MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cphngp Structured version   Unicode version

Theorem cphngp 19136
Description: A complex pre-Hilbert space is a normed group. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
cphngp  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  W  e. NrmGrp )

Proof of Theorem cphngp
StepHypRef Expression
1 cphnlm 19135 . 2  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  W  e. NrmMod )
2 nlmngp 18713 . 2  |-  ( W  e. NrmMod  ->  W  e. NrmGrp )
31, 2syl 16 1  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  W  e. NrmGrp )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1725  NrmGrpcngp 18625  NrmModcnlm 18628   CPreHilccph 19129
This theorem is referenced by:  cphnmf  19158  reipcl  19160  ipge0  19161  ipcn  19200  cnmpt1ip  19201  cnmpt2ip  19202  clsocv  19204  minveclem1  19325  minveclem2  19327  minveclem3b  19329  minveclem3  19330  minveclem4a  19331  minveclem4  19333  minveclem6  19335  minveclem7  19336  pjthlem1  19338
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-nul 4338
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-xp 4884  df-cnv 4886  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fv 5462  df-ov 6084  df-nlm 18634  df-cph 19131
  Copyright terms: Public domain W3C validator