Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  crt Structured version   Unicode version

Theorem crt 13159
 Description: The Chinese Remainder Theorem: the function that maps to its remainder classes and is 1-1 and onto when and are coprime. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 2-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
crt.1 ..^
crt.2 ..^ ..^
crt.3
crt.4
Assertion
Ref Expression
crt
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem crt
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfzoelz 11132 . . . . . 6 ..^
2 crt.1 . . . . . 6 ..^
31, 2eleq2s 2527 . . . . 5
4 simpr 448 . . . . . . . 8
5 crt.4 . . . . . . . . . 10
65simp1d 969 . . . . . . . . 9
76adantr 452 . . . . . . . 8
8 zmodfzo 11261 . . . . . . . 8 ..^
94, 7, 8syl2anc 643 . . . . . . 7 ..^
105simp2d 970 . . . . . . . . 9
1110adantr 452 . . . . . . . 8
12 zmodfzo 11261 . . . . . . . 8 ..^
134, 11, 12syl2anc 643 . . . . . . 7 ..^
14 opelxpi 4902 . . . . . . 7 ..^ ..^ ..^ ..^
159, 13, 14syl2anc 643 . . . . . 6 ..^ ..^
16 crt.2 . . . . . 6 ..^ ..^
1715, 16syl6eleqr 2526 . . . . 5
183, 17sylan2 461 . . . 4
19 crt.3 . . . 4
2018, 19fmptd 5885 . . 3
21 oveq1 6080 . . . . . . . . . 10
22 oveq1 6080 . . . . . . . . . 10
2321, 22opeq12d 3984 . . . . . . . . 9
24 opex 4419 . . . . . . . . 9
2523, 19, 24fvmpt 5798 . . . . . . . 8
2625ad2antrl 709 . . . . . . 7
27 oveq1 6080 . . . . . . . . . 10
28 oveq1 6080 . . . . . . . . . 10
2927, 28opeq12d 3984 . . . . . . . . 9
30 opex 4419 . . . . . . . . 9
3129, 19, 30fvmpt 5798 . . . . . . . 8
3231ad2antll 710 . . . . . . 7
3326, 32eqeq12d 2449 . . . . . 6
34 ovex 6098 . . . . . . 7
35 ovex 6098 . . . . . . 7
3634, 35opth 4427 . . . . . 6
3733, 36syl6bb 253 . . . . 5
386adantr 452 . . . . . . . 8
3938nnzd 10366 . . . . . . 7
4010adantr 452 . . . . . . . 8
4140nnzd 10366 . . . . . . 7
42 simprl 733 . . . . . . . . . 10
4342, 2syl6eleq 2525 . . . . . . . . 9 ..^
44 elfzoelz 11132 . . . . . . . . 9 ..^
4543, 44syl 16 . . . . . . . 8
46 simprr 734 . . . . . . . . . 10
4746, 2syl6eleq 2525 . . . . . . . . 9 ..^
48 elfzoelz 11132 . . . . . . . . 9 ..^
4947, 48syl 16 . . . . . . . 8
5045, 49zsubcld 10372 . . . . . . 7
515simp3d 971 . . . . . . . 8
5251adantr 452 . . . . . . 7
53 coprmdvds2 13095 . . . . . . 7
5439, 41, 50, 52, 53syl31anc 1187 . . . . . 6
55 moddvds 12851 . . . . . . . 8
5638, 45, 49, 55syl3anc 1184 . . . . . . 7
57 moddvds 12851 . . . . . . . 8
5840, 45, 49, 57syl3anc 1184 . . . . . . 7
5956, 58anbi12d 692 . . . . . 6
6045zred 10367 . . . . . . . . 9
6138, 40nnmulcld 10039 . . . . . . . . . 10
6261nnrpd 10639 . . . . . . . . 9
63 elfzole1 11139 . . . . . . . . . 10 ..^
6443, 63syl 16 . . . . . . . . 9
