MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cpnord Unicode version

Theorem cpnord 19782
Description:  C ^n conditions are ordered by strength. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
cpnord  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
C ^n `  S
) `  N )  C_  ( ( C ^n
`  S ) `  M ) )

Proof of Theorem cpnord
Dummy variables  f  n  m are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5695 . . . . . 6  |-  ( n  =  M  ->  (
( C ^n `  S ) `  n
)  =  ( ( C ^n `  S
) `  M )
)
21sseq1d 3343 . . . . 5  |-  ( n  =  M  ->  (
( ( C ^n
`  S ) `  n )  C_  (
( C ^n `  S ) `  M
)  <->  ( ( C ^n `  S ) `
 M )  C_  ( ( C ^n
`  S ) `  M ) ) )
32imbi2d 308 . . . 4  |-  ( n  =  M  ->  (
( ( S  e. 
{ RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0 )  ->  ( ( C ^n `  S ) `
 n )  C_  ( ( C ^n
`  S ) `  M ) )  <->  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0 )  ->  (
( C ^n `  S ) `  M
)  C_  ( (
C ^n `  S
) `  M )
) ) )
4 fveq2 5695 . . . . . 6  |-  ( n  =  m  ->  (
( C ^n `  S ) `  n
)  =  ( ( C ^n `  S
) `  m )
)
54sseq1d 3343 . . . . 5  |-  ( n  =  m  ->  (
( ( C ^n
`  S ) `  n )  C_  (
( C ^n `  S ) `  M
)  <->  ( ( C ^n `  S ) `
 m )  C_  ( ( C ^n
`  S ) `  M ) ) )
65imbi2d 308 . . . 4  |-  ( n  =  m  ->  (
( ( S  e. 
{ RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0 )  ->  ( ( C ^n `  S ) `
 n )  C_  ( ( C ^n
`  S ) `  M ) )  <->  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0 )  ->  (
( C ^n `  S ) `  m
)  C_  ( (
C ^n `  S
) `  M )
) ) )
7 fveq2 5695 . . . . . 6  |-  ( n  =  ( m  + 
1 )  ->  (
( C ^n `  S ) `  n
)  =  ( ( C ^n `  S
) `  ( m  +  1 ) ) )
87sseq1d 3343 . . . . 5  |-  ( n  =  ( m  + 
1 )  ->  (
( ( C ^n
`  S ) `  n )  C_  (
( C ^n `  S ) `  M
)  <->  ( ( C ^n `  S ) `
 ( m  + 
1 ) )  C_  ( ( C ^n
`  S ) `  M ) ) )
98imbi2d 308 . . . 4  |-  ( n  =  ( m  + 
1 )  ->  (
( ( S  e. 
{ RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0 )  ->  ( ( C ^n `  S ) `
 n )  C_  ( ( C ^n
`  S ) `  M ) )  <->  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0 )  ->  (
( C ^n `  S ) `  (
m  +  1 ) )  C_  ( (
C ^n `  S
) `  M )
) ) )
10 fveq2 5695 . . . . . 6  |-  ( n  =  N  ->  (
( C ^n `  S ) `  n
)  =  ( ( C ^n `  S
) `  N )
)
1110sseq1d 3343 . . . . 5  |-  ( n  =  N  ->  (
( ( C ^n
`  S ) `  n )  C_  (
( C ^n `  S ) `  M
)  <->  ( ( C ^n `  S ) `
 N )  C_  ( ( C ^n
`  S ) `  M ) ) )
1211imbi2d 308 . . . 4  |-  ( n  =  N  ->  (
( ( S  e. 
{ RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0 )  ->  ( ( C ^n `  S ) `
 n )  C_  ( ( C ^n
`  S ) `  M ) )  <->  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0 )  ->  (
( C ^n `  S ) `  N
)  C_  ( (
C ^n `  S
) `  M )
) ) )
13 ssid 3335 . . . . 5  |-  ( ( C ^n `  S
) `  M )  C_  ( ( C ^n
`  S ) `  M )
1413a1ii 25 . . . 4  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
( S  e.  { RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( C ^n
`  S ) `  M )  C_  (
( C ^n `  S ) `  M
) ) )
15 simprl 733 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( S  e. 
{ RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0 )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  M ) )  /\  ( f  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  ( ( S  D n f ) `
 ( m  + 
1 ) )  e.  ( dom  f -cn-> CC ) ) )  -> 
f  e.  ( CC 
^pm  S ) )
16 recnprss 19752 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( S  e.  { RR ,  CC }  ->  S  C_  CC )
1716ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0 )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  M ) )  ->  S  C_  CC )
1817adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( S  e. 
{ RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0 )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  M ) )  /\  ( f  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  ( ( S  D n f ) `
 ( m  + 
1 ) )  e.  ( dom  f -cn-> CC ) ) )  ->  S  C_  CC )
19 simplll 735 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( S  e. 
{ RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0 )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  M ) )  /\  ( f  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  ( ( S  D n f ) `
 ( m  + 
1 ) )  e.  ( dom  f -cn-> CC ) ) )  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
20 eluznn0 10510 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  m  e.  ( ZZ>= `  M ) )  ->  m  e.  NN0 )
2120adantll 695 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0 )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  M ) )  ->  m  e.  NN0 )
2221adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( S  e. 
{ RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0 )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  M ) )  /\  ( f  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  ( ( S  D n f ) `
 ( m  + 
1 ) )  e.  ( dom  f -cn-> CC ) ) )  ->  m  e.  NN0 )
23 dvnf 19774 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  f  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( ( S  D n f ) `
 m ) : dom  ( ( S  D n f ) `
 m ) --> CC )
2419, 15, 22, 23syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( S  e. 
{ RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0 )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  M ) )  /\  ( f  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  ( ( S  D n f ) `
 ( m  + 
1 ) )  e.  ( dom  f -cn-> CC ) ) )  -> 
( ( S  D n f ) `  m ) : dom  ( ( S  D n f ) `  m ) --> CC )
25 dvnbss 19775 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  f  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  m  e.  NN0 )  ->  dom  ( ( S  D n f ) `  m ) 
C_  dom  f )
2619, 15, 22, 25syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( S  e. 
{ RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0 )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  M ) )  /\  ( f  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  ( ( S  D n f ) `
 ( m  + 
1 ) )  e.  ( dom  f -cn-> CC ) ) )  ->  dom  ( ( S  D n f ) `  m )  C_  dom  f )
27 dvnp1 19772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( S  C_  CC  /\  f  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( ( S  D n f ) `
 ( m  + 
1 ) )  =  ( S  _D  (
( S  D n
f ) `  m
) ) )
2818, 15, 22, 27syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( S  e. 
{ RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0 )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  M ) )  /\  ( f  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  ( ( S  D n f ) `
 ( m  + 
1 ) )  e.  ( dom  f -cn-> CC ) ) )  -> 
( ( S  D n f ) `  ( m  +  1
) )  =  ( S  _D  ( ( S  D n f ) `  m ) ) )
29 simprr 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( S  e. 
{ RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0 )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  M ) )  /\  ( f  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  ( ( S  D n f ) `
 ( m  + 
1 ) )  e.  ( dom  f -cn-> CC ) ) )  -> 
( ( S  D n f ) `  ( m  +  1
) )  e.  ( dom  f -cn-> CC ) )
3028, 29eqeltrrd 2487 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( S  e. 
{ RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0 )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  M ) )  /\  ( f  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  ( ( S  D n f ) `
 ( m  + 
1 ) )  e.  ( dom  f -cn-> CC ) ) )  -> 
( S  _D  (
( S  D n
f ) `  m
) )  e.  ( dom  f -cn-> CC ) )
31 cncff 18884 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( S  _D  ( ( S  D n f ) `  m ) )  e.  ( dom  f -cn-> CC )  ->  ( S  _D  ( ( S  D n f ) `
 m ) ) : dom  f --> CC )
3230, 31syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( S  e. 
{ RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0 )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  M ) )  /\  ( f  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  ( ( S  D n f ) `
 ( m  + 
1 ) )  e.  ( dom  f -cn-> CC ) ) )  -> 
( S  _D  (
( S  D n
f ) `  m
) ) : dom  f
--> CC )
33 fdm 5562 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( S  _D  ( ( S  D n f ) `  m ) ) : dom  f --> CC  ->  dom  ( S  _D  ( ( S  D n f ) `  m ) )  =  dom  f )
3432, 33syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( S  e. 
{ RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0 )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  M ) )  /\  ( f  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  ( ( S  D n f ) `
 ( m  + 
1 ) )  e.  ( dom  f -cn-> CC ) ) )  ->  dom  ( S  _D  (
( S  D n
f ) `  m
) )  =  dom  f )
35 cnex 9035 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  CC  e.  _V
36 elpm2g 7000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( CC  e.  _V  /\  S  e.  { RR ,  CC } )  -> 
( f  e.  ( CC  ^pm  S )  <->  ( f : dom  f --> CC  /\  dom  f  C_  S ) ) )
3735, 19, 36sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( S  e. 
{ RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0 )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  M ) )  /\  ( f  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  ( ( S  D n f ) `
 ( m  + 
1 ) )  e.  ( dom  f -cn-> CC ) ) )  -> 
( f  e.  ( CC  ^pm  S )  <->  ( f : dom  f --> CC  /\  dom  f  C_  S ) ) )
3815, 37mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( S  e. 
{ RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0 )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  M ) )  /\  ( f  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  ( ( S  D n f ) `
 ( m  + 
1 ) )  e.  ( dom  f -cn-> CC ) ) )  -> 
( f : dom  f
--> CC  /\  dom  f  C_  S ) )
3938simprd 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( S  e. 
{ RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0 )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  M ) )  /\  ( f  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  ( ( S  D n f ) `
 ( m  + 
1 ) )  e.  ( dom  f -cn-> CC ) ) )  ->  dom  f  C_  S )
4026, 39sstrd 3326 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( S  e. 
{ RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0 )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  M ) )  /\  ( f  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  ( ( S  D n f ) `
 ( m  + 
1 ) )  e.  ( dom  f -cn-> CC ) ) )  ->  dom  ( ( S  D n f ) `  m )  C_  S
)
4118, 24, 40dvbss 19749 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( S  e. 
{ RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0 )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  M ) )  /\  ( f  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  ( ( S  D n f ) `
 ( m  + 
1 ) )  e.  ( dom  f -cn-> CC ) ) )  ->  dom  ( S  _D  (
( S  D n
f ) `  m
) )  C_  dom  ( ( S  D n f ) `  m ) )
4234, 41eqsstr3d 3351 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( S  e. 
{ RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0 )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  M ) )  /\  ( f  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  ( ( S  D n f ) `
 ( m  + 
1 ) )  e.  ( dom  f -cn-> CC ) ) )  ->  dom  f  C_  dom  (
( S  D n
f ) `  m
) )
4326, 42eqssd 3333 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( S  e. 
{ RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0 )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  M ) )  /\  ( f  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  ( ( S  D n f ) `
 ( m  + 
1 ) )  e.  ( dom  f -cn-> CC ) ) )  ->  dom  ( ( S  D n f ) `  m )  =  dom  f )
4443feq2d 5548 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( S  e. 
{ RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0 )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  M ) )  /\  ( f  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  ( ( S  D n f ) `
 ( m  + 
1 ) )  e.  ( dom  f -cn-> CC ) ) )  -> 
( ( ( S  D n f ) `
 m ) : dom  ( ( S  D n f ) `
 m ) --> CC  <->  ( ( S  D n
f ) `  m
) : dom  f --> CC ) )
4524, 44mpbid 202 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( S  e. 
{ RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0 )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  M ) )  /\  ( f  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  ( ( S  D n f ) `
 ( m  + 
1 ) )  e.  ( dom  f -cn-> CC ) ) )  -> 
( ( S  D n f ) `  m ) : dom  f
--> CC )
46 dvcn 19768 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  ( ( S  D n f ) `  m ) : dom  f
--> CC  /\  dom  f  C_  S )  /\  dom  ( S  _D  (
( S  D n
f ) `  m
) )  =  dom  f )  ->  (
( S  D n
f ) `  m
)  e.  ( dom  f -cn-> CC ) )
4718, 45, 39, 34, 46syl31anc 1187 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( S  e. 
{ RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0 )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  M ) )  /\  ( f  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  ( ( S  D n f ) `
 ( m  + 
1 ) )  e.  ( dom  f -cn-> CC ) ) )  -> 
( ( S  D n f ) `  m )  e.  ( dom  f -cn-> CC ) )
4815, 47jca 519 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( S  e. 
{ RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0 )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  M ) )  /\  ( f  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  ( ( S  D n f ) `
 ( m  + 
1 ) )  e.  ( dom  f -cn-> CC ) ) )  -> 
( f  e.  ( CC  ^pm  S )  /\  ( ( S  D n f ) `  m )  e.  ( dom  f -cn-> CC ) ) )
4948ex 424 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0 )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  M ) )  -> 
( ( f  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  ( ( S  D n f ) `
 ( m  + 
1 ) )  e.  ( dom  f -cn-> CC ) )  ->  (
f  e.  ( CC 
^pm  S )  /\  ( ( S  D n f ) `  m )  e.  ( dom  f -cn-> CC ) ) ) )
50 peano2nn0 10224 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( m  +  1 )  e. 
NN0 )
5121, 50syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0 )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  M ) )  -> 
( m  +  1 )  e.  NN0 )
52 elcpn 19781 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  C_  CC  /\  (
m  +  1 )  e.  NN0 )  -> 
( f  e.  ( ( C ^n `  S ) `  (
m  +  1 ) )  <->  ( f  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  ( ( S  D n f ) `
 ( m  + 
1 ) )  e.  ( dom  f -cn-> CC ) ) ) )
5317, 51, 52syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0 )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  M ) )  -> 
( f  e.  ( ( C ^n `  S ) `  (
m  +  1 ) )  <->  ( f  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  ( ( S  D n f ) `
 ( m  + 
1 ) )  e.  ( dom  f -cn-> CC ) ) ) )
54 elcpn 19781 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  C_  CC  /\  m  e.  NN0 )  ->  (
f  e.  ( ( C ^n `  S
) `  m )  <->  ( f  e.  ( CC 
^pm  S )  /\  ( ( S  D n f ) `  m )  e.  ( dom  f -cn-> CC ) ) ) )
5517, 21, 54syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0 )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  M ) )  -> 
( f  e.  ( ( C ^n `  S ) `  m
)  <->  ( f  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  ( ( S  D n f ) `
 m )  e.  ( dom  f -cn-> CC ) ) ) )
5649, 53, 553imtr4d 260 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0 )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  M ) )  -> 
( f  e.  ( ( C ^n `  S ) `  (
m  +  1 ) )  ->  f  e.  ( ( C ^n
`  S ) `  m ) ) )
5756ssrdv 3322 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0 )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  M ) )  -> 
( ( C ^n
`  S ) `  ( m  +  1
) )  C_  (
( C ^n `  S ) `  m
) )
58 sstr2 3323 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C ^n `  S ) `  (
m  +  1 ) )  C_  ( (
C ^n `  S
) `  m )  ->  ( ( ( C ^n `  S ) `
 m )  C_  ( ( C ^n
`  S ) `  M )  ->  (
( C ^n `  S ) `  (
m  +  1 ) )  C_  ( (
C ^n `  S
) `  M )
) )
5957, 58syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0 )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  M ) )  -> 
( ( ( C ^n `  S ) `
 m )  C_  ( ( C ^n
`  S ) `  M )  ->  (
( C ^n `  S ) `  (
m  +  1 ) )  C_  ( (
C ^n `  S
) `  M )
) )
6059expcom 425 . . . . 5  |-  ( m  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0 )  ->  (
( ( C ^n
`  S ) `  m )  C_  (
( C ^n `  S ) `  M
)  ->  ( (
C ^n `  S
) `  ( m  +  1 ) ) 
C_  ( ( C ^n `  S ) `
 M ) ) ) )
6160a2d 24 . . . 4  |-  ( m  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( (
( S  e.  { RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( C ^n
`  S ) `  m )  C_  (
( C ^n `  S ) `  M
) )  ->  (
( S  e.  { RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( C ^n
`  S ) `  ( m  +  1
) )  C_  (
( C ^n `  S ) `  M
) ) ) )
623, 6, 9, 12, 14, 61uzind4 10498 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0 )  ->  (
( C ^n `  S ) `  N
)  C_  ( (
C ^n `  S
) `  M )
) )
