Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cphsqrcl Structured version   Unicode version

Theorem cphsqrcl 19178
 Description: The scalar field of a complex pre-Hilbert space is closed under square roots of positive reals (i.e. it is quadratically closed relative to ). (Contributed by Mario Carneiro, 8-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cphsca.f Scalar
cphsca.k
Assertion
Ref Expression
cphsqrcl

Proof of Theorem cphsqrcl
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 958 . . . 4
2 elrege0 11038 . . . . . 6
32biimpri 199 . . . . 5
433adant1 976 . . . 4
5 elin 3516 . . . 4
61, 4, 5sylanbrc 647 . . 3
7 sqrf 12198 . . . . 5
8 ffn 5620 . . . . 5
97, 8ax-mp 5 . . . 4
10 inss2 3547 . . . . 5
11 0re 9122 . . . . . . 7
12 pnfxr 10744 . . . . . . 7
13 icossre 11022 . . . . . . 7
1411, 12, 13mp2an 655 . . . . . 6
15 ax-resscn 9078 . . . . . 6
1614, 15sstri 3343 . . . . 5
1710, 16sstri 3343 . . . 4
18 fnfvima 6005 . . . 4
199, 17, 18mp3an12 1270 . . 3
206, 19syl 16 . 2
21 eqid 2442 . . . . 5
22 eqid 2442 . . . . 5
23 eqid 2442 . . . . 5
24 cphsca.f . . . . 5 Scalar
25 cphsca.k . . . . 5
2621, 22, 23, 24, 25iscph 19164 . . . 4 NrmMod flds
2726simp2bi 974 . . 3
2827sselda 3334 . 2
2920, 28sylan2 462 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 360   w3a 937   wceq 1653   wcel 1727   cin 3305   wss 3306   class class class wbr 4237   cmpt 4291  cima 4910   wfn 5478  wf 5479  cfv 5483  (class class class)co 6110  cc 9019  cr 9020  cc0 9021   cpnf 9148  cxr 9150   cle 9152  cico 10949  csqr 12069  cbs 13500   ↾s cress 13501  Scalarcsca 13563  cip 13565  ℂfldccnfld 16734  cphl 16886  cnm 18655  NrmModcnlm 18659  ccph 19160 This theorem is referenced by:  cphabscl  19179  cphsqrcl2  19180  cphsqrcl3  19181  cphnmf  19189  ipcau  19226 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1668  ax-8 1689  ax-13 1729  ax-14 1731  ax-6 1746  ax-7 1751  ax-11 1763  ax-12 1953  ax-ext 2423  ax-sep 4355  ax-nul 4363  ax-pow 4406  ax-pr 4432  ax-un 4730  ax-cnex 9077  ax-resscn 9078  ax-1cn 9079  ax-icn 9080  ax-addcl 9081  ax-addrcl 9082  ax-mulcl 9083  ax-mulrcl 9084  ax-mulcom 9085  ax-addass 9086  ax-mulass 9087  ax-distr 9088  ax-i2m1 9089  ax-1ne0 9090  ax-1rid 9091  ax-rnegex 9092  ax-rrecex 9093  ax-cnre 9094  ax-pre-lttri 9095  ax-pre-lttrn 9096  ax-pre-ltadd 9097  ax-pre-mulgt0 9098  ax-pre-sup 9099 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2291  df-mo 2292  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2716  df-rex 2717  df-reu 2718  df-rmo 2719  df-rab 2720  df-v 2964  df-sbc 3168  df-csb 3268  df-dif 3309  df-un 3311  df-in 3313  df-ss 3320  df-pss 3322  df-nul 3614  df-if 3764  df-pw 3825  df-sn 3844  df-pr 3845  df-tp 3846  df-op 3847  df-uni 4040  df-iun 4119  df-br 4238  df-opab 4292  df-mpt 4293  df-tr 4328  df-eprel 4523  df-id 4527  df-po 4532  df-so 4533  df-fr 4570  df-we 4572  df-ord 4613  df-on 4614  df-lim 4615  df-suc 4616  df-om 4875  df-xp 4913  df-rel 4914  df-cnv 4915  df-co 4916  df-dm 4917  df-rn 4918  df-res 4919  df-ima 4920  df-iota 5447  df-fun 5485  df-fn 5486  df-f 5487  df-f1 5488  df-fo 5489  df-f1o 5490  df-fv 5491  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-2nd 6379  df-riota 6578  df-recs 6662  df-rdg 6697  df-er 6934  df-en 7139  df-dom 7140  df-sdom 7141  df-sup 7475  df-pnf 9153  df-mnf 9154  df-xr 9155  df-ltxr 9156  df-le 9157  df-sub 9324  df-neg 9325  df-div 9709  df-nn 10032  df-2 10089  df-3 10090  df-n0 10253  df-z 10314  df-uz 10520  df-rp 10644  df-ico 10953  df-seq 11355  df-exp 11414  df-cj 11935  df-re 11936  df-im 11937  df-sqr 12071  df-abs 12072  df-cph 19162
 Copyright terms: Public domain W3C validator