Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cru Unicode version

Theorem cru 9825
 Description: The representation of complex numbers in terms of real and imaginary parts is unique. Proposition 10-1.3 of [Gleason] p. 130. (Contributed by NM, 9-May-1999.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
cru

Proof of Theorem cru
StepHypRef Expression
1 simplrl 736 . . . . . . 7
21recnd 8948 . . . . . 6
3 simplll 734 . . . . . . 7
43recnd 8948 . . . . . 6
5 simpr 447 . . . . . . . 8
6 ax-icn 8883 . . . . . . . . . . 11
76a1i 10 . . . . . . . . . 10
8 simpllr 735 . . . . . . . . . . 11
98recnd 8948 . . . . . . . . . 10
107, 9mulcld 8942 . . . . . . . . 9
11 simplrr 737 . . . . . . . . . . 11
1211recnd 8948 . . . . . . . . . 10
137, 12mulcld 8942 . . . . . . . . 9
144, 10, 2, 13addsubeq4d 9295 . . . . . . . 8
155, 14mpbid 201 . . . . . . 7
168, 11resubcld 9298 . . . . . . . . . . 11
177, 9, 12subdid 9322 . . . . . . . . . . . . 13
1817, 15eqtr4d 2393 . . . . . . . . . . . 12
191, 3resubcld 9298 . . . . . . . . . . . 12
2018, 19eqeltrd 2432 . . . . . . . . . . 11
21 rimul 9824 . . . . . . . . . . 11
2216, 20, 21syl2anc 642 . . . . . . . . . 10
239, 12, 22subeq0d 9252 . . . . . . . . 9
2423oveq2d 5958 . . . . . . . 8
2524oveq1d 5957 . . . . . . 7
2613subidd 9232 . . . . . . 7
2715, 25, 263eqtrd 2394 . . . . . 6
282, 4, 27subeq0d 9252 . . . . 5
2928eqcomd 2363 . . . 4
3029, 23jca 518 . . 3
3130ex 423 . 2
32 oveq2 5950 . . 3
33 oveq12 5951 . . 3
3432, 33sylan2 460 . 2
3531, 34impbid1 194 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 176   wa 358   wceq 1642   wcel 1710  (class class class)co 5942  cc 8822  cr 8823  cc0 8824  ci 8826   caddc 8827   cmul 8829   cmin 9124 This theorem is referenced by:  crne0  9826  creur  9827  creui  9828  cnref1o  10438  efieq  12534 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-sep 4220  ax-nul 4228  ax-pow 4267  ax-pr 4293  ax-un 4591  ax-resscn 8881  ax-1cn 8882  ax-icn 8883  ax-addcl 8884  ax-addrcl 8885  ax-mulcl 8886  ax-mulrcl 8887  ax-mulcom 8888  ax-addass 8889  ax-mulass 8890  ax-distr 8891  ax-i2m1 8892  ax-1ne0 8893  ax-1rid 8894  ax-rnegex 8895  ax-rrecex 8896  ax-cnre 8897  ax-pre-lttri 8898  ax-pre-lttrn 8899  ax-pre-ltadd 8900  ax-pre-mulgt0 8901 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rmo 2627  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-op 3725  df-uni 3907  df-br 4103  df-opab 4157  df-mpt 4158  df-id 4388  df-po 4393  df-so 4394  df-xp 4774  df-rel 4775  df-cnv 4776  df-co 4777  df-dm 4778  df-rn 4779  df-res 4780  df-ima 4781  df-iota 5298  df-fun 5336  df-fn 5337  df-f 5338  df-f1 5339  df-fo 5340  df-f1o 5341  df-fv 5342  df-ov 5945  df-oprab 5946  df-mpt2 5947  df-riota 6388  df-er 6744  df-en 6949  df-dom 6950  df-sdom 6951  df-pnf 8956  df-mnf 8957  df-xr 8958  df-ltxr 8959  df-le 8960  df-sub 9126  df-neg 9127  df-div 9511
 Copyright terms: Public domain W3C validator