6362com12 29 . 2  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0 )  ->  ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  ->  (
( C ^n `  S ) `  N
)  C_  ( (
C ^n `  S
) `  M )
) )
64633impia 1150 1  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
C ^n `  S
) `  N )  C_  ( ( C ^n
`  S ) `  M ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721   _Vcvv 2924    C_ wss 3288   {cpr 3783   dom cdm 4845   -->wf 5417   ` cfv 5421  (class class class)co 6048    ^pm cpm 6986   CCcc 8952   RRcr 8953   1c1 8955    + caddc 8957   NN0cn0 10185   ZZcz 10246   ZZ>=cuz 10452   -cn->ccncf 18867    _D cdv 19711    D ncdvn 19712   C ^nccpn 19713
This theorem is referenced by:  cpncn  19783  c1lip2  19843
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-rep 4288  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668  ax-inf2 7560  ax-cnex 9010  ax-resscn 9011  ax-1cn 9012  ax-icn 9013  ax-addcl 9014  ax-addrcl 9015  ax-mulcl 9016  ax-mulrcl 9017  ax-mulcom 9018  ax-addass 9019  ax-mulass 9020  ax-distr 9021  ax-i2m1 9022  ax-1ne0 9023  ax-1rid 9024  ax-rnegex 9025  ax-rrecex 9026  ax-cnre 9027  ax-pre-lttri 9028  ax-pre-lttrn 9029  ax-pre-ltadd 9030  ax-pre-mulgt0 9031  ax-pre-sup 9032  ax-addf 9033  ax-mulf 9034
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-nel 2578  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rmo 2682  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-pss 3304  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-tp 3790  df-op 3791  df-uni 3984  df-int 4019  df-iun 4063  df-iin 4064  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-tr 4271  df-eprel 4462  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-fr 4509  df-se 4510  df-we 4511  df-ord 4552  df-on 4553  df-lim 4554  df-suc 4555  df-om 4813  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-isom 5430  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-of 6272  df-1st 6316  df-2nd 6317  df-riota 6516  df-recs 6600  df-rdg 6635  df-1o 6691  df-2o 6692  df-oadd 6695  df-er 6872  df-map 6987  df-pm 6988  df-ixp 7031  df-en 7077  df-dom 7078  df-sdom 7079  df-fin 7080  df-fi 7382  df-sup 7412  df-oi 7443  df-card 7790  df-cda 8012  df-pnf 9086  df-mnf 9087  df-xr 9088  df-ltxr 9089  df-le 9090  df-sub 9257  df-neg 9258  df-div 9642  df-nn 9965  df-2 10022  df-3 10023  df-4 10024  df-5 10025  df-6 10026  df-7 10027  df-8 10028  df-9 10029  df-10 10030  df-n0 10186  df-z 10247  df-dec 10347  df-uz 10453  df-q 10539  df-rp 10577  df-xneg 10674  df-xadd 10675  df-xmul 10676  df-icc 10887  df-fz 11008  df-fzo 11099  df-seq 11287  df-exp 11346  df-hash 11582  df-cj 11867  df-re 11868  df-im 11869  df-sqr 12003  df-abs 12004  df-struct 13434  df-ndx 13435  df-slot 13436  df-base 13437  df-sets 13438  df-ress 13439  df-plusg 13505  df-mulr 13506  df-starv 13507  df-sca 13508  df-vsca 13509  df-tset 13511  df-ple 13512  df-ds 13514  df-unif 13515  df-hom 13516  df-cco 13517  df-rest 13613  df-topn 13614  df-topgen 13630  df-pt 13631  df-prds 13634  df-xrs 13689  df-0g 13690  df-gsum 13691  df-qtop 13696  df-imas 13697  df-xps 13699  df-mre 13774  df-mrc 13775  df-acs 13777  df-mnd 14653  df-submnd 14702  df-mulg 14778  df-cntz 15079  df-cmn 15377  df-psmet 16657  df-xmet 16658  df-met 16659  df-bl 16660  df-mopn 16661  df-fbas 16662  df-fg 16663  df-cnfld 16667  df-top 16926  df-bases 16928  df-topon 16929  df-topsp 16930  df-cld 17046  df-ntr 17047  df-cls 17048  df-nei 17125  df-lp 17163  df-perf 17164  df-cn 17253  df-cnp 17254  df-haus 17341  df-tx 17555  df-hmeo 17748  df-fil 17839  df-fm 17931  df-flim 17932  df-flf 17933  df-xms 18311  df-ms 18312  df-tms 18313  df-cncf 18869  df-limc 19714  df-dv 19715  df-dvn 19716  df-cpn 19717
  Copyright terms: Public domain W3C validator