MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  crngrng Unicode version

Theorem crngrng 15367
Description: A commutative ring is a ring. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
crngrng  |-  ( R  e.  CRing  ->  R  e.  Ring )

Proof of Theorem crngrng
StepHypRef Expression
1 eqid 2296 . . 3  |-  (mulGrp `  R )  =  (mulGrp `  R )
21iscrng 15364 . 2  |-  ( R  e.  CRing 
<->  ( R  e.  Ring  /\  (mulGrp `  R )  e. CMnd ) )
32simplbi 446 1  |-  ( R  e.  CRing  ->  R  e.  Ring )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1696   ` cfv 5271  CMndccmn 15105  mulGrpcmgp 15341   Ringcrg 15353   CRingccrg 15354
This theorem is referenced by:  prdscrngd  15412  dvdsunit  15461  unitmulclb  15463  unitabl  15466  divscrng  16008  sraassa  16081  rlmassa  16082  asclrhm  16097  psrcrng  16173  psrassa  16174  mplcrng  16213  mplassa  16214  mplcoe2  16227  mplbas2  16228  mplmon2mul  16258  mplind  16259  evlslem2  16265  ply1crng  16293  ply1assa  16294  ply1coe  16384  cnrng  16412  znzrh2  16515  zncyg  16518  zndvds0  16520  znf1o  16521  zzngim  16522  znfld  16530  znchr  16532  znunit  16533  znrrg  16535  cygznlem3  16539  evlslem6  19413  evlslem3  19414  evlslem1  19415  evlseu  19416  evlsval2  19420  evlrhm  19425  evl1val  19427  evl1rhm  19428  evl1sca  19429  evl1scad  19430  evl1var  19431  evl1vard  19432  evl1subd  19434  evl1expd  19437  mpfind  19444  pf1const  19445  pf1id  19446  pf1ind  19454  fta1glem1  19567  fta1g  19569  fta1blem  19570  dchrelbas3  20493  dchrelbasd  20494  dchrzrh1  20499  dchrzrhmul  20501  dchrmulcl  20504  dchrn0  20505  dchrfi  20510  dchrghm  20511  dchrabs  20515  dchrinv  20516  dchrptlem1  20519  dchrptlem2  20520  dchrptlem3  20521  dchrsum2  20523  dchrhash  20526  sum2dchr  20529  lgsqrlem1  20596  lgsqrlem2  20597  lgsqrlem3  20598  lgsqrlem4  20599  lgsdchr  20603  lgseisenlem3  20606  lgseisenlem4  20607  dchrisum0flblem1  20673  dchrisum0re  20678  frlmpwfi  27365  isnumbasgrplem3  27373  mamuvs2  27567  matassa  27584  mendlmod  27604  idomrootle  27614  idomodle  27615
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-iota 5235  df-fv 5279  df-cring 15357
  Copyright terms: Public domain W3C validator