MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cphphl Unicode version

Theorem cphphl 18607
Description: A complex pre-Hilbert space is a pre-Hilbert space. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
cphphl  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  W  e.  PreHil )

Proof of Theorem cphphl
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2283 . . . 4  |-  ( Base `  W )  =  (
Base `  W )
2 eqid 2283 . . . 4  |-  ( .i
`  W )  =  ( .i `  W
)
3 eqid 2283 . . . 4  |-  ( norm `  W )  =  (
norm `  W )
4 eqid 2283 . . . 4  |-  (Scalar `  W )  =  (Scalar `  W )
5 eqid 2283 . . . 4  |-  ( Base `  (Scalar `  W )
)  =  ( Base `  (Scalar `  W )
)
61, 2, 3, 4, 5iscph 18606 . . 3  |-  ( W  e.  CPreHil 
<->  ( ( W  e. 
PreHil  /\  W  e. NrmMod  /\  (Scalar `  W )  =  (flds  ( Base `  (Scalar `  W )
) ) )  /\  ( sqr " ( (
Base `  (Scalar `  W
) )  i^i  (
0 [,)  +oo ) ) )  C_  ( Base `  (Scalar `  W )
)  /\  ( norm `  W )  =  ( x  e.  ( Base `  W )  |->  ( sqr `  ( x ( .i
`  W ) x ) ) ) ) )
76simp1bi 970 . 2  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  ( W  e. 
PreHil  /\  W  e. NrmMod  /\  (Scalar `  W )  =  (flds  ( Base `  (Scalar `  W )
) ) ) )
87simp1d 967 1  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  W  e.  PreHil )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684    i^i cin 3151    C_ wss 3152    e. cmpt 4077   "cima 4692   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   0cc0 8737    +oocpnf 8864   [,)cico 10658   sqrcsqr 11718   Basecbs 13148   ↾s cress 13149  Scalarcsca 13211   .icip 13213  ℂfldccnfld 16377   PreHilcphl 16528   normcnm 18099  NrmModcnlm 18103   CPreHilccph 18602
This theorem is referenced by:  cphlvec  18611  cphcjcl  18619  cphipcl  18627  cphnmf  18631  cphipcj  18635  cphorthcom  18636  cphip0l  18637  cphip0r  18638  cphipeq0  18639  cphdir  18640  cphdi  18641  cph2di  18642  cphsubdir  18643  cphsubdi  18644  cph2subdi  18645  cphass  18646  cphassr  18647  ipcau  18668  nmparlem  18669  ipcn  18673  hlphl  18782  pjthlem2  18802
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-nul 4149
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-xp 4695  df-cnv 4697  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fv 5263  df-ov 5861  df-cph 18604
  Copyright terms: Public domain W3C validator