MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cpnres Unicode version

Theorem cpnres 19784
Description: The restriction of a  C ^n function is  C ^n. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
cpnres  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( ( C ^n
`  CC ) `  N ) )  -> 
( F  |`  S )  e.  ( ( C ^n `  S ) `
 N ) )

Proof of Theorem cpnres
StepHypRef Expression
1 simpl 444 . . 3  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( ( C ^n
`  CC ) `  N ) )  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
2 simpr 448 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( ( C ^n
`  CC ) `  N ) )  ->  F  e.  ( (
C ^n `  CC ) `  N )
)
3 ssid 3335 . . . . . 6  |-  CC  C_  CC
4 elfvdm 5724 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  ( ( C ^n `  CC ) `
 N )  ->  N  e.  dom  ( C ^n `  CC ) )
54adantl 453 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( ( C ^n
`  CC ) `  N ) )  ->  N  e.  dom  ( C ^n `  CC ) )
6 fncpn 19780 . . . . . . . . 9  |-  ( CC  C_  CC  ->  ( C ^n `  CC )  Fn 
NN0 )
73, 6ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( C ^n `  CC )  Fn  NN0
8 fndm 5511 . . . . . . . 8  |-  ( ( C ^n `  CC )  Fn  NN0  ->  dom  ( C ^n `  CC )  =  NN0 )
97, 8mp1i 12 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( ( C ^n
`  CC ) `  N ) )  ->  dom  ( C ^n `  CC )  =  NN0 )
105, 9eleqtrd 2488 . . . . . 6  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( ( C ^n
`  CC ) `  N ) )  ->  N  e.  NN0 )
11 elcpn 19781 . . . . . 6  |-  ( ( CC  C_  CC  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( F  e.  ( (
C ^n `  CC ) `  N )  <->  ( F  e.  ( CC 
^pm  CC )  /\  (
( CC  D n F ) `  N
)  e.  ( dom 
F -cn-> CC ) ) ) )
123, 10, 11sylancr 645 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( ( C ^n
`  CC ) `  N ) )  -> 
( F  e.  ( ( C ^n `  CC ) `  N )  <-> 
( F  e.  ( CC  ^pm  CC )  /\  ( ( CC  D n F ) `  N
)  e.  ( dom 
F -cn-> CC ) ) ) )
132, 12mpbid 202 . . . 4  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( ( C ^n
`  CC ) `  N ) )  -> 
( F  e.  ( CC  ^pm  CC )  /\  ( ( CC  D n F ) `  N
)  e.  ( dom 
F -cn-> CC ) ) )
1413simpld 446 . . 3  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( ( C ^n
`  CC ) `  N ) )  ->  F  e.  ( CC  ^pm 
CC ) )
15 pmresg 7008 . . 3  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  CC ) )  ->  ( F  |`  S )  e.  ( CC  ^pm  S
) )
161, 14, 15syl2anc 643 . 2  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( ( C ^n
`  CC ) `  N ) )  -> 
( F  |`  S )  e.  ( CC  ^pm  S ) )
1713simprd 450 . . . . . 6  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( ( C ^n
`  CC ) `  N ) )  -> 
( ( CC  D n F ) `  N
)  e.  ( dom 
F -cn-> CC ) )
18 cncff 18884 . . . . . 6  |-  ( ( ( CC  D n F ) `  N
)  e.  ( dom 
F -cn-> CC )  ->  (
( CC  D n F ) `  N
) : dom  F --> CC )
1917, 18syl 16 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( ( C ^n
`  CC ) `  N ) )  -> 
( ( CC  D n F ) `  N
) : dom  F --> CC )
20 fdm 5562 . . . . 5  |-  ( ( ( CC  D n F ) `  N
) : dom  F --> CC  ->  dom  ( ( CC  D n F ) `
 N )  =  dom  F )
2119, 20syl 16 . . . 4  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( ( C ^n
`  CC ) `  N ) )  ->  dom  ( ( CC  D n F ) `  N
)  =  dom  F
)
22 dvnres 19778 . . . 4  |-  ( ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm 
