MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cphsqrcl Structured version   Unicode version

Theorem cphsqrcl 19178
Description: The scalar field of a complex pre-Hilbert space is closed under square roots of positive reals (i.e. it is quadratically closed relative to  RR). (Contributed by Mario Carneiro, 8-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cphsca.f  |-  F  =  (Scalar `  W )
cphsca.k  |-  K  =  ( Base `  F
)
Assertion
Ref Expression
cphsqrcl  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( A  e.  K  /\  A  e.  RR  /\  0  <_  A ) )  -> 
( sqr `  A
)  e.  K )

Proof of Theorem cphsqrcl
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 958 . . . 4  |-  ( ( A  e.  K  /\  A  e.  RR  /\  0  <_  A )  ->  A  e.  K )
2 elrege0 11038 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( 0 [,) 
+oo )  <->  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A ) )
32biimpri 199 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  ->  A  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
433adant1 976 . . . 4  |-  ( ( A  e.  K  /\  A  e.  RR  /\  0  <_  A )  ->  A  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
5 elin 3516 . . . 4  |-  ( A  e.  ( K  i^i  ( 0 [,)  +oo ) )  <->  ( A  e.  K  /\  A  e.  ( 0 [,)  +oo ) ) )
61, 4, 5sylanbrc 647 . . 3  |-  ( ( A  e.  K  /\  A  e.  RR  /\  0  <_  A )  ->  A  e.  ( K  i^i  (
0 [,)  +oo ) ) )
7 sqrf 12198 . . . . 5  |-  sqr : CC
--> CC
8 ffn 5620 . . . . 5  |-  ( sqr
: CC --> CC  ->  sqr 
Fn  CC )
97, 8ax-mp 5 . . . 4  |-  sqr  Fn  CC
10 inss2 3547 . . . . 5  |-  ( K  i^i  ( 0 [,) 
+oo ) )  C_  ( 0 [,)  +oo )
11 0re 9122 . . . . . . 7  |-  0  e.  RR
12 pnfxr 10744 . . . . . . 7  |-  +oo  e.  RR*
13 icossre 11022 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  +oo 
e.  RR* )  ->  (
0 [,)  +oo )  C_  RR )
1411, 12, 13mp2an 655 . . . . . 6  |-  ( 0 [,)  +oo )  C_  RR
15 ax-resscn 9078 . . . . . 6  |-  RR  C_  CC
1614, 15sstri 3343 . . . . 5  |-  ( 0 [,)  +oo )  C_  CC
1710, 16sstri 3343 . . . 4  |-  ( K  i^i  ( 0 [,) 
+oo ) )  C_  CC
18 fnfvima 6005 . . . 4  |-  ( ( sqr  Fn  CC  /\  ( K  i^i  (
0 [,)  +oo ) ) 
C_  CC  /\  A  e.  ( K  i^i  (
0 [,)  +oo ) ) )  ->  ( sqr `  A )  e.  ( sqr " ( K  i^i  ( 0 [,) 
+oo ) ) ) )
199, 17, 18mp3an12 1270 . . 3  |-  ( A  e.  ( K  i^i  ( 0 [,)  +oo ) )  ->  ( sqr `  A )  e.  ( sqr " ( K  i^i  ( 0 [,) 
+oo ) ) ) )
206, 19syl 16 . 2  |-  ( ( A  e.  K  /\  A  e.  RR  /\  0  <_  A )  ->  ( sqr `  A )  e.  ( sqr " ( K  i^i  ( 0 [,) 
+oo ) ) ) )
21 eqid 2442 . . . . 5  |-  ( Base `  W )  =  (
Base `  W )
22 eqid 2442 . . . . 5  |-  ( .i
`  W )  =  ( .i `  W
)
23 eqid 2442 . . . . 5  |-  ( norm `  W )  =  (
norm `  W )
24 cphsca.f . . . . 5  |-  F  =  (Scalar `  W )
25 cphsca.k . . . . 5  |-  K  =  ( Base `  F
)
2621, 22, 23, 24, 25iscph 19164 . . . 4  |-  ( W  e.  CPreHil 
<->  ( ( W  e. 
