MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cphip0r Unicode version

Theorem cphip0r 19038
Description: Inner product with a zero second argument. Complex version of ip0r 16793. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cphipcj.h  |-  .,  =  ( .i `  W )
cphipcj.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
cphip0l.z  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
Assertion
Ref Expression
cphip0r  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  A  e.  V )  ->  ( A  .,  .0.  )  =  0 )

Proof of Theorem cphip0r
StepHypRef Expression
1 cphphl 19007 . . 3  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  W  e.  PreHil )
2 eqid 2389 . . . 4  |-  (Scalar `  W )  =  (Scalar `  W )
3 cphipcj.h . . . 4  |-  .,  =  ( .i `  W )
4 cphipcj.v . . . 4  |-  V  =  ( Base `  W
)
5 eqid 2389 . . . 4  |-  ( 0g
`  (Scalar `  W )
)  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
)
6 cphip0l.z . . . 4  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
72, 3, 4, 5, 6ip0r 16793 . . 3  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  A  e.  V )  ->  ( A  .,  .0.  )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) )
81, 7sylan 458 . 2  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  A  e.  V )  ->  ( A  .,  .0.  )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) )
9 cphclm 19025 . . . 4  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  W  e. CMod )
102clm0 18970 . . . 4  |-  ( W  e. CMod  ->  0  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) )
119, 10syl 16 . . 3  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  0  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) )
1211adantr 452 . 2  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  A  e.  V )  ->  0  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) )
138, 12eqtr4d 2424 1  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  A  e.  V )  ->  ( A  .,  .0.  )  =  0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   ` cfv 5396  (class class class)co 6022   0cc0 8925   Basecbs 13398  Scalarcsca 13461   .icip 13463   0gc0g 13652   PreHilcphl 16780  CModcclm 18960   CPreHilccph 19002
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-rep 4263  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346  ax-un 4643  ax-cnex 8981  ax-resscn 8982  ax-1cn 8983  ax-icn 8984  ax-addcl 8985  ax-addrcl 8986  ax-mulcl 8987  ax-mulrcl 8988  ax-mulcom 8989  ax-addass 8990  ax-mulass 8991  ax-distr 8992  ax-i2m1 8993  ax-1ne0 8994  ax-1rid 8995  ax-rnegex 8996  ax-rrecex 8997  ax-cnre 8998  ax-pre-lttri 8999  ax-pre-lttrn 9000  ax-pre-ltadd 9001  ax-pre-mulgt0 9002  ax-addf 9004  ax-mulf 9005
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-nel 2555  df-ral 2656  df-rex 2657  df-reu 2658  df-rmo 2659  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-csb 3197  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-pss 3281  df-nul 3574  df-if 3685  df-pw 3746  df-sn 3765  df-pr 3766  df-tp 3767  df-op 3768  df-uni 3960  df-int 3995  df-iun 4039  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-tr 4246  df-eprel 4437  df-id 4441  df-po 4446  df-so 4447  df-fr 4484  df-we 4486  df-ord 4527  df-on 4528  df-lim 4529  df-suc 4530  df-om 4788  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-res 4832  df-ima 4833  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fn 5399  df-f 5400  df-f1 5401  df-fo 5402  df-f1o 5403  df-fv 5404  df-ov 6025  df-oprab 6026  df-mpt2 6027  df-1st 6290  df-2nd 6291  df-tpos 6417  df-riota 6487  df-recs 6571  df-rdg 6606  df-1o 6662  df-oadd 6666  df-er 6843  df-map 6958  df-en 7048  df-dom 7049  df-sdom 7050  df-fin 7051  df-pnf 9057  df-mnf 9058  df-xr 9059  df-ltxr 9060  df-le 9061  df-sub 9227  df-neg 9228  df-div 9612  df-nn 9935  df-2 9992  df-3 9993  df-4 9994  df-5 9995  df-6 9996  df-7 9997  df-8 9998  df-9 9999  df-10 10000  df-n0 10156  df-z 10217  df-dec 10317  df-uz 10423  df-fz 10978  df-seq 11253  df-exp 11312  df-struct 13400  df-ndx 13401  df-slot 13402  df-base 13403  df-sets 13404  df-ress 13405  df-plusg 13471  df-mulr 13472  df-starv 13473  df-sca 13474  df-vsca 13475  df-tset 13477  df-ple 13478  df-ds 13480  df-unif 13481  df-0g 13656  df-mnd 14619  df-mhm 14667  df-grp 14741  df-subg 14870  df-ghm 14933  df-cmn 15343  df-mgp 15578  df-rng 15592  df-cring 15593  df-ur 15594  df-oppr 15657  df-dvdsr 15675  df-unit 15676  df-rnghom 15748  df-drng 15766  df-subrg 15795  df-staf 15862  df-srng 15863  df-lmod 15881  df-lmhm 16027  df-lvec 16104  df-sra 16173  df-rgmod 16174  df-cnfld 16629  df-phl 16782  df-nlm 18507  df-clm 18961  df-cph 19004
  Copyright terms: Public domain W3C validator