MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cpnnen Structured version   Unicode version

Theorem cpnnen 12820
Description: The complex numbers are equinumerous to the powerset of the natural numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
cpnnen  |-  CC  ~~  ~P NN

Proof of Theorem cpnnen
Dummy variables  w  v  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rexpen 12819 . . 3  |-  ( RR 
X.  RR )  ~~  RR
2 eleq1 2495 . . . . . . . . 9  |-  ( v  =  x  ->  (
v  e.  RR  <->  x  e.  RR ) )
3 eleq1 2495 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  y  ->  (
w  e.  RR  <->  y  e.  RR ) )
42, 3bi2anan9 844 . . . . . . . 8  |-  ( ( v  =  x  /\  w  =  y )  ->  ( ( v  e.  RR  /\  w  e.  RR )  <->  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR ) ) )
5 oveq2 6081 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  y  ->  (
_i  x.  w )  =  ( _i  x.  y ) )
6 oveq12 6082 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( v  =  x  /\  ( _i  x.  w
)  =  ( _i  x.  y ) )  ->  ( v  +  ( _i  x.  w
) )  =  ( x  +  ( _i  x.  y ) ) )
75, 6sylan2 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( v  =  x  /\  w  =  y )  ->  ( v  +  ( _i  x.  w ) )  =  ( x  +  ( _i  x.  y ) ) )
87eqeq2d 2446 . . . . . . . 8  |-  ( ( v  =  x  /\  w  =  y )  ->  ( z  =  ( v  +  ( _i  x.  w ) )  <-> 
z  =  ( x  +  ( _i  x.  y ) ) ) )
94, 8anbi12d 692 . . . . . . 7  |-  ( ( v  =  x  /\  w  =  y )  ->  ( ( ( v  e.  RR  /\  w  e.  RR )  /\  z  =  ( v  +  ( _i  x.  w
) ) )  <->  ( (
x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  z  =  (
x  +  ( _i  x.  y ) ) ) ) )
109cbvoprab12v 6139 . . . . . 6  |-  { <. <.
v ,  w >. ,  z >.  |  (
( v  e.  RR  /\  w  e.  RR )  /\  z  =  ( v  +  ( _i  x.  w ) ) ) }  =  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  z  =  ( x  +  ( _i  x.  y
) ) ) }
11 df-mpt2 6078 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR ,  y  e.  RR  |->  ( x  +  ( _i  x.  y ) ) )  =  { <. <. x ,  y >. ,  z
>.  |  ( (
x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  z  =  (
x  +  ( _i  x.  y ) ) ) }
1210, 11eqtr4i 2458 . . . . 5  |-  { <. <.
v ,  w >. ,  z >.  |  (
( v  e.  RR  /\  w  e.  RR )  /\  z  =  ( v  +  ( _i  x.  w ) ) ) }  =  ( x  e.  RR , 
y  e.  RR  |->  ( x  +  ( _i  x.  y ) ) )
1312cnref1o 10599 . . . 4  |-  { <. <.
v ,  w >. ,  z >.  |  (
( v  e.  RR  /\  w  e.  RR )  /\  z  =  ( v  +  ( _i  x.  w ) ) ) } : ( RR  X.  RR ) -1-1-onto-> CC
14 reex 9073 . . . . . 6  |-  RR  e.  _V
1514, 14xpex 4982 . . . . 5  |-  ( RR 
X.  RR )  e. 
_V
1615f1oen 7120 . . . 4  |-  ( {
<. <. v ,  w >. ,  z >.  |  ( ( v  e.  RR  /\  w  e.  RR )  /\  z  =  ( v  +  ( _i  x.  w ) ) ) } : ( RR  X.  RR ) -1-1-onto-> CC 
->  ( RR  X.  RR )  ~~  CC )
1713, 16ax-mp 8 . . 3  |-  ( RR 
X.  RR )  ~~  CC
181, 17entr3i 7155 . 2  |-  RR  ~~  CC
19 rpnnen 12818 . 2  |-  RR  ~~  ~P NN
2018, 19entr3i 7155 1  |-  CC  ~~  ~P NN
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   ~Pcpw 3791   class class class wbr 4204    X. cxp 4868   -1-1-onto->wf1o 5445  (class class class)co 6073   {coprab 6074    e. cmpt2 6075    ~~ cen 7098   CCcc 8980   RRcr 8981   _ici 8984    + caddc 8985    x. cmul 8987   NNcn 9992
This theorem is referenced by:  cnso  12838
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-2o 6717  df-oadd 6720  df-omul 6721  df-er 6897  df-map 7012  df-pm 7013  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-sup 7438  df-oi 7471  df-card 7818  df-acn 7821  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-q 10567  df-rp 10605  df-ico 10914  df-icc 10915  df-fz 11036  df-fzo 11128  df-fl 11194  df-seq 11316  df-exp 11375  df-hash 11611  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-sqr 12032  df-abs 12033  df-limsup 12257  df-clim 12274  df-rlim 12275  df-sum 12472
  Copyright terms: Public domain W3C validator