MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  crngrng Unicode version

Theorem crngrng 15351
Description: A commutative ring is a ring. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
crngrng  |-  ( R  e.  CRing  ->  R  e.  Ring )

Proof of Theorem crngrng
StepHypRef Expression
1 eqid 2283 . . 3  |-  (mulGrp `  R )  =  (mulGrp `  R )
21iscrng 15348 . 2  |-  ( R  e.  CRing 
<->  ( R  e.  Ring  /\  (mulGrp `  R )  e. CMnd ) )
32simplbi 446 1  |-  ( R  e.  CRing  ->  R  e.  Ring )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1684   ` cfv 5255  CMndccmn 15089  mulGrpcmgp 15325   Ringcrg 15337   CRingccrg 15338
This theorem is referenced by:  prdscrngd  15396  dvdsunit  15445  unitmulclb  15447  unitabl  15450  divscrng  15992  sraassa  16065  rlmassa  16066  asclrhm  16081  psrcrng  16157  psrassa  16158  mplcrng  16197  mplassa  16198  mplcoe2  16211  mplbas2  16212  mplmon2mul  16242  mplind  16243  evlslem2  16249  ply1crng  16277  ply1assa  16278  ply1coe  16368  cnrng  16396  znzrh2  16499  zncyg  16502  zndvds0  16504  znf1o  16505  zzngim  16506  znfld  16514  znchr  16516  znunit  16517  znrrg  16519  cygznlem3  16523  evlslem6  19397  evlslem3  19398  evlslem1  19399  evlseu  19400  evlsval2  19404  evlrhm  19409  evl1val  19411  evl1rhm  19412  evl1sca  19413  evl1scad  19414  evl1var  19415  evl1vard  19416  evl1subd  19418  evl1expd  19421  mpfind  19428  pf1const  19429  pf1id  19430  pf1ind  19438  fta1glem1  19551  fta1g  19553  fta1blem  19554  dchrelbas3  20477  dchrelbasd  20478  dchrzrh1  20483  dchrzrhmul  20485  dchrmulcl  20488  dchrn0  20489  dchrfi  20494  dchrghm  20495  dchrabs  20499  dchrinv  20500  dchrptlem1  20503  dchrptlem2  20504  dchrptlem3  20505  dchrsum2  20507  dchrhash  20510  sum2dchr  20513  lgsqrlem1  20580  lgsqrlem2  20581  lgsqrlem3  20582  lgsqrlem4  20583  lgsdchr  20587  lgseisenlem3  20590  lgseisenlem4  20591  dchrisum0flblem1  20657  dchrisum0re  20662  frlmpwfi  27262  isnumbasgrplem3  27270  mamuvs2  27464  matassa  27481  mendlmod  27501  idomrootle  27511  idomodle  27512
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-iota 5219  df-fv 5263  df-cring 15341
  Copyright terms: Public domain W3C validator