MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cphorthcom Structured version   Unicode version

Theorem cphorthcom 19164
Description: Orthogonality (meaning inner product is 0) is commutative. Complex version of iporthcom 16867. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cphipcj.h  |-  .,  =  ( .i `  W )
cphipcj.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
Assertion
Ref Expression
cphorthcom  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  A  e.  V  /\  B  e.  V )  ->  (
( A  .,  B
)  =  0  <->  ( B  .,  A )  =  0 ) )

Proof of Theorem cphorthcom
StepHypRef Expression
1 cphphl 19135 . . 3  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  W  e.  PreHil )
2 eqid 2437 . . . 4  |-  (Scalar `  W )  =  (Scalar `  W )
3 cphipcj.h . . . 4  |-  .,  =  ( .i `  W )
4 cphipcj.v . . . 4  |-  V  =  ( Base `  W
)
5 eqid 2437 . . . 4  |-  ( 0g
`  (Scalar `  W )
)  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
)
62, 3, 4, 5iporthcom 16867 . . 3  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  A  e.  V  /\  B  e.  V )  ->  (
( A  .,  B
)  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
)  <->  ( B  .,  A )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) ) )
71, 6syl3an1 1218 . 2  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  A  e.  V  /\  B  e.  V )  ->  (
( A  .,  B
)  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
)  <->  ( B  .,  A )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) ) )
8 cphclm 19153 . . . . 5  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  W  e. CMod )
92clm0 19098 . . . . 5  |-  ( W  e. CMod  ->  0  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) )
108, 9syl 16 . . . 4  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  0  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) )
11103ad2ant1 979 . . 3  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  A  e.  V  /\  B  e.  V )  ->  0  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) )
1211eqeq2d 2448 . 2  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  A  e.  V  /\  B  e.  V )  ->  (
( A  .,  B
)  =  0  <->  ( A  .,  B )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) ) )
1311eqeq2d 2448 . 2  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  A  e.  V  /\  B  e.  V )  ->  (
( B  .,  A
)  =  0  <->  ( B  .,  A )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) ) )
147, 12, 133bitr4d 278 1  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  A  e.  V  /\  B  e.  V )  ->  (
( A  .,  B
)  =  0  <->  ( B  .,  A )  =  0 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726   ` cfv 5455  (class class class)co 6082   0cc0 8991   Basecbs 13470  Scalarcsca 13533   .icip 13535   0gc0g 13724   PreHilcphl 16856  CModcclm 19088   CPreHilccph 19130
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-rep 4321  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702  ax-cnex 9047  ax-resscn 9048  ax-1cn 9049  ax-icn 9050  ax-addcl 9051  ax-addrcl 9052  ax-mulcl 9053  ax-mulrcl 9054  ax-mulcom 9055  ax-addass 9056  ax-mulass 9057  ax-distr 9058  ax-i2m1 9059  ax-1ne0 9060  ax-1rid 9061  ax-rnegex 9062  ax-rrecex 9063  ax-cnre 9064  ax-pre-lttri 9065  ax-pre-lttrn 9066  ax-pre-ltadd 9067  ax-pre-mulgt0 9068  ax-addf 9070  ax-mulf 9071
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2711  df-rex 2712  df-reu 2713  df-rmo 2714  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-pss 3337  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-tp 3823  df-op 3824  df-uni 4017  df-int 4052  df-iun 4096  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-tr 4304  df-eprel 4495  df-id 4499  df-po 4504  df-so 4505  df-fr 4542  df-we 4544  df-ord 4585  df-on 4586  df-lim 4587  df-suc 4588  df-om 4847  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-1st 6350  df-2nd 6351  df-tpos 6480  df-riota 6550  df-recs 6634  df-rdg 6669  df-1o 6725  df-oadd 6729  df-er 6906  df-map 7021  df-en 7111  df-dom 7112  df-sdom 7113  df-fin 7114  df-pnf 9123  df-mnf 9124  df-xr 9125  df-ltxr 9126  df-le 9127  df-sub 9294  df-neg 9295  df-div 9679  df-nn 10002  df-2 10059  df-3 10060  df-4 10061  df-5 10062  df-6 10063  df-7 10064  df-8 10065  df-9 10066  df-10 10067  df-n0 10223  df-z 10284  df-dec 10384  df-uz 10490  df-fz 11045  df-seq 11325  df-exp 11384  df-struct 13472  df-ndx 13473  df-slot 13474  df-base 13475  df-sets 13476  df-ress 13477  df-plusg 13543  df-mulr 13544  df-starv 13545  df-sca 13546  df-vsca 13547  df-tset 13549  df-ple 13550  df-ds 13552  df-unif 13553  df-0g 13728  df-mnd 14691  df-mhm 14739  df-grp 14813  df-subg 14942  df-ghm 15005  df-cmn 15415  df-mgp 15650  df-rng 15664  df-cring 15665  df-ur 15666  df-oppr 15729  df-dvdsr 15747  df-unit 15748  df-rnghom 15820  df-drng 15838  df-subrg 15867  df-staf 15934  df-srng 15935  df-lmod 15953  df-lmhm 16099  df-lvec 16176  df-sra 16245  df-rgmod 16246  df-cnfld 16705  df-phl 16858  df-nlm 18635  df-clm 19089  df-cph 19132
  Copyright terms: Public domain W3C validator