Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cphsqrcl2 Unicode version

Theorem cphsqrcl2 18638
 Description: The scalar field of a complex pre-Hilbert space is closed under square roots of all numbers except possibly the negative reals. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cphsca.f Scalar
cphsca.k
Assertion
Ref Expression
cphsqrcl2

Proof of Theorem cphsqrcl2
StepHypRef Expression
1 sqr0 11743 . . . . 5
2 fveq2 5541 . . . . 5
3 id 19 . . . . 5
41, 2, 33eqtr4a 2354 . . . 4
6 simpl2 959 . . 3
75, 6eqeltrd 2370 . 2
8 simpl1 958 . . . . . . 7
9 cphsca.f . . . . . . . 8 Scalar
10 cphsca.k . . . . . . . 8
119, 10cphsubrg 18632 . . . . . . 7 SubRingfld
128, 11syl 15 . . . . . 6 SubRingfld
13 cnfldbas 16399 . . . . . . 7 fld
1413subrgss 15562 . . . . . 6 SubRingfld
1512, 14syl 15 . . . . 5
16 simpl2 959 . . . . . . . 8
179, 10cphabscl 18637 . . . . . . . 8
188, 16, 17syl2anc 642 . . . . . . 7
1915, 16sseldd 3194 . . . . . . . 8
2019abscld 11934 . . . . . . 7
2119absge0d 11942 . . . . . . 7
229, 10cphsqrcl 18636 . . . . . . 7
238, 18, 20, 21, 22syl13anc 1184 . . . . . 6
24 cnfldadd 16400 . . . . . . . . 9 fld
2524subrgacl 15572 . . . . . . . 8 SubRingfld
2612, 18, 16, 25syl3anc 1182 . . . . . . 7
279, 10cphabscl 18637 . . . . . . . 8
288, 26, 27syl2anc 642 . . . . . . 7
2915, 26sseldd 3194 . . . . . . . 8
30 simpl3 960 . . . . . . . . 9
3120recnd 8877 . . . . . . . . . . . . . 14
3231, 19subnegd 9180 . . . . . . . . . . . . 13
3332eqeq1d 2304 . . . . . . . . . . . 12
3419negcld 9160 . . . . . . . . . . . . 13
35 subeq0 9089 . . . . . . . . . . . . 13
3631, 34, 35syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12
3733, 36bitr3d 246 . . . . . . . . . . 11
38 absrpcl 11789 . . . . . . . . . . . . 13
3919, 38sylancom 648 . . . . . . . . . . . 12
40 eleq1 2356 . . . . . . . . . . . 12
4139, 40syl5ibcom 211 . . . . . . . . . . 11
4237, 41sylbid 206 . . . . . . . . . 10
4342necon3bd 2496 . . . . . . . . 9
4430, 43mpd 14 . . . . . . . 8
4529, 44absne0d 11945 . . . . . . 7
469, 10cphdivcl 18634 . . . . . . 7
478, 26, 28, 45, 46syl13anc 1184 . . . . . 6
48 cnfldmul 16401 . . . . . . 7 fld
4948subrgmcl 15573 . . . . . 6 SubRingfld
5012, 23, 47, 49syl3anc 1182 . . . . 5
5115, 50sseldd 3194 . . . 4
52 eqid 2296 . . . . . . 7
5352sqreulem 11859 . . . . . 6
5419, 44, 53syl2anc 642 . . . . 5
5554simp1d 967 . . . 4
5654simp2d 968 . . . 4
5754simp3d 969 . . . . 5
58 df-nel 2462 . . . . 5
5957, 58sylib 188 . . . 4
6051, 19, 55, 56, 59eqsqrd 11867 . . 3
6160, 50eqeltrrd 2371 . 2
627, 61pm2.61dane 2537 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 176   wa 358   w3a 934   wceq 1632   wcel 1696   wne 2459   wnel 2460   wss 3165   class class class wbr 4039  cfv 5271  (class class class)co 5874  cc 8751  cr 8752  cc0 8753  ci 8755   caddc 8756   cmul 8758   cle 8884   cmin 9053  cneg 9054   cdiv 9439  c2 9811  crp 10370  cexp 11120  cre 11598  csqr 11734  cabs 11735  cbs 13164  Scalarcsca 13227  SubRingcsubrg 15557  ℂfldccnfld 16393  ccph 18618 This theorem is referenced by:  cphsqrcl3  18639 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-addf 8832  ax-mulf 8833 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-tpos 6250  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-rp 10371  df-ico 10678  df-fz 10799  df-seq 11063  df-exp 11121  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-starv 13239  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-0g 13420  df-mnd 14383  df-mhm 14431  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-subg 14634  df-ghm 14697  df-cmn 15107  df-mgp 15342  df-rng 15356  df-cring 15357  df-ur 15358  df-oppr 15421  df-dvdsr 15439  df-unit 15440  df-invr 15470  df-dvr 15481  df-rnghom 15512  df-drng 15530  df-subrg 15559  df-staf 15626  df-srng 15627  df-lvec 15872  df-cnfld 16394  df-phl 16546  df-cph 18620
 Copyright terms: Public domain W3C validator