Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cphsqrcl2 Structured version   Unicode version

Theorem cphsqrcl2 19141
 Description: The scalar field of a complex pre-Hilbert space is closed under square roots of all numbers except possibly the negative reals. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cphsca.f Scalar
cphsca.k
Assertion
Ref Expression
cphsqrcl2

Proof of Theorem cphsqrcl2
StepHypRef Expression
1 sqr0 12039 . . . . 5
2 fveq2 5720 . . . . 5
3 id 20 . . . . 5
41, 2, 33eqtr4a 2493 . . . 4
6 simpl2 961 . . 3
75, 6eqeltrd 2509 . 2
8 simpl1 960 . . . . . . 7
9 cphsca.f . . . . . . . 8 Scalar
10 cphsca.k . . . . . . . 8
119, 10cphsubrg 19135 . . . . . . 7 SubRingfld
128, 11syl 16 . . . . . 6 SubRingfld
13 cnfldbas 16699 . . . . . . 7 fld
1413subrgss 15861 . . . . . 6 SubRingfld
1512, 14syl 16 . . . . 5
16 simpl2 961 . . . . . . . 8
179, 10cphabscl 19140 . . . . . . . 8
188, 16, 17syl2anc 643 . . . . . . 7
1915, 16sseldd 3341 . . . . . . . 8
2019abscld 12230 . . . . . . 7
2119absge0d 12238 . . . . . . 7
229, 10cphsqrcl 19139 . . . . . . 7
238, 18, 20, 21, 22syl13anc 1186 . . . . . 6
24 cnfldadd 16700 . . . . . . . . 9 fld
2524subrgacl 15871 . . . . . . . 8 SubRingfld
2612, 18, 16, 25syl3anc 1184 . . . . . . 7
279, 10cphabscl 19140 . . . . . . . 8
288, 26, 27syl2anc 643 . . . . . . 7
2915, 26sseldd 3341 . . . . . . . 8
30 simpl3 962 . . . . . . . . 9
3120recnd 9106 . . . . . . . . . . . . . 14
3231, 19subnegd 9410 . . . . . . . . . . . . 13
3332eqeq1d 2443 . . . . . . . . . . . 12
3419negcld 9390 . . . . . . . . . . . . 13
3531, 34subeq0ad 9413 . . . . . . . . . . . 12
3633, 35bitr3d 247 . . . . . . . . . . 11
37 absrpcl 12085 . . . . . . . . . . . . 13
3819, 37sylancom 649 . . . . . . . . . . . 12
39 eleq1 2495 . . . . . . . . . . . 12
4038, 39syl5ibcom 212 . . . . . . . . . . 11
4136, 40sylbid 207 . . . . . . . . . 10
4241necon3bd 2635 . . . . . . . . 9
4330, 42mpd 15 . . . . . . . 8
4429, 43absne0d 12241 . . . . . . 7
459, 10cphdivcl 19137 . . . . . . 7
468, 26, 28, 44, 45syl13anc 1186 . . . . . 6
47 cnfldmul 16701 . . . . . . 7 fld
4847subrgmcl 15872 . . . . . 6 SubRingfld
4912, 23, 46, 48syl3anc 1184 . . . . 5
5015, 49sseldd 3341 . . . 4
51 eqid 2435 . . . . . . 7
5251sqreulem 12155 . . . . . 6
5319, 43, 52syl2anc 643 . . . . 5
5453simp1d 969 . . . 4
5553simp2d 970 . . . 4
5653simp3d 971 . . . . 5
57 df-nel 2601 . . . . 5
5856, 57sylib 189 . . . 4
5950, 19, 54, 55, 58eqsqrd 12163 . . 3
6059, 49eqeltrrd 2510 . 2
617, 60pm2.61dane 2676 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 359   w3a 936   wceq 1652   wcel 1725   wne 2598   wnel 2599   wss 3312   class class class wbr 4204  cfv 5446  (class class class)co 6073  cc 8980  cr 8981  cc0 8982  ci 8984   caddc 8985   cmul 8987   cle 9113   cmin 9283  cneg 9284   cdiv 9669  c2 10041  crp 10604  cexp 11374  cre 11894  csqr 12030  cabs 12031  cbs 13461  Scalarcsca 13524  SubRingcsubrg 15856  ℂfldccnfld 16695  ccph 19121 This theorem is referenced by:  cphsqrcl3  19142 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060  ax-addf 9061  ax-mulf 9062 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-tpos 6471  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-sup 7438  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-7 10055  df-8 10056  df-9 10057  df-10 10058  df-n0 10214  df-z 10275  df-dec 10375  df-uz 10481  df-rp 10605  df-ico 10914  df-fz 11036  df-seq 11316  df-exp 11375  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-sqr 12032  df-abs 12033  df-struct 13463  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-ress 13468  df-plusg 13534  df-mulr 13535  df-starv 13536  df-tset 13540  df-ple 13541  df-ds 13543  df-unif 13544  df-0g 13719  df-mnd 14682  df-mhm 14730  df-grp 14804  df-minusg 14805  df-subg 14933  df-ghm 14996  df-cmn 15406  df-mgp 15641  df-rng 15655  df-cring 15656  df-ur 15657  df-oppr 15720  df-dvdsr 15738  df-unit 15739  df-invr 15769  df-dvr 15780  df-rnghom 15811  df-drng 15829  df-subrg 15858  df-staf 15925  df-srng 15926  df-lvec 16167  df-cnfld 16696  df-phl 16849  df-cph 19123
 Copyright terms: Public domain W3C validator