MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cpnres Structured version   Unicode version

Theorem cpnres 19861
Description: The restriction of a  C ^n function is  C ^n. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
cpnres  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( ( C ^n
`  CC ) `  N ) )  -> 
( F  |`  S )  e.  ( ( C ^n `  S ) `
 N ) )

Proof of Theorem cpnres
StepHypRef Expression
1 simpl 445 . . 3  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( ( C ^n
`  CC ) `  N ) )  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
2 simpr 449 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( ( C ^n
`  CC ) `  N ) )  ->  F  e.  ( (
C ^n `  CC ) `  N )
)
3 ssid 3356 . . . . . 6  |-  CC  C_  CC
4 elfvdm 5788 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  ( ( C ^n `  CC ) `
 N )  ->  N  e.  dom  ( C ^n `  CC ) )
54adantl 454 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( ( C ^n
`  CC ) `  N ) )  ->  N  e.  dom  ( C ^n `  CC ) )
6 fncpn 19857 . . . . . . . . 9  |-  ( CC  C_  CC  ->  ( C ^n `  CC )  Fn 
NN0 )
73, 6ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( C ^n `  CC )  Fn  NN0
8 fndm 5579 . . . . . . . 8  |-  ( ( C ^n `  CC )  Fn  NN0  ->  dom  ( C ^n `  CC )  =  NN0 )
97, 8mp1i 12 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( ( C ^n
`  CC ) `  N ) )  ->  dom  ( C ^n `  CC )  =  NN0 )
105, 9eleqtrd 2519 . . . . . 6  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( ( C ^n
`  CC ) `  N ) )  ->  N  e.  NN0 )
11 elcpn 19858 . . . . . 6  |-  ( ( CC  C_  CC  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( F  e.  ( (
C ^n `  CC ) `  N )  <->  ( F  e.  ( CC 
^pm  CC )  /\  (
( CC  D n F ) `  N
)  e.  ( dom 
F -cn-> CC ) ) ) )
123, 10, 11sylancr 646 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( ( C ^n
`  CC ) `  N ) )  -> 
( F  e.  ( ( C ^n `  CC ) `  N )  <-> 
( F  e.  ( CC  ^pm  CC )  /\  ( ( CC  D n F ) `  N
)  e.  ( dom 
F -cn-> CC ) ) ) )
132, 12mpbid 203 . . . 4  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( ( C ^n
`  CC ) `  N ) )  -> 
( F  e.  ( CC  ^pm  CC )  /\  ( ( CC  D n F ) `  N
)  e.  ( dom 
F -cn-> CC ) ) )
1413simpld 447 . . 3  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( ( C ^n
`  CC ) `  N ) )  ->  F  e.  ( CC  ^pm 
CC ) )
15 pmresg 7077 . . 3  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  CC ) )  ->  ( F  |`  S )  e.  ( CC  ^pm  S
) )
161, 14, 15syl2anc 644 . 2  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( ( C ^n
`  CC ) `  N ) )  -> 
( F  |`  S )  e.  ( CC  ^pm  S ) )
1713simprd 451 . . . . . 6  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( ( C ^n
`  CC ) `  N ) )  -> 
( ( CC  D n F ) `  N
)  e.  ( dom 
F -cn-> CC ) )
18 cncff 18961 . . . . . 6  |-  ( ( ( CC  D n F ) `  N
)  e.  ( dom 
F -cn-> CC )  ->  (
( CC  D n F ) `  N
) : dom  F --> CC )
1917, 18syl 16 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( ( C ^n
`  CC ) `  N ) )  -> 
( ( CC  D n F ) `  N
) : dom  F --> CC )
20 fdm 5630 . . . . 5  |-  ( ( ( CC  D n F ) `  N
) : dom  F --> CC  ->  dom  ( ( CC  D n F ) `
 N )  =  dom  F )
2119, 20syl 16 . . . 4  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( ( C ^n
`  CC ) `  N ) )  ->  dom  ( ( CC  D n F ) `  N
)  =  dom  F
)
22 dvnres 19855 . . . 4  |-  ( ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm 
CC )  /\  N  e.  NN0 )  /\  dom  ( ( CC  D n F ) `  N
)  =  dom  F
