecex 9093  ax-cnre 9094  ax-pre-lttri 9095  ax-pre-lttrn 9096  ax-pre-ltadd 9097  ax-pre-mulgt0 9098  ax-addf 9100  ax-mulf 9101
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2291  df-mo 2292  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2716  df-rex 2717  df-reu 2718  df-rmo 2719  df-rab 2720  df-v 2964  df-sbc 3168  df-csb 3268  df-dif 3309  df-un 3311  df-in 3313  df-ss 3320  df-pss 3322  df-nul 3614  df-if 3764  df-pw 3825  df-sn 3844  df-pr 3845  df-tp 3846  df-op 3847  df-uni 4040  df-int 4075  df-iun 4119  df-br 4238  df-opab 4292  df-mpt 4293  df-tr 4328  df-eprel 4523  df-id 4527  df-po 4532  df-so 4533  df-fr 4570  df-we 4572  df-ord 4613  df-on 4614  df-lim 4615  df-suc 4616  df-om 4875  df-xp 4913  df-rel 4914  df-cnv 4915  df-co 4916  df-dm 4917  df-rn 4918  df-res 4919  df-ima 4920  df-iota 5447  df-fun 5485  df-fn 5486  df-f 5487  df-f1 5488  df-fo 5489  df-f1o 5490  df-fv 5491  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-tpos 6508  df-riota 6578  df-recs 6662  df-rdg 6697  df-1o 6753  df-oadd 6757  df-er 6934  df-map 7049  df-en 7139  df-dom 7140  df-sdom 7141  df-fin 7142  df-pnf 9153  df-mnf 9154  df-xr 9155  df-ltxr 9156  df-le 9157  df-sub 9324  df-neg 9325  df-div 9709  df-nn 10032  df-2 10089  df-3 10090  df-4 10091  df-5 10092  df-6 10093  df-7 10094  df-8 10095  df-9 10096  df-10 10097  df-n0 10253  df-z 10314  df-dec 10414  df-uz 10520  df-fz 11075  df-seq 11355  df-exp 11414  df-struct 13502  df-ndx 13503  df-slot 13504  df-base 13505  df-sets 13506  df-ress 13507  df-plusg 13573  df-mulr 13574  df-starv 13575  df-sca 13576  df-vsca 13577  df-tset 13579  df-ple 13580  df-ds 13582  df-unif 13583  df-0g 13758  df-mnd 14721  df-mhm 14769  df-grp 14843  df-subg 14972  df-ghm 15035  df-cmn 15445  df-mgp 15680  df-rng 15694  df-cring 15695  df-ur 15696  df-oppr 15759  df-dvdsr 15777  df-unit 15778  df-rnghom 15850  df-drng 15868  df-subrg 15897  df-staf 15964  df-srng 15965  df-lmod 15983  df-lmhm 16129  df-lvec 16206  df-sra 16275  df-rgmod 16276  df-cnfld 16735  df-phl 16888  df-nlm 18665  df-clm 19119  df-cph 19162
  Copyright terms: Public domain W3C validator