CC )  /\  N  e.  NN0 )  /\  dom  ( ( CC  D n F ) `  N
)  =  dom  F
)  ->  ( ( S  D n ( F  |`  S ) ) `  N )  =  ( ( ( CC  D n F ) `  N
)  |`  S ) )
231, 14, 10, 21, 22syl31anc 1187 . . 3  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( ( C ^n
`  CC ) `  N ) )  -> 
( ( S  D n ( F  |`  S ) ) `  N )  =  ( ( ( CC  D n F ) `  N
)  |`  S ) )
24 resres 5126 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( CC  D n F ) `  N
)  |`  S )  |`  dom  F )  =  ( ( ( CC  D n F ) `  N
)  |`  ( S  i^i  dom 
F ) )
25 rescom 5138 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( CC  D n F ) `  N
)  |`  S )  |`  dom  F )  =  ( ( ( ( CC  D n F ) `
 N )  |`  dom  F )  |`  S )
2624, 25eqtr3i 2434 . . . . . 6  |-  ( ( ( CC  D n F ) `  N
)  |`  ( S  i^i  dom 
F ) )  =  ( ( ( ( CC  D n F ) `  N )  |`  dom  F )  |`  S )
27 ffn 5558 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( CC  D n F ) `  N
) : dom  F --> CC  ->  ( ( CC  D n F ) `
 N )  Fn 
dom  F )
28 fnresdm 5521 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( CC  D n F ) `  N
)  Fn  dom  F  ->  ( ( ( CC  D n F ) `
 N )  |`  dom  F )  =  ( ( CC  D n F ) `  N
) )
2919, 27, 283syl 19 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( ( C ^n
`  CC ) `  N ) )  -> 
( ( ( CC  D n F ) `
 N )  |`  dom  F )  =  ( ( CC  D n F ) `  N
) )
3029reseq1d 5112 . . . . . 6  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( ( C ^n
`  CC ) `  N ) )  -> 
( ( ( ( CC  D n F ) `  N )  |`  dom  F )  |`  S )  =  ( ( ( CC  D n F ) `  N
)  |`  S ) )
3126, 30syl5eq 2456 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( ( C ^n
`  CC ) `  N ) )  -> 
( ( ( CC  D n F ) `
 N )  |`  ( S  i^i  dom  F
) )  =  ( ( ( CC  D n F ) `  N
)  |`  S ) )
32 inss2 3530 . . . . . 6  |-  ( S  i^i  dom  F )  C_ 
dom  F
33 rescncf 18888 . . . . . 6  |-  ( ( S  i^i  dom  F
)  C_  dom  F  -> 
( ( ( CC  D n F ) `
 N )  e.  ( dom  F -cn-> CC )  ->  ( (
( CC  D n F ) `  N
)  |`  ( S  i^i  dom 
F ) )  e.  ( ( S  i^i  dom 
F ) -cn-> CC ) ) )
3432, 17, 33mpsyl 61 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( ( C ^n
`  CC ) `  N ) )  -> 
( ( ( CC  D n F ) `
 N )  |`  ( S  i^i  dom  F
) )  e.  ( ( S  i^i  dom  F ) -cn-> CC ) )
3531, 34eqeltrrd 2487 . . . 4  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( ( C ^n
`  CC ) `  N ) )  -> 
( ( ( CC  D n F ) `
 N )  |`  S )  e.  ( ( S  i^i  dom  F ) -cn-> CC ) )
36 dmres 5134 . . . . 5  |-  dom  ( F  |`  S )  =  ( S  i^i  dom  F )
3736oveq1i 6058 . . . 4  |-  ( dom  ( F  |`  S )
-cn-> CC )  =  ( ( S  i^i  dom  F ) -cn-> CC )
3835, 37syl6eleqr 2503 . . 3  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( ( C ^n
`  CC ) `  N ) )  -> 
( ( ( CC  D n F ) `
 N )  |`  S )  e.  ( dom  ( F  |`  S ) -cn-> CC ) )
3923, 38eqeltrd 2486 . 2  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( ( C ^n
`  CC ) `  N ) )  -> 
( ( S  D n ( F  |`  S ) ) `  N )  e.  ( dom  ( F  |`  S ) -cn-> CC ) )
40 recnprss 19752 . . . 4  |-  ( S  e.  { RR ,  CC }  ->  S  C_  CC )
4140adantr 452 . . 3  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( ( C ^n
`  CC ) `  N ) )  ->  S  C_  CC )
42 elcpn 19781 . . 3  |-  ( ( S  C_  CC  /\  N  e.  NN0 )  ->  (
( F  |`  S )  e.  ( ( C ^n `  S ) `
 N )  <->  ( ( F  |`  S )  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  ( ( S  D n ( F  |`  S ) ) `  N )  e.  ( dom  ( F  |`  S ) -cn-> CC ) ) ) )
