MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  crngridl Unicode version

Theorem crngridl 16237
Description: In a commutative ring, the left and right ideals coincide. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
crng2idl.i  |-  I  =  (LIdeal `  R )
crngridl.o  |-  O  =  (oppr
`  R )
Assertion
Ref Expression
crngridl  |-  ( R  e.  CRing  ->  I  =  (LIdeal `  O ) )

Proof of Theorem crngridl
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 crng2idl.i . 2  |-  I  =  (LIdeal `  R )
2 eqidd 2389 . . . 4  |-  ( R  e.  CRing  ->  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
)
3 crngridl.o . . . . . 6  |-  O  =  (oppr
`  R )
4 eqid 2388 . . . . . 6  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
53, 4opprbas 15662 . . . . 5  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  O )
65a1i 11 . . . 4  |-  ( R  e.  CRing  ->  ( Base `  R )  =  (
Base `  O )
)
7 ssv 3312 . . . . 5  |-  ( Base `  R )  C_  _V
87a1i 11 . . . 4  |-  ( R  e.  CRing  ->  ( Base `  R )  C_  _V )
9 eqid 2388 . . . . . . 7  |-  ( +g  `  R )  =  ( +g  `  R )
103, 9oppradd 15663 . . . . . 6  |-  ( +g  `  R )  =  ( +g  `  O )
1110oveqi 6034 . . . . 5  |-  ( x ( +g  `  R
) y )  =  ( x ( +g  `  O ) y )
1211a1i 11 . . . 4  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  (
x  e.  _V  /\  y  e.  _V )
)  ->  ( x
( +g  `  R ) y )  =  ( x ( +g  `  O
) y ) )
13 ovex 6046 . . . . 5  |-  ( x ( .r `  R
) y )  e. 
_V
1413a1i 11 . . . 4  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  (
x  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( Base `  R
) ) )  -> 
( x ( .r
`  R ) y )  e.  _V )
15 eqid 2388 . . . . . 6  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
16 eqid 2388 . . . . . 6  |-  ( .r
`  O )  =  ( .r `  O
)
174, 15, 3, 16crngoppr 15660 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
)  ->  ( x
( .r `  R
) y )  =  ( x ( .r
`  O ) y ) )
18173expb 1154 . . . 4  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  (
x  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( Base `  R
) ) )  -> 
( x ( .r
`  R ) y )  =  ( x ( .r `  O
) y ) )
192, 6, 8, 12, 14, 18lidlrsppropd 16229 . . 3  |-  ( R  e.  CRing  ->  ( (LIdeal `  R )  =  (LIdeal `  O )  /\  (RSpan `  R )  =  (RSpan `  O ) ) )
2019simpld 446 . 2  |-  ( R  e.  CRing  ->  (LIdeal `  R
)  =  (LIdeal `  O ) )
211, 20syl5eq 2432 1  |-  ( R  e.  CRing  ->  I  =  (LIdeal `  O ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   _Vcvv 2900    C_ wss 3264   ` cfv 5395  (class class class)co 6021   Basecbs 13397   +g cplusg 13457   .rcmulr 13458   CRingccrg 15589  opprcoppr 15655  LIdealclidl 16170  RSpancrsp 16171
This theorem is referenced by:  crng2idl  16238
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-rep 4262  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642  ax-cnex 8980  ax-resscn 8981  ax-1cn 8982  ax-icn 8983  ax-addcl 8984  ax-addrcl 8985  ax-mulcl 8986  ax-mulrcl 8987  ax-mulcom 8988  ax-addass 8989  ax-mulass 8990  ax-distr 8991  ax-i2m1 8992  ax-1ne0 8993  ax-1rid 8994  ax-rnegex 8995  ax-rrecex 8996  ax-cnre 8997  ax-pre-lttri 8998  ax-pre-lttrn 8999  ax-pre-ltadd 9000  ax-pre-mulgt0 9001
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-nel 2554  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-pss 3280  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-tp 3766  df-op 3767  df-uni 3959  df-int 3994  df-iun 4038  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-tr 4245  df-eprel 4436  df-id 4440  df-po 4445  df-so 4446  df-fr 4483  df-we 4485  df-ord 4526  df-on 4527  df-lim 4528  df-suc 4529  df-om 4787  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-tpos 6416  df-riota 6486  df-recs 6570  df-rdg 6605  df-er 6842  df-en 7047  df-dom 7048  df-sdom 7049  df-pnf 9056  df-mnf 9057  df-xr 9058  df-ltxr 9059  df-le 9060  df-sub 9226  df-neg 9227  df-nn 9934  df-2 9991  df-3 9992  df-4 9993  df-5 9994  df-6 9995  df-ndx 13400  df-slot 13401  df-base 13402  df-sets 13403  df-ress 13404  df-plusg 13470  df-mulr 13471  df-sca 13473  df-vsca 13474  df-cmn 15342  df-mgp 15577  df-cring 15592  df-oppr 15656  df-lss 15937  df-lsp 15976  df-sra 16172  df-rgmod 16173  df-lidl 16174  df-rsp 16175
  Copyright terms: Public domain W3C validator