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Theorem cpnord 19681
Description:  C ^n conditions are ordered by strength. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
cpnord  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
C ^n `  S
) `  N )  C_  ( ( C ^n
`  S ) `  M ) )

Proof of Theorem cpnord
Dummy variables  f  n  m are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5661 . . . . . 6  |-  ( n  =  M  ->  (
( C ^n `  S ) `  n
)  =  ( ( C ^n `  S
) `  M )
)
21sseq1d 3311 . . . . 5  |-  ( n  =  M  ->  (
( ( C ^n
`  S ) `  n )  C_  (
( C ^n `  S ) `  M
)  <->  ( ( C ^n `  S ) `
 M )  C_  ( ( C ^n
`  S ) `  M ) ) )
32imbi2d 308 . . . 4  |-  ( n  =  M  ->  (
( ( S  e. 
{ RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0 )  ->  ( ( C ^n `  S ) `
 n )  C_  ( ( C ^n
`  S ) `  M ) )  <->  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0 )  ->  (
( C ^n `  S ) `  M
)  C_  ( (
C ^n `  S
) `  M )
) ) )
4 fveq2 5661 . . . . . 6  |-  ( n  =  m  ->  (
( C ^n `  S ) `  n
)  =  ( ( C ^n `  S
) `  m )
)
54sseq1d 3311 . . . . 5  |-  ( n  =  m  ->  (
( ( C ^n
`  S ) `  n )  C_  (
( C ^n `  S ) `  M
)  <->  ( ( C ^n `  S ) `
 m )  C_  ( ( C ^n
`  S ) `  M ) ) )
65imbi2d 308 . . . 4  |-  ( n  =  m  ->  (
( ( S  e. 
{ RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0 )  ->  ( ( C ^n `  S ) `
 n )  C_  ( ( C ^n
`  S ) `  M ) )  <->  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0 )  ->  (
( C ^n `  S ) `  m
)  C_  ( (
C ^n `  S
) `  M )
) ) )
7 fveq2 5661 . . . . . 6  |-  ( n  =  ( m  + 
1 )  ->  (
( C ^n `  S ) `  n
)  =  ( ( C ^n `  S
) `  ( m  +  1 ) ) )
87sseq1d 3311 . . . . 5  |-  ( n  =  ( m  + 
1 )  ->  (
( ( C ^n
`  S ) `  n )  C_  (
( C ^n `  S ) `  M
)  <->  ( ( C ^n `  S ) `
 ( m  + 
1 ) )  C_  ( ( C ^n
`  S ) `  M ) ) )
98imbi2d 308 . . . 4  |-  ( n  =  ( m  + 
1 )  ->  (
( ( S  e. 
{ RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0 )  ->  ( ( C ^n `  S ) `
 n )  C_  ( ( C ^n
`  S ) `  M ) )  <->  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0 )  ->  (
( C ^n `  S ) `  (
m  +  1 ) )  C_  ( (
C ^n `  S
) `  M )
) ) )
10 fveq2 5661 . . . . . 6  |-  ( n  =  N  ->  (
( C ^n `  S ) `  n
)  =  ( ( C ^n `  S
) `  N )
)
1110sseq1d 3311 . . . . 5  |-  ( n  =  N  ->  (
( ( C ^n
`  S ) `  n )  C_  (
( C ^n `  S ) `  M
)  <->  ( ( C ^n `  S ) `
 N )  C_  ( ( C ^n
`  S ) `  M ) ) )
1211imbi2d 308 . . . 4  |-  ( n  =  N  ->  (
( ( S  e. 
{ RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0 )  ->  ( ( C ^n `  S ) `
 n )  C_  ( ( C ^n
`  S ) `  M ) )  <->  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0 )  ->  (
( C ^n `  S ) `  N
)  C_  ( (
C ^n `  S
) `  M )
) ) )
13 ssid 3303 . . . . 5  |-  ( ( C ^n `  S
) `  M )  C_  ( ( C ^n
`  S ) `  M )
1413a1ii 25 . . . 4  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
( S  e.  { RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( C ^n
`  S ) `  M )  C_  (
( C ^n `  S ) `  M
) ) )
15 simprl 733 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( S  e. 
{ RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0 )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  M ) )  /\  ( f  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  ( ( S  D n f ) `
 ( m  + 
1 ) )  e.  ( dom  f -cn-> CC ) ) )  -> 
f  e.  ( CC 
^pm  S ) )
16 recnprss 19651 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( S  e.  { RR ,  CC }  ->  S  C_  CC )
1716ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0 )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  M ) )  ->  S  C_  CC )
1817adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( S  e. 
{ RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0 )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  M ) )  /\  ( f  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  ( ( S  D n f ) `
 ( m  + 
1 ) )  e.  ( dom  f -cn-> CC ) ) )  ->  S  C_  CC )
19 simplll 735 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( S  e. 
{ RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0 )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  M ) )  /\  ( f  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  ( ( S  D n f ) `
 ( m  + 
1 ) )  e.  ( dom  f -cn-> CC ) ) )  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
20 eluznn0 10471 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  m  e.  ( ZZ>= `  M ) )  ->  m  e.  NN0 )
2120adantll 695 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0 )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  M ) )  ->  m  e.  NN0 )
2221adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( S  e. 
{ RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0 )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  M ) )  /\  ( f  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  ( ( S  D n f ) `
 ( m  + 
1 ) )  e.  ( dom  f -cn-> CC ) ) )  ->  m  e.  NN0 )
23 dvnf 19673 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  f  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( ( S  D n f ) `
 m ) : dom  ( ( S  D n f ) `
 m ) --> CC )
2419, 15, 22, 23syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( S  e. 
{ RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0 )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  M ) )  /\  ( f  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  ( ( S  D n f ) `
 ( m  + 
1 ) )  e.  ( dom  f -cn-> CC ) ) )  -> 
( ( S  D n f ) `  m ) : dom  ( ( S  D n f ) `  m ) --> CC )
25 dvnbss 19674 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  f  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  m  e.  NN0 )  ->  dom  ( ( S  D n f ) `  m ) 
C_  dom  f )
2619, 15, 22, 25syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( S  e. 
{ RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0 )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  M ) )  /\  ( f  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  ( ( S  D n f ) `
 ( m  + 
1 ) )  e.  ( dom  f -cn-> CC ) ) )  ->  dom  ( ( S  D n f ) `  m )  C_  dom  f )
27 dvnp1 19671 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( S  C_  CC  /\  f  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( ( S  D n f ) `
 ( m  + 
1 ) )  =  ( S  _D  (
( S  D n
f ) `  m
) ) )
2818, 15, 22, 27syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( S  e. 
{ RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0 )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  M ) )  /\  ( f  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  ( ( S  D n f ) `
 ( m  + 
1 ) )  e.  ( dom  f -cn-> CC ) ) )  -> 
( ( S  D n f ) `  ( m  +  1
) )  =  ( S  _D  ( ( S  D n f ) `  m ) ) )
29 simprr 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( S  e. 
{ RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0 )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  M ) )  /\  ( f  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  ( ( S  D n f ) `
 ( m  + 
1 ) )  e.  ( dom  f -cn-> CC ) ) )  -> 
( ( S  D n f ) `  ( m  +  1
) )  e.  ( dom  f -cn-> CC ) )
3028, 29eqeltrrd 2455 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( S  e. 
{ RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0 )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  M ) )  /\  ( f  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  ( ( S  D n f ) `
 ( m  + 
1 ) )  e.  ( dom  f -cn-> CC ) ) )  -> 
( S  _D  (
( S  D n
f ) `  m
) )  e.  ( dom  f -cn-> CC ) )
31 cncff 18787 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( S  _D  ( ( S  D n f ) `  m ) )  e.  ( dom  f -cn-> CC )  ->  ( S  _D  ( ( S  D n f ) `
 m ) ) : dom  f --> CC )
3230, 31syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( S  e. 
{ RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0 )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  M ) )  /\  ( f  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  ( ( S  D n f ) `
 ( m  + 
1 ) )  e.  ( dom  f -cn-> CC ) ) )  -> 
( S  _D  (
( S  D n
f ) `  m
) ) : dom  f
--> CC )
33 fdm 5528 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( S  _D  ( ( S  D n f ) `  m ) ) : dom  f --> CC  ->  dom  ( S  _D  ( ( S  D n f ) `  m ) )  =  dom  f )
3432, 33syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( S  e. 
{ RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0 )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  M ) )  /\  ( f  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  ( ( S  D n f ) `
 ( m  + 
1 ) )  e.  ( dom  f -cn-> CC ) ) )  ->  dom  ( S  _D  (
( S  D n
f ) `  m
) )  =  dom  f )
35 cnex 8997 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  CC  e.  _V
36 elpm2g 6962 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( CC  e.  _V  /\  S  e.  { RR ,  CC } )  -> 
( f  e.  ( CC  ^pm  S )  <->  ( f : dom  f --> CC  /\  dom  f  C_  S ) ) )
3735, 19, 36sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( S  e. 
{ RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0 )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  M ) )  /\  ( f  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  ( ( S  D n f ) `
 ( m  + 
1 ) )  e.  ( dom  f -cn-> CC ) ) )  -> 
( f  e.  ( CC  ^pm  S )  <->  ( f : dom  f --> CC  /\  dom  f  C_  S ) ) )
3815, 37mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( S  e. 
{ RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0 )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  M ) )  /\  ( f  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  ( ( S  D n f ) `
 ( m  + 
1 ) )  e.  ( dom  f -cn-> CC ) ) )  -> 
( f : dom  f
--> CC  /\  dom  f  C_  S ) )
3938simprd 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( S  e. 
{ RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0 )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  M ) )  /\  ( f  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  ( ( S  D n f ) `
 ( m  + 
1 ) )  e.  ( dom  f -cn-> CC ) ) )  ->  dom  f  C_  S )
4026, 39sstrd 3294 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( S  e. 
{ RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0 )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  M ) )  /\  ( f  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  ( ( S  D n f ) `
 ( m  + 
1 ) )  e.  ( dom  f -cn-> CC ) ) )  ->  dom  ( ( S  D n f ) `  m )  C_  S
)
4118, 24, 40dvbss 19648 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( S  e. 
{ RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0 )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  M ) )  /\  ( f  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  ( ( S  D n f ) `
 ( m  + 
1 ) )  e.  ( dom  f -cn-> CC ) ) )  ->  dom  ( S  _D  (
( S  D n
f ) `  m
) )  C_  dom  ( ( S  D n f ) `  m ) )
4234, 41eqsstr3d 3319 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( S  e. 
{ RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0 )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  M ) )  /\  ( f  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  ( ( S  D n f ) `
 ( m  + 
1 ) )  e.  ( dom  f -cn-> CC ) ) )  ->  dom  f  C_  dom  (
( S  D n
f ) `  m
) )
4326, 42eqssd 3301 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( S  e. 
{ RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0 )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  M ) )  /\  ( f  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  ( ( S  D n f ) `
 ( m  + 
1 ) )  e.  ( dom  f -cn-> CC ) ) )  ->  dom  ( ( S  D n f ) `  m )  =  dom  f )
4443feq2d 5514 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( S  e. 
{ RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0 )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  M ) )  /\  ( f  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  ( ( S  D n f ) `
 ( m  + 
1 ) )  e.  ( dom  f -cn-> CC ) ) )  -> 
( ( ( S  D n f ) `
 m ) : dom  ( ( S  D n f ) `
 m ) --> CC  <->  ( ( S  D n
f ) `  m
) : dom  f --> CC ) )
4524, 44mpbid 202 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( S  e. 
{ RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0 )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  M ) )  /\  ( f  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  ( ( S  D n f ) `
 ( m  + 
1 ) )  e.  ( dom  f -cn-> CC ) ) )  -> 
( ( S  D n f ) `  m ) : dom  f
--> CC )
46 dvcn 19667 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  ( ( S  D n f ) `  m ) : dom  f
--> CC  /\  dom  f  C_  S )  /\  dom  ( S  _D  (
( S  D n
f ) `  m
) )  =  dom  f )  ->  (
( S  D n
f ) `  m
)  e.  ( dom  f -cn-> CC ) )
4718, 45, 39, 34, 46syl31anc 1187 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( S  e. 
{ RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0 )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  M ) )  /\  ( f  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  ( ( S  D n f ) `
 ( m  + 
1 ) )  e.  ( dom  f -cn-> CC ) ) )  -> 
( ( S  D n f ) `  m )  e.  ( dom  f -cn-> CC ) )
4815, 47jca 519 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( S  e. 
{ RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0 )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  M ) )  /\  ( f  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  ( ( S  D n f ) `
 ( m  + 
1 ) )  e.  ( dom  f -cn-> CC ) ) )  -> 
( f  e.  ( CC  ^pm  S )  /\  ( ( S  D n f ) `  m )  e.  ( dom  f -cn-> CC ) ) )
4948ex 424 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0 )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  M ) )  -> 
( ( f  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  ( ( S  D n f ) `
 ( m  + 
1 ) )  e.  ( dom  f -cn-> CC ) )  ->  (
f  e.  ( CC 
^pm  S )  /\  ( ( S  D n f ) `  m )  e.  ( dom  f -cn-> CC ) ) ) )
50 peano2nn0 10185 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( m  +  1 )  e. 
NN0 )
5121, 50syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0 )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  M ) )  -> 
( m  +  1 )  e.  NN0 )
52 elcpn 19680 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  C_  CC  /\  (
m  +  1 )  e.  NN0 )  -> 
( f  e.  ( ( C ^n `  S ) `  (
m  +  1 ) )  <->  ( f  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  ( ( S  D n f ) `
 ( m  + 
1 ) )  e.  ( dom  f -cn-> CC ) ) ) )
5317, 51, 52syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0 )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  M ) )  -> 
( f  e.  ( ( C ^n `  S ) `  (
m  +  1 ) )  <->  ( f  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  ( ( S  D n f ) `
 ( m  + 
1 ) )  e.  ( dom  f -cn-> CC ) ) ) )
54 elcpn 19680 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  C_  CC  /\  m  e.  NN0 )  ->  (
f  e.  ( ( C ^n `  S
) `  m )  <->  ( f  e.  ( CC 
^pm  S )  /\  ( ( S  D n f ) `  m )  e.  ( dom  f -cn-> CC ) ) ) )
5517, 21, 54syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0 )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  M ) )  -> 
( f  e.  ( ( C ^n `  S ) `  m
)  <->  ( f  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  ( ( S  D n f ) `
 m )  e.  ( dom  f -cn-> CC ) ) ) )
5649, 53, 553imtr4d 260 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0 )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  M ) )  -> 
( f  e.  ( ( C ^n `  S ) `  (
m  +  1 ) )  ->  f  e.  ( ( C ^n
`  S ) `  m ) ) )
5756ssrdv 3290 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0 )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  M ) )  -> 
( ( C ^n
`  S ) `  ( m  +  1
) )  C_  (
( C ^n `  S ) `  m
) )
58 sstr2 3291 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C ^n `  S ) `  (
m  +  1 ) )  C_  ( (
C ^n `  S
) `  m )  ->  ( ( ( C ^n `  S ) `
 m )  C_  ( ( C ^n
`  S ) `  M )  ->  (
( C ^n `  S ) `  (
m  +  1 ) )  C_  ( (
C ^n `  S
) `  M )
) )
5957, 58syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0 )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  M ) )  -> 
( ( ( C ^n `  S ) `
 m )  C_  ( ( C ^n
`  S ) `  M )  ->  (
( C ^n `  S ) `  (
m  +  1 ) )  C_  ( (
C ^n `  S
) `  M )
) )
6059expcom 425 . . . . 5  |-  ( m  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0 )  ->  (
( ( C ^n
`  S ) `  m )  C_  (
( C ^n `  S ) `  M
)  ->  ( (
C ^n `  S
) `  ( m  +  1 ) ) 
C_  ( ( C ^n `  S ) `
 M ) ) ) )
6160a2d 24 . . . 4  |-  ( m  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( (
( S  e.  { RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( C ^n
`  S ) `  m )  C_  (
( C ^n `  S ) `  M
) )  ->  (
( S  e.  { RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( C ^n
`  S ) `  ( m  +  1
) )  C_  (
( C ^n `  S ) `  M
) ) ) )
623, 6, 9, 12, 14, 61uzind4 10459 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0 )  ->  (
( C ^n `  S ) `  N
)  C_  ( (
C ^n `  S
) `  M )
) )
6362com12 29 . 2  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0 )  ->  ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  ->  (
