Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cphsubrglem Structured version   Unicode version

Theorem cphsubrglem 19132
 Description: Lemma for cphsubrg 19135. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cphsubrglem.k
cphsubrglem.1 flds
cphsubrglem.2
Assertion
Ref Expression
cphsubrglem flds SubRingfld

Proof of Theorem cphsubrglem
StepHypRef Expression
1 cphsubrglem.1 . . 3 flds
2 cphsubrglem.k . . . . . 6
31fveq2d 5724 . . . . . . 7 flds
4 cphsubrglem.2 . . . . . . . . . . . 12
5 drngrng 15834 . . . . . . . . . . . 12
64, 5syl 16 . . . . . . . . . . 11
71, 6eqeltrrd 2510 . . . . . . . . . 10 flds
8 eqid 2435 . . . . . . . . . . 11 flds flds
9 eqid 2435 . . . . . . . . . . 11 flds flds
108, 9rng0cl 15677 . . . . . . . . . 10 flds flds flds
11 reldmress 13507 . . . . . . . . . . 11 s
12 eqid 2435 . . . . . . . . . . 11 flds flds
1311, 12, 8elbasov 13505 . . . . . . . . . 10 flds flds fld
147, 10, 133syl 19 . . . . . . . . 9 fld
1514simprd 450 . . . . . . . 8
16 cnfldbas 16699 . . . . . . . . 9 fld
1712, 16ressbas 13511 . . . . . . . 8 flds
1815, 17syl 16 . . . . . . 7 flds
193, 18eqtr4d 2470 . . . . . 6
202, 19syl5eq 2479 . . . . 5
2120oveq2d 6089 . . . 4 flds flds
2216ressinbas 13517 . . . . 5 flds flds
2315, 22syl 16 . . . 4 flds flds
2421, 23eqtr4d 2470 . . 3 flds flds
251, 24eqtr4d 2470 . 2 flds
2625, 6eqeltrrd 2510 . . . 4 flds
27 cnrng 16715 . . . 4 fld
2826, 27jctil 524 . . 3 fld flds
2912, 16ressbasss 13513 . . . . . 6 flds
303, 29syl6eqss 3390 . . . . 5
312, 30syl5eqss 3384 . . . 4
32 eqid 2435 . . . . . . . . . 10
33 eqid 2435 . . . . . . . . . 10
3432, 33drngunz 15842 . . . . . . . . 9
354, 34syl 16 . . . . . . . 8
3625fveq2d 5724 . . . . . . . . 9 flds
37 rnggrp 15661 . . . . . . . . . . . 12 fld fld
3827, 37mp1i 12 . . . . . . . . . . 11 fld
39 rnggrp 15661 . . . . . . . . . . . 12 flds flds
4026, 39syl 16 . . . . . . . . . . 11 flds
4116issubg 14936 . . . . . . . . . . 11 SubGrpfld fld flds
4238, 31, 40, 41syl3anbrc 1138 . . . . . . . . . 10 SubGrpfld
43 eqid 2435 . . . . . . . . . . 11 flds flds
44 cnfld0 16717 . . . . . . . . . . 11 fld
4543, 44subg0 14942 . . . . . . . . . 10 SubGrpfld flds
4642, 45syl 16 . . . . . . . . 9 flds
4736, 46eqtr4d 2470 . . . . . . . 8
4835, 47neeqtrd 2620 . . . . . . 7
4948neneqd 2614 . . . . . 6
502, 33rngidcl 15676 . . . . . . . . . . . 12
516, 50syl 16 . . . . . . . . . . 11
5231, 51sseldd 3341 . . . . . . . . . 10
5352sqvald 11512 . . . . . . . . 9
5425fveq2d 5724 . . . . . . . . . 10 flds
5554oveq1d 6088 . . . . . . . . 9 flds
5625fveq2d 5724 . . . . . . . . . . . 12 flds
572, 56syl5eq 2479 . . . . . . . . . . 11 flds
5851, 57eleqtrd 2511 . . . . . . . . . 10 flds
59 eqid 2435 . . . . . . . . . . 11 flds flds
60 fvex 5734 . . . . . . . . . . . . 13
612, 60eqeltri 2505 . . . . . . . . . . . 12
62 cnfldmul 16701 . . . . . . . . . . . . 13 fld
6343, 62ressmulr 13574 . . . . . . . . . . . 12 flds
6461, 63ax-mp 8 . . . . . . . . . . 11 flds
65 eqid 2435 . . . . . . . . . . 11 flds flds
6659, 64, 65rnglidm 15679 . . . . . . . . . 10 flds flds flds
6726, 58, 66syl2anc 643 . . . . . . . . 9 flds
6853, 55, 673eqtrd 2471 . . . . . . . 8
69 sq01 11493 . . . . . . . . 9
7052, 69syl 16 . . . . . . . 8
7168, 70mpbid 202 . . . . . . 7
7271ord 367 . . . . . 6
7349, 72mpd 15 . . . . 5
7473, 51eqeltrrd 2510 . . . 4
7531, 74jca 519 . . 3
76 cnfld1 16718 . . . 4 fld
7716, 76issubrg 15860 . . 3 SubRingfld fld flds
7828, 75, 77sylanbrc 646 . 2 SubRingfld
7925, 20, 783jca 1134 1 flds SubRingfld
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 177   wo 358   wa 359   w3a 936   wceq 1652   wcel 1725   wne 2598  cvv 2948   cin 3311   wss 3312  cfv 5446  (class class class)co 6073  cc 8980  cc0 8982  c1 8983   cmul 8987  c2 10041  cexp 11374  cbs 13461   ↾s cress 13462  cmulr 13522  c0g 13715  cgrp 14677  SubGrpcsubg 14930  crg 15652  cur 15654  cdr 15827  SubRingcsubrg 15856  ℂfldccnfld 16695 This theorem is referenced by:  cphreccllem  19133  cphsubrg  19135  tchclm  19181  tchcph  19186 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-addf 9061  ax-mulf 9062 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-tpos 6471  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-7 10055  df-8 10056  df-9 10057  df-10 10058  df-n0 10214  df-z 10275  df-dec 10375  df-uz 10481  df-fz 11036  df-seq 11316  df-exp 11375  df-struct 13463  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-ress 13468  df-plusg 13534  df-mulr 13535  df-starv 13536  df-tset 13540  df-ple 13541  df-ds 13543  df-unif 13544  df-0g 13719  df-mnd 14682  df-grp 14804  df-subg 14933  df-cmn 15406  df-mgp 15641  df-rng 15655  df-cring 15656  df-ur 15657  df-oppr 15720  df-dvdsr 15738  df-unit 15739  df-drng 15829  df-subrg 15858  df-cnfld 16696
 Copyright terms: Public domain W3C validator