MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  crngrng Structured version   Unicode version

Theorem crngrng 15674
Description: A commutative ring is a ring. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
crngrng  |-  ( R  e.  CRing  ->  R  e.  Ring )

Proof of Theorem crngrng
StepHypRef Expression
1 eqid 2436 . . 3  |-  (mulGrp `  R )  =  (mulGrp `  R )
21iscrng 15671 . 2  |-  ( R  e.  CRing 
<->  ( R  e.  Ring  /\  (mulGrp `  R )  e. CMnd ) )
32simplbi 447 1  |-  ( R  e.  CRing  ->  R  e.  Ring )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1725   ` cfv 5454  CMndccmn 15412  mulGrpcmgp 15648   Ringcrg 15660   CRingccrg 15661
This theorem is referenced by:  prdscrngd  15719  dvdsunit  15768  unitmulclb  15770  unitabl  15773  divscrng  16311  sraassa  16384  rlmassa  16385  asclrhm  16400  psrcrng  16476  psrassa  16477  mplcrng  16516  mplassa  16517  mplcoe2  16530  mplbas2  16531  mplmon2mul  16561  mplind  16562  evlslem2  16568  ply1crng  16596  ply1assa  16597  ply1coe  16684  cnrng  16723  znzrh2  16826  zncyg  16829  zndvds0  16831  znf1o  16832  zzngim  16833  znfld  16841  znchr  16843  znunit  16844  znrrg  16846  cygznlem3  16850  evlslem6  19934  evlslem3  19935  evlslem1  19936  evlseu  19937  evlsval2  19941  evlrhm  19946  evl1val  19948  evl1rhm  19949  evl1sca  19950  evl1scad  19951  evl1var  19952  evl1vard  19953  evl1subd  19955  evl1expd  19958  mpfind  19965  pf1const  19966  pf1id  19967  pf1ind  19975  fta1glem1  20088  fta1g  20090  fta1blem  20091  dchrelbas3  21022  dchrelbasd  21023  dchrzrh1  21028  dchrzrhmul  21030  dchrmulcl  21033  dchrn0  21034  dchrfi  21039  dchrghm  21040  dchrabs  21044  dchrinv  21045  dchrptlem1  21048  dchrptlem2  21049  dchrptlem3  21050  dchrsum2  21052  dchrhash  21055  sum2dchr  21058  lgsqrlem1  21125  lgsqrlem2  21126  lgsqrlem3  21127  lgsqrlem4  21128  lgsdchr  21132  lgseisenlem3  21135  lgseisenlem4  21136  dchrisum0flblem1  21202  dchrisum0re  21207  rdivmuldivd  24227  ofldaddlt  24241  ofld0le1  24242  subofld  24245  zzs0  24267  re0g  24273  frlmpwfi  27239  isnumbasgrplem3  27247  mamuvs2  27441  matassa  27458  mendlmod  27478  idomrootle  27488  idomodle  27489
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2958  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-br 4213  df-iota 5418  df-fv 5462  df-cring 15664
  Copyright terms: Public domain W3C validator