4341, 10, 42syl2anc 643 . 2  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( ( C ^n
`  CC ) `  N ) )  -> 
( ( F  |`  S )  e.  ( ( C ^n `  S ) `  N
)  <->  ( ( F  |`  S )  e.  ( CC  ^pm  S )  /\  ( ( S  D n ( F  |`  S ) ) `  N )  e.  ( dom  ( F  |`  S ) -cn-> CC ) ) ) )
4416, 39, 43mpbir2and 889 1  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( ( C ^n
`  CC ) `  N ) )  -> 
( F  |`  S )  e.  ( ( C ^n `  S ) `
 N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721    i^i cin 3287    C_ wss 3288   {cpr 3783   dom cdm 4845    |` cres 4847    Fn wfn 5416   -->wf 5417   ` cfv 5421  (class class class)co 6048    ^pm cpm 6986   CCcc 8952   RRcr 8953   NN0cn0 10185   -cn->ccncf 18867    D ncdvn 19712   C ^nccpn 19713
This theorem is referenced by:  aalioulem3  20212
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-rep 4288  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668  ax-inf2 7560  ax-cnex 9010  ax-resscn 9011  ax-1cn 9012  ax-icn 9013  ax-addcl 9014  ax-addrcl 9015  ax-mulcl 9016  ax-mulrcl 9017  ax-mulcom 9018  ax-addass 9019  ax-mulass 9020  ax-distr 9021  ax-i2m1 9022  ax-1ne0 9023  ax-1rid 9024  ax-rnegex 9025  ax-rrecex 9026  ax-cnre 9027  ax-pre-lttri 9028  ax-pre-lttrn 9029  ax-pre-ltadd 9030  ax-pre-mulgt0 9031  ax-pre-sup 9032
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-nel 2578  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rmo 2682  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-pss 3304  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-tp 3790  df-op 3791  df-uni 3984  df-int 4019  df-iun 4063  df-iin 4064  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-tr 4271  df-eprel 4462  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-fr 4509  df-we 4511  df-ord 4552  df-on 4553  df-lim 4554  df-suc 4555  df-om 4813  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-1st 6316  df-2nd 6317  df-riota 6516  df-recs 6600  df-rdg 6635  df-1o 6691  df-oadd 6695  df-er 6872  df-map 6987  df-pm 6988  df-en 7077  df-dom 7078  df-sdom 7079  df-fin 7080  df-fi 7382  df-sup 7412  df-pnf 9086  df-mnf 9087  df-xr 9088  df-ltxr 9089  df-le 9090  df-sub 9257  df-neg 9258  df-div 9642  df-nn 9965  df-2 10022  df-3 10023  df-4 10024  df-5 10025  df-6 10026  df-7 10027  df-8 10028  df-9 10029  df-10 10030  df-n0 10186  df-z 10247  df-dec 10347  df-uz 10453  df-q 10539  df-rp 10577  df-xneg 10674  df-xadd 10675  df-xmul 10676  df-icc 10887  df-fz 11008  df-seq 11287  df-exp 11346  df-cj 11867  df-re 11868  df-im 11869  df-sqr 12003  df-abs 12004  df-struct 13434  df-ndx 13435  df-slot 13436  df-base 13437  df-plusg 13505  df-mulr 13506  df-starv 13507  df-tset 13511  df-ple 13512  df-ds 13514  df-unif 13515  df-rest 13613  df-topn 13614  df-topgen 13630  df-psmet 16657  df-xmet 16658  df-met 16659  df-bl 16660  df-mopn 16661  df-fbas 16662  df-fg 16663  df-cnfld 16667  df-top 16926  df-bases 16928  df-topon 16929  df-topsp 16930  df-cld 17046  df-ntr 17047  df-cls 17048  df-nei 17125  df-lp 17163  df-perf 17164  df-cnp 17254  df-haus 17341  df-fil 17839  df-fm 17931  df-flim 17932  df-flf 17933  df-xms 18311  df-ms 18312  df-cncf 18869  df-limc 19714  df-dv 19715  df-dvn 19716  df-cpn 19717
  Copyright terms: Public domain W3C validator