65 elfzolt2 11140 . . . . . . . . . 10 ..^
6643, 65syl 16 . . . . . . . . 9
67 modid 11262 . . . . . . . . 9
6860, 62, 64, 66, 67syl22anc 1185 . . . . . . . 8
6949zred 10367 . . . . . . . . 9
70 elfzole1 11139 . . . . . . . . . 10 ..^
7147, 70syl 16 . . . . . . . . 9
72 elfzolt2 11140 . . . . . . . . . 10 ..^
7347, 72syl 16 . . . . . . . . 9
74 modid 11262 . . . . . . . . 9
7569, 62, 71, 73, 74syl22anc 1185 . . . . . . . 8
7668, 75eqeq12d 2449 . . . . . . 7
77 moddvds 12851 . . . . . . . 8
7861, 45, 49, 77syl3anc 1184 . . . . . . 7
7976, 78bitr3d 247 . . . . . 6
8054, 59, 793imtr4d 260 . . . . 5
8137, 80sylbid 207 . . . 4
8281ralrimivva 2790 . . 3
83 dff13 5996 . . 3
8420, 82, 83sylanbrc 646 . 2
85 nnnn0 10220 . . . . . 6
86 nnnn0 10220 . . . . . 6
87 nn0mulcl 10248 . . . . . . . . 9
88 hashfzo0 11687 . . . . . . . . 9 ..^
8987, 88syl 16 . . . . . . . 8 ..^
90 fzofi 11305 . . . . . . . . . 10 ..^
91 fzofi 11305 . . . . . . . . . 10 ..^
92 hashxp 11689 . . . . . . . . . 10 ..^ ..^ ..^ ..^ ..^ ..^
9390, 91, 92mp2an 654 . . . . . . . . 9 ..^ ..^ ..^ ..^
94 hashfzo0 11687 . . . . . . . . . 10 ..^
95 hashfzo0 11687 . . . . . . . . . 10 ..^
9694, 95oveqan12d 6092 . . . . . . . . 9 ..^ ..^
9793, 96syl5eq 2479 . . . . . . . 8 ..^ ..^
9889, 97eqtr4d 2470 . . . . . . 7 ..^ ..^ ..^
99 fzofi 11305 . . . . . . . 8 ..^
100 xpfi 7370 . . . . . . . . 9 ..^ ..^ ..^ ..^
10190, 91, 100mp2an 654 . . . . . . . 8 ..^ ..^
102 hashen 11623 . . . . . . . 8 ..^ ..^ ..^ ..^ ..^ ..^ ..^ ..^ ..^
10399, 101, 102mp2an 654 . . . . . . 7 ..^ ..^ ..^ ..^ ..^ ..^
10498, 103sylib 189 . . . . . 6 ..^ ..^ ..^
10585, 86, 104syl2an 464 . . . . 5 ..^ ..^ ..^
1066, 10, 105syl2anc 643 . . . 4 ..^ ..^ ..^
107106, 2, 163brtr4g 4236 . . 3
10816, 101eqeltri 2505 . . 3
109 f1finf1o 7327 . . 3
110107, 108, 109sylancl 644 . 2
11184, 110mpbid 202 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   w3a 936   wceq 1652   wcel 1725  wral 2697  cop 3809   class class class wbr 4204   cmpt 4258   cxp 4868  wf 5442  wf1 5443  wf1o 5445  cfv 5446  (class class class)co 6073   cen 7098  cfn 7101  cr 8981  cc0 8982  c1 8983   cmul 8987   clt 9112   cle 9113   cmin 9283  cn 9992  cn0 10213  cz 10274  crp 10604  ..^cfzo 11127   cmo 11242  chash 11610   cdivides 12844   cgcd 12998 This theorem is referenced by:  phimullem  13160 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-sup 7438  df-card 7818  df-cda 8040  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-rp 10605  df-fz 11036  df-fzo 11128  df-fl 11194  df-mod 11243  df-seq 11316  df-exp 11375  df-hash 11611  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-sqr 12032  df-abs 12033  df-dvds 12845  df-gcd 12999
 Copyright terms: Public domain W3C validator