MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cpnnen Unicode version

Theorem cpnnen 12755
Description: The complex numbers are equinumerous to the powerset of the natural numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
cpnnen  |-  CC  ~~  ~P NN

Proof of Theorem cpnnen
Dummy variables  w  v  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rexpen 12754 . . 3  |-  ( RR 
X.  RR )  ~~  RR
2 eleq1 2447 . . . . . . . . 9  |-  ( v  =  x  ->  (
v  e.  RR  <->  x  e.  RR ) )
3 eleq1 2447 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  y  ->  (
w  e.  RR  <->  y  e.  RR ) )
42, 3bi2anan9 844 . . . . . . . 8  |-  ( ( v  =  x  /\  w  =  y )  ->  ( ( v  e.  RR  /\  w  e.  RR )  <->  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR ) ) )
5 oveq2 6028 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  y  ->  (
_i  x.  w )  =  ( _i  x.  y ) )
6 oveq12 6029 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( v  =  x  /\  ( _i  x.  w
)  =  ( _i  x.  y ) )  ->  ( v  +  ( _i  x.  w
) )  =  ( x  +  ( _i  x.  y ) ) )
75, 6sylan2 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( v  =  x  /\  w  =  y )  ->  ( v  +  ( _i  x.  w ) )  =  ( x  +  ( _i  x.  y ) ) )
87eqeq2d 2398 . . . . . . . 8  |-  ( ( v  =  x  /\  w  =  y )  ->  ( z  =  ( v  +  ( _i  x.  w ) )  <-> 
z  =  ( x  +  ( _i  x.  y ) ) ) )
94, 8anbi12d 692 . . . . . . 7  |-  ( ( v  =  x  /\  w  =  y )  ->  ( ( ( v  e.  RR  /\  w  e.  RR )  /\  z  =  ( v  +  ( _i  x.  w
) ) )  <->  ( (
x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  z  =  (
x  +  ( _i  x.  y ) ) ) ) )
109cbvoprab12v 6086 . . . . . 6  |-  { <. <.
v ,  w >. ,  z >.  |  (
( v  e.  RR  /\  w  e.  RR )  /\  z  =  ( v  +  ( _i  x.  w ) ) ) }  =  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  z  =  ( x  +  ( _i  x.  y
) ) ) }
11 df-mpt2 6025 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR ,  y  e.  RR  |->  ( x  +  ( _i  x.  y ) ) )  =  { <. <. x ,  y >. ,  z
>.  |  ( (
x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  z  =  (
x  +  ( _i  x.  y ) ) ) }
1210, 11eqtr4i 2410 . . . . 5  |-  { <. <.
v ,  w >. ,  z >.  |  (
( v  e.  RR  /\  w  e.  RR )  /\  z  =  ( v  +  ( _i  x.  w ) ) ) }  =  ( x  e.  RR , 
y  e.  RR  |->  ( x  +  ( _i  x.  y ) ) )
1312cnref1o 10539 . . . 4  |-  { <. <.
v ,  w >. ,  z >.  |  (
( v  e.  RR  /\  w  e.  RR )  /\  z  =  ( v  +  ( _i  x.  w ) ) ) } : ( RR  X.  RR ) -1-1-onto-> CC
14 reex 9014 . . . . . 6  |-  RR  e.  _V
1514, 14xpex 4930 . . . . 5  |-  ( RR 
X.  RR )  e. 
_V
1615f1oen 7064 . . . 4  |-  ( {
<. <. v ,  w >. ,  z >.  |  ( ( v  e.  RR  /\  w  e.  RR )  /\  z  =  ( v  +  ( _i  x.  w ) ) ) } : ( RR  X.  RR ) -1-1-onto-> CC 
->  ( RR  X.  RR )  ~~  CC )
1713, 16ax-mp 8 . . 3  |-  ( RR 
X.  RR )  ~~  CC
181, 17entr3i 7099 . 2  |-  RR  ~~  CC
19 rpnnen 12753 . 2  |-  RR  ~~  ~P NN
2018, 19entr3i 7099 1  |-  CC  ~~  ~P NN
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   ~Pcpw 3742   class class class wbr 4153    X. cxp 4816   -1-1-onto->wf1o 5393  (class class class)co 6020   {coprab 6021    e. cmpt2 6022    ~~ cen 7042   CCcc 8921   RRcr 8922   _ici 8925    + caddc 8926    x. cmul 8928   NNcn 9932
This theorem is referenced by:  cnso  12773
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-rep 4261  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-inf2 7529  ax-cnex 8979  ax-resscn 8980  ax-1cn 8981  ax-icn 8982  ax-addcl 8983  ax-addrcl 8984  ax-mulcl 8985  ax-mulrcl 8986  ax-mulcom 8987  ax-addass 8988  ax-mulass 8989  ax-distr 8990  ax-i2m1 8991  ax-1ne0 8992  ax-1rid 8993  ax-rnegex 8994  ax-rrecex 8995  ax-cnre 8996  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998  ax-pre-ltadd 8999  ax-pre-mulgt0 9000  ax-pre-sup 9001
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rmo 2657  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-int 3993  df-iun 4037  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-se 4483  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-om 4786  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-isom 5403  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-1st 6288  df-2nd 6289  df-riota 6485  df-recs 6569  df-rdg 6604  df-1o 6660  df-2o 6661  df-oadd 6664  df-omul 6665  df-er 6841  df-map 6956  df-pm 6957  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-fin 7049  df-sup 7381  df-oi 7412  df-card 7759  df-acn 7762  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-xr 9057  df-ltxr 9058  df-le 9059  df-sub 9225  df-neg 9226  df-div 9610  df-nn 9933  df-2 9990  df-3 9991  df-n0 10154  df-z 10215  df-uz 10421  df-q 10507  df-rp 10545  df-ico 10854  df-icc 10855  df-fz 10976  df-fzo 11066  df-fl 11129  df-seq 11251  df-exp 11310  df-hash 11546  df-cj 11831  df-re 11832  df-im 11833  df-sqr 11967  df-abs 11968  df-limsup 12192  df-clim 12209  df-rlim 12210  df-sum 12407
  Copyright terms: Public domain W3C validator