Theorem csbima12g 3419

Description: Move class substitution in and out of the image of a function. (Contributed by FL, 15-Dec-2006.)

Assertion

Ref	Expression
csbima12g	|- (A e. C -> [_A / x]_(F"B) = ([_A / x]_F"[_A / x]_B))

Proof of Theorem csbima12g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-17 973	. . . 4 |- (A e. C -> A.y A e. C)
2		ax-17 973	. . . . 5 |- (z e. A -> A.y z e. A)
3	2	hbcsb1g 2027	. . . 4 |- (A e. C -> (z e. [_A / y]_[_y / x]_F -> A.y z e. [_A / y]_[_y / x]_F))
4	2	hbcsb1g 2027	. . . 4 |- (A e. C -> (z e. [_A / y]_[_y / x]_B -> A.y z e. [_A / y]_[_y / x]_B))
5	1, 3, 4	hbimad 3418	. . 3 |- (A e. C -> (z e. ([_A / y]_[_y / x]_F"[_A / y]_[_y / x]_B) -> A.y z e. ([_A / y]_[_y / x]_F"[_A / y]_[_y / x]_B)))
6		a9e 1127	. . . . . 6 |- E.x x = y
7		visset 1816	. . . . . . . . 9 |- y e. V
8		ax-17 973	. . . . . . . . 9 |- (z e. y -> A.x z e. y)
9	7, 8	hbcsb1 2028	. . . . . . . 8 |- (z e. [_y / x]_(F"B) -> A.x z e. [_y / x]_(F"B))
10	7, 8	hbcsb1 2028	. . . . . . . . 9 |- (z e. [_y / x]_F -> A.x z e. [_y / x]_F)
11	7, 8	hbcsb1 2028	. . . . . . . . 9 |- (z e. [_y / x]_B -> A.x z e. [_y / x]_B)
12	10, 11	hbima 3417	. . . . . . . 8 |- (z e. ([_y / x]_F"[_y / x]_B) -> A.x z e. ([_y / x]_F"[_y / x]_B))
13	9, 12	hbeq 1568	. . . . . . 7 |- ([_y / x]_(F"B) = ([_y / x]_F"[_y / x]_B) -> A.x[_y / x]_(F"B) = ([_y / x]_F"[_y / x]_B))
14		csbeq1a 2009	. . . . . . . . 9 |- (x = y -> F = [_y / x]_F)
15	14	imaeq1d 3409	. . . . . . . 8 |- (x = y -> (F"B) = ([_y / x]_F"B))
16		csbeq1a 2009	. . . . . . . 8 |- (x = y -> (F"B) = [_y / x]_(F"B))
17		csbeq1a 2009	. . . . . . . . 9 |- (x = y -> B = [_y / x]_B)
18	17	imaeq2d 3410	. . . . . . . 8 |- (x = y -> ([_y / x]_F"B) = ([_y / x]_F"[_y / x]_B))
19	15, 16, 18	3eqtr3d 1518	. . . . . . 7 |- (x = y -> [_y / x]_(F"B) = ([_y / x]_F"[_y / x]_B))
20	13, 19	19.23ai 1066	. . . . . 6 |- (E.x x = y -> [_y / x]_(F"B) = ([_y / x]_F"[_y / x]_B))
21	6, 20	ax-mp 7	. . . . 5 |- [_y / x]_(F"B) = ([_y / x]_F"[_y / x]_B)
22	21	a1i 8	. . . 4 |- (y = A -> [_y / x]_(F"B) = ([_y / x]_F"[_y / x]_B))
23		csbeq1a 2009	. . . . 5 |- (y = A -> [_y / x]_F = [_A / y]_[_y / x]_F)
24	23	imaeq1d 3409	. . . 4 |- (y = A -> ([_y / x]_F"[_y / x]_B) = ([_A / y]_[_y / x]_F"[_y / x]_B))
25		csbeq1a 2009	. . . . 5 |- (y = A -> [_y / x]_B = [_A / y]_[_y / x]_B)
26	25	imaeq2d 3410	. . . 4 |- (y = A -> ([_A / y]_[_y / x]_F"[_y / x]_B) = ([_A / y]_[_y / x]_F"[_A / y]_[_y / x]_B))
27	22, 24, 26	3eqtrd 1514	. . 3 |- (y = A -> [_y / x]_(F"B) = ([_A / y]_[_y / x]_F"[_A / y]_[_y / x]_B))
28	5, 27	csbiegf 2034	. 2 |- (A e. C -> [_A / y]_[_y / x]_(F"B) = ([_A / y]_[_y / x]_F"[_A / y]_[_y / x]_B))
29		csbcog 2010	. 2 |- (A e. C -> [_A / y]_[_y / x]_(F"B) = [_A / x]_(F"B))
30		csbcog 2010	. . . 4 |- (A e. C -> [_A / y]_[_y / x]_F = [_A / x]_F)
31	30	imaeq1d 3409	. . 3 |- (A e. C -> ([_A / y]_[_y / x]_F"[_A / y]_[_y / x]_B) = ([_A / x]_F"[_A / y]_[_y / x]_B))
32		csbcog 2010	. . . 4 |- (A e. C -> [_A / y]_[_y / x]_B = [_A / x]_B)
33	32	imaeq2d 3410	. . 3 |- (A e. C -> ([_A / x]_F"[_A / y]_[_y / x]_B) = ([_A / x]_F"[_A / x]_B))
34	31, 33	eqtrd 1510	. 2 |- (A e. C -> ([_A / y]_[_y / x]_F"[_A / y]_[_y / x]_B) = ([_A / x]_F"[_A / x]_B))
35	28, 29, 34	3eqtr3d 1518	1 |- (A e. C -> [_A / x]_(F"B) = ([_A / x]_F"[_A / x]_B))

Syntax hints:   -> wi 3   = wceq 958   e. wcel 960  E.wex 982  [_csb 2004  "cima 3179

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-sep 2708  ax-pow 2748  ax-pr 2785

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-rex 1653  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-op 2420  df-br 2625  df-opab 2672  df-xp 3190  df-cnv 3192  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197

Copyright terms: Public domain