MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cphnmf Structured version   Unicode version

Theorem cphnmf 19160
Description: The norm of a vector is a member of the scalar field in a complex pre-Hilbert space. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nmsq.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
nmsq.h  |-  .,  =  ( .i `  W )
nmsq.n  |-  N  =  ( norm `  W
)
cphnmcl.f  |-  F  =  (Scalar `  W )
cphnmcl.k  |-  K  =  ( Base `  F
)
Assertion
Ref Expression
cphnmf  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  N : V --> K )

Proof of Theorem cphnmf
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 445 . . . 4  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  x  e.  V )  ->  W  e.  CPreHil )
2 cphphl 19136 . . . . . 6  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  W  e.  PreHil )
32adantr 453 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  x  e.  V )  ->  W  e.  PreHil )
4 simpr 449 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  x  e.  V )  ->  x  e.  V )
5 cphnmcl.f . . . . . 6  |-  F  =  (Scalar `  W )
6 nmsq.h . . . . . 6  |-  .,  =  ( .i `  W )
7 nmsq.v . . . . . 6  |-  V  =  ( Base `  W
)
8 cphnmcl.k . . . . . 6  |-  K  =  ( Base `  F
)
95, 6, 7, 8ipcl 16866 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  x  e.  V  /\  x  e.  V )  ->  (
x  .,  x )  e.  K )
103, 4, 4, 9syl3anc 1185 . . . 4  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  x  e.  V )  ->  (
x  .,  x )  e.  K )
11 nmsq.n . . . . . 6  |-  N  =  ( norm `  W
)
127, 6, 11nmsq 19159 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  x  e.  V )  ->  (
( N `  x
) ^ 2 )  =  ( x  .,  x ) )
13 cphngp 19138 . . . . . . 7  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  W  e. NrmGrp )
147, 11nmcl 18664 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e. NrmGrp  /\  x  e.  V )  ->  ( N `  x )  e.  RR )
1513, 14sylan 459 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  x  e.  V )  ->  ( N `  x )  e.  RR )
1615resqcld 11551 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  x  e.  V )  ->  (
( N `  x
) ^ 2 )  e.  RR )
1712, 16eqeltrrd 2513 . . . 4  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  x  e.  V )  ->  (
x  .,  x )  e.  RR )
1815sqge0d 11552 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  x  e.  V )  ->  0  <_  ( ( N `  x ) ^ 2 ) )
1918, 12breqtrd 4238 . . . 4  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  x  e.  V )  ->  0  <_  ( x  .,  x
) )
205, 8cphsqrcl 19149 . . . 4  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  (
( x  .,  x
)  e.  K  /\  ( x  .,  x )  e.  RR  /\  0  <_  ( x  .,  x
) ) )  -> 
( sqr `  (
x  .,  x )
)  e.  K )
211, 10, 17, 19, 20syl13anc 1187 . . 3  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  x  e.  V )  ->  ( sqr `  ( x  .,  x ) )  e.  K )
22 eqid 2438 . . 3  |-  ( x  e.  V  |->  ( sqr `  ( x  .,  x
) ) )  =  ( x  e.  V  |->  ( sqr `  (
x  .,  x )
) )
2321, 22fmptd 5895 . 2  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  ( x  e.  V  |->  ( sqr `  (
x  .,  x )
) ) : V --> K )
247, 6, 11cphnmfval 19157 . . 3  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  N  =  ( x  e.  V  |->  ( sqr `  ( x 
.,  x ) ) ) )
2524feq1d 5582 . 2  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  ( N : V
--> K  <->  ( x  e.  V  |->  ( sqr `  (
x  .,  x )
) ) : V --> K ) )
2623, 25mpbird 225 1  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  N : V --> K )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   class class class wbr 4214    e. cmpt 4268   -->wf 5452   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   RRcr 8991   0cc0 8992    <_ cle 9123   2c2 10051   ^cexp 11384   sqrcsqr 12040   Basecbs 13471  Scalarcsca 13534   .icip 13536   PreHilcphl 16857   normcnm 18626  NrmGrpcngp 18627   CPreHilccph 19131
This theorem is referenced by:  cphnmcl  19161
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069  ax-pre-sup 9070  ax-addf 9071  ax-mulf 9072
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-tpos 6481  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-oadd 6730  df-er 6907  df-map 7022  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-sup 7448  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-4 10062  df-5 10063  df-6 10064  df-7 10065  df-8 10066  df-9 10067  df-10 10068  df-n0 10224  df-z 10285  df-dec 10385  df-uz 10491  df-q 10577  df-rp 10615  df-xneg 10712  df-xadd 10713  df-xmul 10714  df-ico 10924  df-fz 11046  df-seq 11326  df-exp 11385  df-cj 11906  df-re 11907  df-im 11908  df-sqr 12042  df-abs 12043  df-struct 13473  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-sets 13477  df-ress 13478  df-plusg 13544  df-mulr 13545  df-starv 13546  df-sca 13547  df-vsca 13548  df-tset 13550  df-ple 13551  df-ds 13553  df-unif 13554  df-topgen 13669  df-0g 13729  df-mnd 14692  df-grp 14814  df-subg 14943  df-ghm 15006  df-cmn 15416  df-mgp 15651  df-rng 15665  df-cring 15666  df-ur 15667  df-oppr 15730  df-dvdsr 15748  df-unit 15749  df-drng 15839  df-subrg 15868  df-lmhm 16100  df-lvec 16177  df-sra 16246  df-rgmod 16247  df-psmet 16696  df-xmet 16697  df-met 16698  df-bl 16699  df-mopn 16700  df-cnfld 16706  df-phl 16859  df-top 16965  df-bases 16967  df-topon 16968  df-topsp 16969  df-xms 18352  df-ms 18353  df-nm 18632  df-ngp 18633  df-nlm 18636  df-cph 19133
  Copyright terms: Public domain W3C validator