PreHil  /\  W  e. NrmMod  /\  F  =  (flds  K ) )  /\  ( sqr " ( K  i^i  ( 0 [,)  +oo ) ) )  C_  K  /\  ( norm `  W
)  =  ( x  e.  ( Base `  W
)  |->  ( sqr `  (
x ( .i `  W ) x ) ) ) ) )
2726simp2bi 974 . . 3  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  ( sqr " ( K  i^i  ( 0 [,) 
+oo ) ) ) 
C_  K )
2827sselda 3334 . 2  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( sqr `  A )  e.  ( sqr " ( K  i^i  ( 0 [,) 
+oo ) ) ) )  ->  ( sqr `  A )  e.  K
)
2920, 28sylan2 462 1  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( A  e.  K  /\  A  e.  RR  /\  0  <_  A ) )  -> 
( sqr `  A
)  e.  K )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1727    i^i cin 3305    C_ wss 3306   class class class wbr 4237    e. cmpt 4291   "cima 4910    Fn wfn 5478   -->wf 5479   ` cfv 5483  (class class class)co 6110   CCcc 9019   RRcr 9020   0cc0 9021    +oocpnf 9148   RR*cxr 9150    <_ cle 9152   [,)cico 10949   sqrcsqr 12069   Basecbs 13500   ↾s cress 13501  Scalarcsca 13563   .icip 13565  ℂfldccnfld 16734   PreHilcphl 16886   normcnm 18655  NrmModcnlm 18659   CPreHilccph 19160
This theorem is referenced by:  cphabscl  19179  cphsqrcl2  19180  cphsqrcl3  19181  cphnmf  19189  ipcau  19226
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1668  ax-8 1689  ax-13 1729  ax-14 1731  ax-6 1746  ax-7 1751  ax-11 1763  ax-12 1953  ax-ext 2423  ax-sep 4355  ax-nul 4363  ax-pow 4406  ax-pr 4432  ax-un 4730  ax-cnex 9077  ax-resscn 9078  ax-1cn 9079  ax-icn 9080  ax-addcl 9081  ax-addrcl 9082  ax-mulcl 9083  ax-mulrcl 9084  ax-mulcom 9085  ax-addass 9086  ax-mulass 9087  ax-distr 9088  ax-i2m1 9089  ax-1ne0 9090  ax-1rid 9091  ax-rnegex 9092  ax-rrecex 9093  ax-cnre 9094  ax-pre-lttri 9095  ax-pre-lttrn 9096  ax-pre-ltadd 9097  ax-pre-mulgt0 9098  ax-pre-sup 9099
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2291  df-mo 2292  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2716  df-rex 2717  df-reu 2718  df-rmo 2719  df-rab 2720  df-v 2964  df-sbc 3168  df-csb 3268  df-dif 3309  df-un 3311  df-in 3313  df-ss 3320  df-pss 3322  df-nul 3614  df-if 3764  df-pw 3825  df-sn 3844  df-pr 3845  df-tp 3846  df-op 3847  df-uni 4040  df-iun 4119  df-br 4238  df-opab 4292  df-mpt 4293  df-tr 4328  df-eprel 4523  df-id 4527  df-po 4532  df-so 4533  df-fr 4570  df-we 4572  df-ord 4613  df-on 4614  df-lim 4615  df-suc 4616  df-om 4875  df-xp 4913  df-rel 4914  df-cnv 4915  df-co 4916  df-dm 4917  df-rn 4918  df-res 4919  df-ima 4920  df-iota 5447  df-fun 5485  df-fn 5486  df-f 5487  df-f1 5488  df-fo 5489  df-f1o 5490  df-fv 5491  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-2nd 6379  df-riota 6578  df-recs 6662  df-rdg 6697  df-er 6934  df-en 7139  df-dom 7140  df-sdom 7141  df-sup 7475  df-pnf 9153  df-mnf 9154  df-xr 9155  df-ltxr 9156  df-le 9157  df-sub 9324  df-neg 9325  df-div 9709  df-nn 10032  df-2 10089  df-3 10090  df-n0 10253  df-z 10314  df-uz 10520  df-rp 10644  df-ico 10953  df-seq 11355  df-exp 11414  df-cj 11935  df-re 11936  df-im 11937  df-sqr 12071  df-abs 12072  df-cph 19162
  Copyright terms: Public domain W3C validator