)  ->  ( ( S  D n ( F  |`  S ) ) `  N )  =  ( ( ( CC  D n F ) `  N
)  |`  S ) )
231, 14, 10, 21, 22syl31anc 1188 . . 3  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( ( C ^n
`  CC ) `  N ) )  -> 
( ( S  D n ( F  |`  S ) ) `  N )  =  ( ( ( CC  D n F ) `  N
)  |`  S ) )
24 resres 5194 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( CC  D n F ) `  N
)  |`  S )  |`  dom  F )  =  ( ( ( CC  D n F ) `  N
)  |`  ( S  i^i  dom 
F ) )
25 rescom 5206 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( CC  D n F ) `  N
)  |`  S )  |`  dom  F )  =  ( ( ( ( CC  D n F ) `
 N )  |`  dom  F )  |`  S )
2624, 25eqtr3i 2465 . . . . . 6  |-  ( ( ( CC  D n F ) `  N
)  |`  ( S  i^i  dom 
F ) )  =  ( ( ( ( CC  D n F ) `  N )  |`  dom  F )  |`  S )
27 ffn 5626 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( CC  D n F ) `  N
) : dom  F --> CC  ->  ( ( CC  D n F ) `
 N )  Fn 
dom  F )
28 fnresdm 5589 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( CC  D n F ) `  N
)  Fn  dom  F  ->  ( ( ( CC  D n F ) `
 N )  |`  dom  F )  =  ( ( CC  D n F ) `  N
) )
2919, 27, 283syl 19 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( ( C ^n
`  CC ) `  N ) )  -> 
( ( ( CC  D n F ) `
 N )  |`  dom  F )  =  ( ( CC  D n F ) `  N
) )
3029reseq1d 5180 . . . . . 6  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( ( C ^n
`  CC ) `  N ) )  -> 
( ( ( ( CC  D n F ) `  N )  |`  dom  F )  |`  S )  =  ( ( ( CC  D n F ) `  N
)  |`  S ) )
3126, 30syl5eq 2487 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( ( C ^n
`  CC ) `  N ) )  -> 
( ( ( CC  D n F ) `
 N )  |`  ( S  i^i  dom  F
) )  =  ( ( ( CC  D n F ) `  N
)  |`  S ) )
32 inss2 3550 . . . . . 6  |-  ( S  i^i  dom  F )  C_ 
dom  F
33 rescncf 18965 . . . . . 6  |-  ( ( S  i^i  dom  F
)  C_  dom  F  -> 
( ( ( CC  D n F ) `
 N )  e.  ( dom  F -cn-> CC )  ->  ( (
( CC  D n F ) `  N
)  |`  ( S  i^i  dom 
F ) )  e.  ( ( S  i^i  dom 
F ) -cn-> CC ) ) )
3432, 17, 33mpsyl 62 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( ( C ^n
`  CC ) `  N ) )  -> 
( ( ( CC  D n F ) `
 N )  |`  ( S  i^i  dom  F
) )  e.  ( ( S  i^i  dom  F ) -cn-> CC ) )
3531, 34eqeltrrd 2518 . . . 4  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( ( C ^n
`  CC ) `  N ) )  -> 
( ( ( CC  D n F ) `
 N )  |`  S )  e.  ( ( S  i^i  dom  F ) -cn-> CC ) )
36 dmres 5202 . . . . 5  |-  dom  ( F  |`  S )  =  ( S  i^i  dom  F )
3736oveq1i 6127 . . . 4  |-  ( dom  ( F  |`  S )
-cn-> CC )  =  ( ( S  i^i  dom  F ) -cn-> CC )
3835, 37syl6eleqr 2534 . . 3  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( ( C ^n
`  CC ) `  N ) )  -> 
( ( ( CC  D n F ) `
 N )  |`  S )  e.  ( dom  ( F  |`  S ) -cn-> CC ) )
3923, 38eqeltrd 2517 . 2  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( ( C ^n
`  CC ) `  N ) )  -> 
( ( S  D n ( F  |`  S ) ) `  N )  e.  ( dom  ( F  |`  S ) -cn-> CC ) )
40 recnprss 19829 . . . 4  |-  ( S  e.  { RR ,  CC }  ->  S  C_  CC )
4140adantr 453 . . 3  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( ( C ^n
`  CC ) `  N ) )  ->  S  C_  CC )
42 elcpn 19858 . . 3  |-  ( ( S  C_  CC  /\  N  e.  NN0 )  ->  (
( F  |`  S )  e.  ( ( C ^n `  S ) `
 N )  <->  ( ( F  |`  S )  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  ( ( S  D n ( F  |`  S ) ) `  N )  e.  ( dom  ( F  |`  S ) -cn-> CC ) ) ) )
4341, 10, 42syl2anc 644 . 2  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( ( C ^n
`  CC ) `  N ) )  -> 
( ( F  |`  S )  e.  ( ( C ^n `  S ) `  N
