MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cphsqrcl Unicode version

Theorem cphsqrcl 18620
Description: The scalar field of a complex pre-Hilbert space is closed under square roots of positive reals (i.e. it is quadratically closed relative to  RR). (Contributed by Mario Carneiro, 8-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cphsca.f  |-  F  =  (Scalar `  W )
cphsca.k  |-  K  =  ( Base `  F
)
Assertion
Ref Expression
cphsqrcl  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( A  e.  K  /\  A  e.  RR  /\  0  <_  A ) )  -> 
( sqr `  A
)  e.  K )

Proof of Theorem cphsqrcl
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 955 . . . 4  |-  ( ( A  e.  K  /\  A  e.  RR  /\  0  <_  A )  ->  A  e.  K )
2 elrege0 10746 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( 0 [,) 
+oo )  <->  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A ) )
32biimpri 197 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  ->  A  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
433adant1 973 . . . 4  |-  ( ( A  e.  K  /\  A  e.  RR  /\  0  <_  A )  ->  A  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
5 elin 3358 . . . 4  |-  ( A  e.  ( K  i^i  ( 0 [,)  +oo ) )  <->  ( A  e.  K  /\  A  e.  ( 0 [,)  +oo ) ) )
61, 4, 5sylanbrc 645 . . 3  |-  ( ( A  e.  K  /\  A  e.  RR  /\  0  <_  A )  ->  A  e.  ( K  i^i  (
0 [,)  +oo ) ) )
7 sqrf 11847 . . . . 5  |-  sqr : CC
--> CC
8 ffn 5389 . . . . 5  |-  ( sqr
: CC --> CC  ->  sqr 
Fn  CC )
97, 8ax-mp 8 . . . 4  |-  sqr  Fn  CC
10 inss2 3390 . . . . 5  |-  ( K  i^i  ( 0 [,) 
+oo ) )  C_  ( 0 [,)  +oo )
11 0re 8838 . . . . . . 7  |-  0  e.  RR
12 pnfxr 10455 . . . . . . 7  |-  +oo  e.  RR*
13 icossre 10730 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  +oo 
e.  RR* )  ->  (
0 [,)  +oo )  C_  RR )
1411, 12, 13mp2an 653 . . . . . 6  |-  ( 0 [,)  +oo )  C_  RR
15 ax-resscn 8794 . . . . . 6  |-  RR  C_  CC
1614, 15sstri 3188 . . . . 5  |-  ( 0 [,)  +oo )  C_  CC
1710, 16sstri 3188 . . . 4  |-  ( K  i^i  ( 0 [,) 
+oo ) )  C_  CC
18 fnfvima 5756 . . . 4  |-  ( ( sqr  Fn  CC  /\  ( K  i^i  (
0 [,)  +oo ) ) 
C_  CC  /\  A  e.  ( K  i^i  (
0 [,)  +oo ) ) )  ->  ( sqr `  A )  e.  ( sqr " ( K  i^i  ( 0 [,) 
+oo ) ) ) )
199, 17, 18mp3an12 1267 . . 3  |-  ( A  e.  ( K  i^i  ( 0 [,)  +oo ) )  ->  ( sqr `  A )  e.  ( sqr " ( K  i^i  ( 0 [,) 
+oo ) ) ) )
206, 19syl 15 . 2  |-  ( ( A  e.  K  /\  A  e.  RR  /\  0  <_  A )  ->  ( sqr `  A )  e.  ( sqr " ( K  i^i  ( 0 [,) 
+oo ) ) ) )
21 eqid 2283 . . . . 5  |-  ( Base `  W )  =  (
Base `  W )
22 eqid 2283 . . . . 5  |-  ( .i
`  W )  =  ( .i `  W
)
23 eqid 2283 . . . . 5  |-  ( norm `  W )  =  (
norm `  W )
24 cphsca.f . . . . 5  |-  F  =  (Scalar `  W )
25 cphsca.k . . . . 5  |-  K  =  ( Base `  F
)
2621, 22, 23, 24, 25iscph 18606 . . . 4  |-  ( W  e.  CPreHil 
<->  ( ( W  e. 
PreHil  /\  W  e. NrmMod  /\  F  =  (flds  K ) )  /\  ( sqr " ( K  i^i  ( 0 [,)  +oo ) ) )  C_  K  /\  ( norm `  W
)  =  ( x  e.  ( Base `  W
)  |->  ( sqr `  (
x ( .i `  W ) x ) ) ) ) )
2726simp2bi 971 . . 3  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  ( sqr " ( K  i^i  ( 0 [,) 
+oo ) ) ) 
C_  K )
2827sselda 3180 . 2  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( sqr `  A )  e.  ( sqr " ( K  i^i  ( 0 [,) 
+oo ) ) ) )  ->  ( sqr `  A )  e.  K
)
2920, 28sylan2 460 1  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( A  e.  K  /\  A  e.  RR  /\  0  <_  A ) )  -> 
( sqr `  A
)  e.  K )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684    i^i cin 3151    C_ wss 3152   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   "cima 4692    Fn wfn 5250   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737    +oocpnf 8864   RR*cxr 8866    <_ cle 8868   [,)cico 10658   sqrcsqr 11718   Basecbs 13148   ↾s cress 13149  Scalarcsca 13211   .icip 13213  ℂfldccnfld 16377   PreHilcphl 16528   normcnm 18099  NrmModcnlm 18103   CPreHilccph 18602
This theorem is referenced by:  cphabscl  18621  cphsqrcl2  18622  cphsqrcl3  18623  cphnmf  18631  ipcau  18668
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-rp 10355  df-ico 10662  df-seq 11047  df-exp 11105  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-cph 18604
  Copyright terms: Public domain W3C validator