MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cphngp Unicode version

Theorem cphngp 18609
Description: A complex pre-Hilbert space is a normed group. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
cphngp  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  W  e. NrmGrp )

Proof of Theorem cphngp
StepHypRef Expression
1 cphnlm 18608 . 2  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  W  e. NrmMod )
2 nlmngp 18188 . 2  |-  ( W  e. NrmMod  ->  W  e. NrmGrp )
31, 2syl 15 1  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  W  e. NrmGrp )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1684  NrmGrpcngp 18100  NrmModcnlm 18103   CPreHilccph 18602
This theorem is referenced by:  cphnmf  18631  reipcl  18633  ipge0  18634  ipcn  18673  cnmpt1ip  18674  cnmpt2ip  18675  clsocv  18677  minveclem1  18788  minveclem2  18790  minveclem3b  18792  minveclem3  18793  minveclem4a  18794  minveclem4  18796  minveclem6  18798  minveclem7  18799  pjthlem1  18801
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-nul 4149
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-xp 4695  df-cnv 4697  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fv 5263  df-ov 5861  df-nlm 18109  df-cph 18604
  Copyright terms: Public domain W3C validator