MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cpnnen Unicode version

Theorem cpnnen 12507
Description: The complex numbers are equinumerous to the powerset of the natural numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
cpnnen  |-  CC  ~~  ~P NN

Proof of Theorem cpnnen
Dummy variables  w  v  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rexpen 12506 . . 3  |-  ( RR 
X.  RR )  ~~  RR
2 eleq1 2343 . . . . . . . . 9  |-  ( v  =  x  ->  (
v  e.  RR  <->  x  e.  RR ) )
3 eleq1 2343 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  y  ->  (
w  e.  RR  <->  y  e.  RR ) )
42, 3bi2anan9 843 . . . . . . . 8  |-  ( ( v  =  x  /\  w  =  y )  ->  ( ( v  e.  RR  /\  w  e.  RR )  <->  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR ) ) )
5 oveq2 5866 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  y  ->  (
_i  x.  w )  =  ( _i  x.  y ) )
6 oveq12 5867 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( v  =  x  /\  ( _i  x.  w
)  =  ( _i  x.  y ) )  ->  ( v  +  ( _i  x.  w
) )  =  ( x  +  ( _i  x.  y ) ) )
75, 6sylan2 460 . . . . . . . . 9  |-  ( ( v  =  x  /\  w  =  y )  ->  ( v  +  ( _i  x.  w ) )  =  ( x  +  ( _i  x.  y ) ) )
87eqeq2d 2294 . . . . . . . 8  |-  ( ( v  =  x  /\  w  =  y )  ->  ( z  =  ( v  +  ( _i  x.  w ) )  <-> 
z  =  ( x  +  ( _i  x.  y ) ) ) )
94, 8anbi12d 691 . . . . . . 7  |-  ( ( v  =  x  /\  w  =  y )  ->  ( ( ( v  e.  RR  /\  w  e.  RR )  /\  z  =  ( v  +  ( _i  x.  w
) ) )  <->  ( (
x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  z  =  (
x  +  ( _i  x.  y ) ) ) ) )
109cbvoprab12v 5921 . . . . . 6  |-  { <. <.
v ,  w >. ,  z >.  |  (
( v  e.  RR  /\  w  e.  RR )  /\  z  =  ( v  +  ( _i  x.  w ) ) ) }  =  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  z  =  ( x  +  ( _i  x.  y
) ) ) }
11 df-mpt2 5863 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR ,  y  e.  RR  |->  ( x  +  ( _i  x.  y ) ) )  =  { <. <. x ,  y >. ,  z
>.  |  ( (
x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  z  =  (
x  +  ( _i  x.  y ) ) ) }
1210, 11eqtr4i 2306 . . . . 5  |-  { <. <.
v ,  w >. ,  z >.  |  (
( v  e.  RR  /\  w  e.  RR )  /\  z  =  ( v  +  ( _i  x.  w ) ) ) }  =  ( x  e.  RR , 
y  e.  RR  |->  ( x  +  ( _i  x.  y ) ) )
1312cnref1o 10349 . . . 4  |-  { <. <.
v ,  w >. ,  z >.  |  (
( v  e.  RR  /\  w  e.  RR )  /\  z  =  ( v  +  ( _i  x.  w ) ) ) } : ( RR  X.  RR ) -1-1-onto-> CC
14 reex 8828 . . . . . 6  |-  RR  e.  _V
1514, 14xpex 4801 . . . . 5  |-  ( RR 
X.  RR )  e. 
_V
1615f1oen 6882 . . . 4  |-  ( {
<. <. v ,  w >. ,  z >.  |  ( ( v  e.  RR  /\  w  e.  RR )  /\  z  =  ( v  +  ( _i  x.  w ) ) ) } : ( RR  X.  RR ) -1-1-onto-> CC 
->  ( RR  X.  RR )  ~~  CC )
1713, 16ax-mp 8 . . 3  |-  ( RR 
X.  RR )  ~~  CC
181, 17entr3i 6917 . 2  |-  RR  ~~  CC
19 rpnnen 12505 . 2  |-  RR  ~~  ~P NN
2018, 19entr3i 6917 1  |-  CC  ~~  ~P NN
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   ~Pcpw 3625   class class class wbr 4023    X. cxp 4687   -1-1-onto->wf1o 5254  (class class class)co 5858   {coprab 5859    e. cmpt2 5860    ~~ cen 6860   CCcc 8735   RRcr 8736   _ici 8739    + caddc 8740    x. cmul 8742   NNcn 9746
This theorem is referenced by:  cnso  12525
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-omul 6484  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-acn 7575  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-ico 10662  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-limsup 11945  df-clim 11962  df-rlim 11963  df-sum 12159
  Copyright terms: Public domain W3C validator