MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cplem1 Structured version   Unicode version

Theorem cplem1 7818
Description: Lemma for the Collection Principle cp 7820. (Contributed by NM, 17-Oct-2003.)
Hypotheses
Ref Expression
cplem1.1  |-  C  =  { y  e.  B  |  A. z  e.  B  ( rank `  y )  C_  ( rank `  z
) }
cplem1.2  |-  D  = 
U_ x  e.  A  C
Assertion
Ref Expression
cplem1  |-  A. x  e.  A  ( B  =/=  (/)  ->  ( B  i^i  D )  =/=  (/) )
Distinct variable groups:    x, y,
z, A    y, B, z
Allowed substitution hints:    B( x)    C( x, y, z)    D( x, y, z)

Proof of Theorem cplem1
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 scott0 7815 . . . . . 6  |-  ( B  =  (/)  <->  { y  e.  B  |  A. z  e.  B  ( rank `  y )  C_  ( rank `  z
) }  =  (/) )
2 cplem1.1 . . . . . . 7  |-  C  =  { y  e.  B  |  A. z  e.  B  ( rank `  y )  C_  ( rank `  z
) }
32eqeq1i 2445 . . . . . 6  |-  ( C  =  (/)  <->  { y  e.  B  |  A. z  e.  B  ( rank `  y )  C_  ( rank `  z
) }  =  (/) )
41, 3bitr4i 245 . . . . 5  |-  ( B  =  (/)  <->  C  =  (/) )
54necon3bii 2635 . . . 4  |-  ( B  =/=  (/)  <->  C  =/=  (/) )
6 n0 3639 . . . 4  |-  ( C  =/=  (/)  <->  E. w  w  e.  C )
75, 6bitri 242 . . 3  |-  ( B  =/=  (/)  <->  E. w  w  e.  C )
8 ssrab2 3430 . . . . . . . . 9  |-  { y  e.  B  |  A. z  e.  B  ( rank `  y )  C_  ( rank `  z ) }  C_  B
92, 8eqsstri 3380 . . . . . . . 8  |-  C  C_  B
109sseli 3346 . . . . . . 7  |-  ( w  e.  C  ->  w  e.  B )
1110a1i 11 . . . . . 6  |-  ( x  e.  A  ->  (
w  e.  C  ->  w  e.  B )
)
12 ssiun2 4136 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  A  ->  C  C_ 
U_ x  e.  A  C )
13 cplem1.2 . . . . . . . 8  |-  D  = 
U_ x  e.  A  C
1412, 13syl6sseqr 3397 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  A  ->  C  C_  D )
1514sseld 3349 . . . . . 6  |-  ( x  e.  A  ->  (
w  e.  C  ->  w  e.  D )
)
1611, 15jcad 521 . . . . 5  |-  ( x  e.  A  ->  (
w  e.  C  -> 
( w  e.  B  /\  w  e.  D
) ) )
17 inelcm 3684 . . . . 5  |-  ( ( w  e.  B  /\  w  e.  D )  ->  ( B  i^i  D
)  =/=  (/) )
1816, 17syl6 32 . . . 4  |-  ( x  e.  A  ->  (
w  e.  C  -> 
( B  i^i  D
)  =/=  (/) ) )
1918exlimdv 1647 . . 3  |-  ( x  e.  A  ->  ( E. w  w  e.  C  ->  ( B  i^i  D )  =/=  (/) ) )
207, 19syl5bi 210 . 2  |-  ( x  e.  A  ->  ( B  =/=  (/)  ->  ( B  i^i  D )  =/=  (/) ) )
2120rgen 2773 1  |-  A. x  e.  A  ( B  =/=  (/)  ->  ( B  i^i  D )  =/=  (/) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360   E.wex 1551    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2601   A.wral 2707   {crab 2711    i^i cin 3321    C_ wss 3322   (/)c0 3630   U_ciun 4095   ` cfv 5457   rankcrnk 7692
This theorem is referenced by:  cplem2  7819
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-r1 7693  df-rank 7694
  Copyright terms: Public domain W3C validator