MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cphsqrcl Unicode version

Theorem cphsqrcl 19108
Description: The scalar field of a complex pre-Hilbert space is closed under square roots of positive reals (i.e. it is quadratically closed relative to  RR). (Contributed by Mario Carneiro, 8-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cphsca.f  |-  F  =  (Scalar `  W )
cphsca.k  |-  K  =  ( Base `  F
)
Assertion
Ref Expression
cphsqrcl  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( A  e.  K  /\  A  e.  RR  /\  0  <_  A ) )  -> 
( sqr `  A
)  e.  K )

Proof of Theorem cphsqrcl
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 957 . . . 4  |-  ( ( A  e.  K  /\  A  e.  RR  /\  0  <_  A )  ->  A  e.  K )
2 elrege0 10971 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( 0 [,) 
+oo )  <->  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A ) )
32biimpri 198 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  ->  A  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
433adant1 975 . . . 4  |-  ( ( A  e.  K  /\  A  e.  RR  /\  0  <_  A )  ->  A  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
5 elin 3498 . . . 4  |-  ( A  e.  ( K  i^i  ( 0 [,)  +oo ) )  <->  ( A  e.  K  /\  A  e.  ( 0 [,)  +oo ) ) )
61, 4, 5sylanbrc 646 . . 3  |-  ( ( A  e.  K  /\  A  e.  RR  /\  0  <_  A )  ->  A  e.  ( K  i^i  (
0 [,)  +oo ) ) )
7 sqrf 12130 . . . . 5  |-  sqr : CC
--> CC
8 ffn 5558 . . . . 5  |-  ( sqr
: CC --> CC  ->  sqr 
Fn  CC )
97, 8ax-mp 8 . . . 4  |-  sqr  Fn  CC
10 inss2 3530 . . . . 5  |-  ( K  i^i  ( 0 [,) 
+oo ) )  C_  ( 0 [,)  +oo )
11 0re 9055 . . . . . . 7  |-  0  e.  RR
12 pnfxr 10677 . . . . . . 7  |-  +oo  e.  RR*
13 icossre 10955 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  +oo 
e.  RR* )  ->  (
0 [,)  +oo )  C_  RR )
1411, 12, 13mp2an 654 . . . . . 6  |-  ( 0 [,)  +oo )  C_  RR
15 ax-resscn 9011 . . . . . 6  |-  RR  C_  CC
1614, 15sstri 3325 . . . . 5  |-  ( 0 [,)  +oo )  C_  CC
1710, 16sstri 3325 . . . 4  |-  ( K  i^i  ( 0 [,) 
+oo ) )  C_  CC
18 fnfvima 5943 . . . 4  |-  ( ( sqr  Fn  CC  /\  ( K  i^i  (
0 [,)  +oo ) ) 
C_  CC  /\  A  e.  ( K  i^i  (
0 [,)  +oo ) ) )  ->  ( sqr `  A )  e.  ( sqr " ( K  i^i  ( 0 [,) 
+oo ) ) ) )
199, 17, 18mp3an12 1269 . . 3  |-  ( A  e.  ( K  i^i  ( 0 [,)  +oo ) )  ->  ( sqr `  A )  e.  ( sqr " ( K  i^i  ( 0 [,) 
+oo ) ) ) )
206, 19syl 16 . 2  |-  ( ( A  e.  K  /\  A  e.  RR  /\  0  <_  A )  ->  ( sqr `  A )  e.  ( sqr " ( K  i^i  ( 0 [,) 
+oo ) ) ) )
21 eqid 2412 . . . . 5  |-  ( Base `  W )  =  (
Base `  W )
22 eqid 2412 . . . . 5  |-  ( .i
`  W )  =  ( .i `  W
)
23 eqid 2412 . . . . 5  |-  ( norm `  W )  =  (
norm `  W )
24 cphsca.f . . . . 5  |-  F  =  (Scalar `  W )
25 cphsca.k . . . . 5  |-  K  =  ( Base `  F
)
2621, 22, 23, 24, 25iscph 19094 . . . 4  |-  ( W  e.  CPreHil 
<->  ( ( W  e. 
PreHil  /\  W  e. NrmMod  /\  F  =  (flds  K ) )  /\  ( sqr " ( K  i^i  ( 0 [,)  +oo ) ) )  C_  K  /\  ( norm `  W
)  =  ( x  e.  ( Base `  W
)  |->  ( sqr `  (
x ( .i `  W ) x ) ) ) ) )
2726simp2bi 973 . . 3  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  ( sqr " ( K  i^i  ( 0 [,) 
+oo ) ) ) 
C_  K )
2827sselda 3316 . 2  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( sqr `  A )  e.  ( sqr " ( K  i^i  ( 0 [,) 
+oo ) ) ) )  ->  ( sqr `  A )  e.  K
)
2920, 28sylan2 461 1  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( A  e.  K  /\  A  e.  RR  /\  0  <_  A ) )  -> 
( sqr `  A
)  e.  K )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721    i^i cin 3287    C_ wss 3288   class class class wbr 4180    e. cmpt 4234   "cima 4848    Fn wfn 5416   -->wf 5417   ` cfv 5421  (class class class)co 6048   CCcc 8952   RRcr 8953   0cc0 8954    +oocpnf 9081   RR*cxr 9083    <_ cle 9085   [,)cico 10882   sqrcsqr 12001   Basecbs 13432   ↾s cress 13433  Scalarcsca 13495   .icip 13497  ℂfldccnfld 16666   PreHilcphl 16818   normcnm 18585  NrmModcnlm 18589   CPreHilccph 19090
This theorem is referenced by:  cphabscl  19109  cphsqrcl2  19110  cphsqrcl3  19111  cphnmf  19119  ipcau  19156
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668  ax-cnex 9010  ax-resscn 9011  ax-1cn 9012  ax-icn 9013  ax-addcl 9014  ax-addrcl 9015  ax-mulcl 9016  ax-mulrcl 9017  ax-mulcom 9018  ax-addass 9019  ax-mulass 9020  ax-distr 9021  ax-i2m1 9022  ax-1ne0 9023  ax-1rid 9024  ax-rnegex 9025  ax-rrecex 9026  ax-cnre 9027  ax-pre-lttri 9028  ax-pre-lttrn 9029  ax-pre-ltadd 9030  ax-pre-mulgt0 9031  ax-pre-sup 9032
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-nel 2578  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rmo 2682  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-pss 3304  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-tp 3790  df-op 3791  df-uni 3984  df-iun 4063  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-tr 4271  df-eprel 4462  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-fr 4509  df-we 4511  df-ord 4552  df-on 4553  df-lim 4554  df-suc 4555  df-om 4813  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-2nd 6317  df-riota 6516  df-recs 6600  df-rdg 6635  df-er 6872  df-en 7077  df-dom 7078  df-sdom 7079  df-sup 7412  df-pnf 9086  df-mnf 9087  df-xr 9088  df-ltxr 9089  df-le 9090  df-sub 9257  df-neg 9258  df-div 9642  df-nn 9965  df-2 10022  df-3 10023  df-n0 10186  df-z 10247  df-uz 10453  df-rp 10577  df-ico 10886  df-seq 11287  df-exp 11346  df-cj 11867  df-re 11868  df-im 11869  df-sqr 12003  df-abs 12004  df-cph 19092
  Copyright terms: Public domain W3C validator