( C ^n `  S ) `  N
)  C_  ( (
C ^n `  S
) `  M )
) )
64633impia 1150 1  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
C ^n `  S
) `  N )  C_  ( ( C ^n
`  S ) `  M ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717   _Vcvv 2892    C_ wss 3256   {cpr 3751   dom cdm 4811   -->wf 5383   ` cfv 5387  (class class class)co 6013    ^pm cpm 6948   CCcc 8914   RRcr 8915   1c1 8917    + caddc 8919   NN0cn0 10146   ZZcz 10207   ZZ>=cuz 10413   -cn->ccncf 18770    _D cdv 19610    D ncdvn 19611   C ^nccpn 19612
This theorem is referenced by:  cpncn  19682  c1lip2  19742
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-rep 4254  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337  ax-un 4634  ax-inf2 7522  ax-cnex 8972  ax-resscn 8973  ax-1cn 8974  ax-icn 8975  ax-addcl 8976  ax-addrcl 8977  ax-mulcl 8978  ax-mulrcl 8979  ax-mulcom 8980  ax-addass 8981  ax-mulass 8982  ax-distr 8983  ax-i2m1 8984  ax-1ne0 8985  ax-1rid 8986  ax-rnegex 8987  ax-rrecex 8988  ax-cnre 8989  ax-pre-lttri 8990  ax-pre-lttrn 8991  ax-pre-ltadd 8992  ax-pre-mulgt0 8993  ax-pre-sup 8994  ax-addf 8995  ax-mulf 8996
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-nel 2546  df-ral 2647  df-rex 2648  df-reu 2649  df-rmo 2650  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-csb 3188  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-pss 3272  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-tp 3758  df-op 3759  df-uni 3951  df-int 3986  df-iun 4030  df-iin 4031  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-tr 4237  df-eprel 4428  df-id 4432  df-po 4437  df-so 4438  df-fr 4475  df-se 4476  df-we 4477  df-ord 4518  df-on 4519  df-lim 4520  df-suc 4521  df-om 4779  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fn 5390  df-f 5391  df-f1 5392  df-fo 5393  df-f1o 5394  df-fv 5395  df-isom 5396  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpt2 6018  df-of 6237  df-1st 6281  df-2nd 6282  df-riota 6478  df-recs 6562  df-rdg 6597  df-1o 6653  df-2o 6654  df-oadd 6657  df-er 6834  df-map 6949  df-pm 6950  df-ixp 6993  df-en 7039  df-dom 7040  df-sdom 7041  df-fin 7042  df-fi 7344  df-sup 7374  df-oi 7405  df-card 7752  df-cda 7974  df-pnf 9048  df-mnf 9049  df-xr 9050  df-ltxr 9051  df-le 9052  df-sub 9218  df-neg 9219  df-div 9603  df-nn 9926  df-2 9983  df-3 9984  df-4 9985  df-5 9986  df-6 9987  df-7 9988  df-8 9989  df-9 9990  df-10 9991  df-n0 10147  df-z 10208  df-dec 10308  df-uz 10414  df-q 10500  df-rp 10538  df-xneg 10635  df-xadd 10636  df-xmul 10637  df-icc 10848  df-fz 10969  df-fzo 11059  df-seq 11244  df-exp 11303  df-hash 11539  df-cj 11824  df-re 11825  df-im 11826  df-sqr 11960  df-abs 11961  df-struct 13391  df-ndx 13392  df-slot 13393  df-base 13394  df-sets 13395  df-ress 13396  df-plusg 13462  df-mulr 13463  df-starv 13464  df-sca 13465  df-vsca 13466  df-tset 13468  df-ple 13469  df-ds 13471  df-unif 13472  df-hom 13473  df-cco 13474  df-rest 13570  df-topn 13571  df-topgen 13587  df-pt 13588  df-prds 13591  df-xrs 13646  df-0g 13647  df-gsum 13648  df-qtop 13653  df-imas 13654  df-xps 13656  df-mre 13731  df-mrc 13732  df-acs 13734  df-mnd 14610  df-submnd 14659  df-mulg 14735  df-cntz 15036  df-cmn 15334  df-xmet 16612  df-met 16613  df-bl 16614  df-mopn 16615  df-fbas 16616  df-fg 16617  df-cnfld 16620  df-top 16879  df-bases 16881  df-topon 16882  df-topsp 16883  df-cld 16999  df-ntr 17000  df-cls 17001  df-nei 17078  df-lp 17116  df-perf 17117  df-cn 17206  df-cnp 17207  df-haus 17294  df-tx 17508  df-hmeo 17701  df-fil 17792  df-fm 17884  df-flim 17885  df-flf 17886  df-xms 18252  df-ms 18253  df-tms 18254  df-cncf 18772  df-limc 19613  df-dv 19614  df-dvn 19615  df-cpn 19616
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