)  <->  ( ( F  |`  S )  e.  ( CC  ^pm  S )  /\  ( ( S  D n ( F  |`  S ) ) `  N )  e.  ( dom  ( F  |`  S ) -cn-> CC ) ) ) )
4416, 39, 43mpbir2and 890 1  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( ( C ^n
`  CC ) `  N ) )  -> 
( F  |`  S )  e.  ( ( C ^n `  S ) `
 N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1654    e. wcel 1728    i^i cin 3308    C_ wss 3309   {cpr 3844   dom cdm 4913    |` cres 4915    Fn wfn 5484   -->wf 5485   ` cfv 5489  (class class class)co 6117    ^pm cpm 7055   CCcc 9026   RRcr 9027   NN0cn0 10259   -cn->ccncf 18944    D ncdvn 19789   C ^nccpn 19790
This theorem is referenced by:  aalioulem3  20289
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1628  ax-9 1669  ax-8 1690  ax-13 1730  ax-14 1732  ax-6 1747  ax-7 1752  ax-11 1764  ax-12 1954  ax-ext 2424  ax-rep 4351  ax-sep 4361  ax-nul 4369  ax-pow 4412  ax-pr 4438  ax-un 4736  ax-inf2 7632  ax-cnex 9084  ax-resscn 9085  ax-1cn 9086  ax-icn 9087  ax-addcl 9088  ax-addrcl 9089  ax-mulcl 9090  ax-mulrcl 9091  ax-mulcom 9092  ax-addass 9093  ax-mulass 9094  ax-distr 9095  ax-i2m1 9096  ax-1ne0 9097  ax-1rid 9098  ax-rnegex 9099  ax-rrecex 9100  ax-cnre 9101  ax-pre-lttri 9102  ax-pre-lttrn 9103  ax-pre-ltadd 9104  ax-pre-mulgt0 9105  ax-pre-sup 9106
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1661  df-eu 2292  df-mo 2293  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2717  df-rex 2718  df-reu 2719  df-rmo 2720  df-rab 2721  df-v 2967  df-sbc 3171  df-csb 3271  df-dif 3312  df-un 3314  df-in 3316  df-ss 3323  df-pss 3325  df-nul 3617  df-if 3768  df-pw 3830  df-sn 3849  df-pr 3850  df-tp 3851  df-op 3852  df-uni 4045  df-int 4080  df-iun 4124  df-iin 4125  df-br 4244  df-opab 4298  df-mpt 4299  df-tr 4334  df-eprel 4529  df-id 4533  df-po 4538  df-so 4539  df-fr 4576  df-we 4578  df-ord 4619  df-on 4620  df-lim 4621  df-suc 4622  df-om 4881  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5453  df-fun 5491  df-fn 5492  df-f 5493  df-f1 5494  df-fo 5495  df-f1o 5496  df-fv 5497  df-ov 6120  df-oprab 6121  df-mpt2 6122  df-1st 6385  df-2nd 6386  df-riota 6585  df-recs 6669  df-rdg 6704  df-1o 6760  df-oadd 6764  df-er 6941  df-map 7056  df-pm 7057  df-en 7146  df-dom 7147  df-sdom 7148  df-fin 7149  df-fi 7452  df-sup 7482  df-pnf 9160  df-mnf 9161  df-xr 9162  df-ltxr 9163  df-le 9164  df-sub 9331  df-neg 9332  df-div 9716  df-nn 10039  df-2 10096  df-3 10097  df-4 10098  df-5 10099  df-6 10100  df-7 10101  df-8 10102  df-9 10103  df-10 10104  df-n0 10260  df-z 10321  df-dec 10421  df-uz 10527  df-q 10613  df-rp 10651  df-xneg 10748  df-xadd 10749  df-xmul 10750  df-icc 10961  df-fz 11082  df-seq 11362  df-exp 11421  df-cj 11942  df-re 11943  df-im 11944  df-sqr 12078  df-abs 12079  df-struct 13509  df-ndx 13510  df-slot 13511  df-base 13512  df-plusg 13580  df-mulr 13581  df-starv 13582  df-tset 13586  df-ple 13587  df-ds 13589  df-unif 13590  df-rest 13688  df-topn 13689  df-topgen 13705  df-psmet 16732  df-xmet 16733  df-met 16734  df-bl 16735  df-mopn 16736  df-fbas 16737  df-fg 16738  df-cnfld 16742  df-top 17001  df-bases 17003  df-topon 17004  df-topsp 17005  df-cld 17121  df-ntr 17122  df-cls 17123  df-nei 17200  df-lp 17238  df-perf 17239  df-cnp 17330  df-haus 17417  df-fil 17916  df-fm 18008  df-flim 18009  df-flf 18010  df-xms 18388  df-ms 18389  df-cncf 18946  df-limc 19791  df-dv 19792  df-dvn 19793  df-cpn 19794
  Copyright terms: Public domain W3C validator