MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cphsubdir Unicode version

Theorem cphsubdir 18747
Description: Distributive law for inner product subtraction. Complex version of ipsubdir 16652. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cphipcj.h  |-  .,  =  ( .i `  W )
cphipcj.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
cphsubdir.m  |-  .-  =  ( -g `  W )
Assertion
Ref Expression
cphsubdir  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )
)  ->  ( ( A  .-  B )  .,  C )  =  ( ( A  .,  C
)  -  ( B 
.,  C ) ) )

Proof of Theorem cphsubdir
StepHypRef Expression
1 cphphl 18711 . . 3  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  W  e.  PreHil )
2 eqid 2358 . . . 4  |-  (Scalar `  W )  =  (Scalar `  W )
3 cphipcj.h . . . 4  |-  .,  =  ( .i `  W )
4 cphipcj.v . . . 4  |-  V  =  ( Base `  W
)
5 cphsubdir.m . . . 4  |-  .-  =  ( -g `  W )
6 eqid 2358 . . . 4  |-  ( -g `  (Scalar `  W )
)  =  ( -g `  (Scalar `  W )
)
72, 3, 4, 5, 6ipsubdir 16652 . . 3  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )
)  ->  ( ( A  .-  B )  .,  C )  =  ( ( A  .,  C
) ( -g `  (Scalar `  W ) ) ( B  .,  C ) ) )
81, 7sylan 457 . 2  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )
)  ->  ( ( A  .-  B )  .,  C )  =  ( ( A  .,  C
) ( -g `  (Scalar `  W ) ) ( B  .,  C ) ) )
9 cphclm 18729 . . . 4  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  W  e. CMod )
109adantr 451 . . 3  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )
)  ->  W  e. CMod )
111adantr 451 . . . 4  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )
)  ->  W  e.  PreHil )
12 simpr1 961 . . . 4  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )
)  ->  A  e.  V )
13 simpr3 963 . . . 4  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )
)  ->  C  e.  V )
14 eqid 2358 . . . . 5  |-  ( Base `  (Scalar `  W )
)  =  ( Base `  (Scalar `  W )
)
152, 3, 4, 14ipcl 16643 . . . 4  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  A  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  ( A  .,  C )  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) ) )
1611, 12, 13, 15syl3anc 1182 . . 3  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )
)  ->  ( A  .,  C )  e.  (
Base `  (Scalar `  W
) ) )
17 simpr2 962 . . . 4  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )
)  ->  B  e.  V )
182, 3, 4, 14ipcl 16643 . . . 4  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  ( B  .,  C )  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) ) )
1911, 17, 13, 18syl3anc 1182 . . 3  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )
)  ->  ( B  .,  C )  e.  (
Base `  (Scalar `  W
) ) )
202, 14clmsub 18682 . . 3  |-  ( ( W  e. CMod  /\  ( A  .,  C )  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) )  /\  ( B  .,  C )  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) ) )  ->  ( ( A 
.,  C )  -  ( B  .,  C ) )  =  ( ( A  .,  C ) ( -g `  (Scalar `  W ) ) ( B  .,  C ) ) )
2110, 16, 19, 20syl3anc 1182 . 2  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )
)  ->  ( ( A  .,  C )  -  ( B  .,  C ) )  =  ( ( A  .,  C ) ( -g `  (Scalar `  W ) ) ( B  .,  C ) ) )
228, 21eqtr4d 2393 1  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )
)  ->  ( ( A  .-  B )  .,  C )  =  ( ( A  .,  C
)  -  ( B 
.,  C ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1642    e. wcel 1710   ` cfv 5337  (class class class)co 5945    - cmin 9127   Basecbs 13245  Scalarcsca 13308   .icip 13310   -gcsg 14464   PreHilcphl 16634  CModcclm 18664   CPreHilccph 18706
This theorem is referenced by:  ipcnlem2  18775  pjthlem1  18905
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-rep 4212  ax-sep 4222  ax-nul 4230  ax-pow 4269  ax-pr 4295  ax-un 4594  ax-cnex 8883  ax-resscn 8884  ax-1cn 8885  ax-icn 8886  ax-addcl 8887  ax-addrcl 8888  ax-mulcl 8889  ax-mulrcl 8890  ax-mulcom 8891  ax-addass 8892  ax-mulass 8893  ax-distr 8894  ax-i2m1 8895  ax-1ne0 8896  ax-1rid 8897  ax-rnegex 8898  ax-rrecex 8899  ax-cnre 8900  ax-pre-lttri 8901  ax-pre-lttrn 8902  ax-pre-ltadd 8903  ax-pre-mulgt0 8904  ax-addf 8906  ax-mulf 8907
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rmo 2627  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3909  df-int 3944  df-iun 3988  df-br 4105  df-opab 4159  df-mpt 4160  df-tr 4195  df-eprel 4387  df-id 4391  df-po 4396  df-so 4397  df-fr 4434  df-we 4436  df-ord 4477  df-on 4478  df-lim 4479  df-suc 4480  df-om 4739  df-xp 4777  df-rel 4778  df-cnv 4779  df-co 4780  df-dm 4781  df-rn 4782  df-res 4783  df-ima 4784  df-iota 5301  df-fun 5339  df-fn 5340  df-f 5341  df-f1 5342  df-fo 5343  df-f1o 5344  df-fv 5345  df-ov 5948  df-oprab 5949  df-mpt2 5950  df-1st 6209  df-2nd 6210  df-tpos 6321  df-riota 6391  df-recs 6475  df-rdg 6510  df-1o 6566  df-oadd 6570  df-er 6747  df-en 6952  df-dom 6953  df-sdom 6954  df-fin 6955  df-pnf 8959  df-mnf 8960  df-xr 8961  df-ltxr 8962  df-le 8963  df-sub 9129  df-neg 9130  df-div 9514  df-nn 9837  df-2 9894  df-3 9895  df-4 9896  df-5 9897  df-6 9898  df-7 9899  df-8 9900  df-9 9901  df-10 9902  df-n0 10058  df-z 10117  df-dec 10217  df-uz 10323  df-fz 10875  df-seq 11139  df-exp 11198  df-struct 13247  df-ndx 13248  df-slot 13249  df-base 13250  df-sets 13251  df-ress 13252  df-plusg 13318  df-mulr 13319  df-starv 13320  df-sca 13321  df-vsca 13322  df-tset 13324  df-ple 13325  df-ds 13327  df-unif 13328  df-0g 13503  df-mnd 14466  df-grp 14588  df-minusg 14589  df-sbg 14590  df-subg 14717  df-ghm 14780  df-cmn 15190  df-mgp 15425  df-rng 15439  df-cring 15440  df-ur 15441  df-oppr 15504  df-dvdsr 15522  df-unit 15523  df-drng 15613  df-subrg 15642  df-lmod 15728  df-lmhm 15878  df-lvec 15955  df-sra 16024  df-rgmod 16025  df-cnfld 16483  df-phl 16636  df-nlm 18211  df-clm 18665  df-cph 18708
  Copyright terms: Public domain W3C validator