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Theorem csbingVD 28660
Description: Virtual deduction proof of csbing 3376. The following User's Proof is a Virtual Deduction proof completed automatically by the tools program completeusersproof.cmd, which invokes Mel O'Cat's mmj2 and Norm Megill's Metamath Proof Assistant. csbing 3376 is csbingVD 28660 without virtual deductions and was automatically derived from csbingVD 28660.
1::  |-  (. A  e.  B  ->.  A  e.  B ).
2::  |-  ( C  i^i  D )  =  { y  |  ( y  e.  C  /\  y  e.  D )  }
20:2:  |-  A. x ( C  i^i  D )  =  { y  |  ( y  e.  C  /\  y  e.  D ) }
30:1,20:  |-  (. A  e.  B  ->.  [. A  /  x ]. ( C  i^i  D )  =  { y  |  ( y  e.  C  /\  y  e.  D ) } ).
3:1,30:  |-  (. A  e.  B  ->.  [_ A  /  x ]_ ( C  i^i  D )  =  [_ A  /  x ]_ { y  |  ( y  e.  C  /\  y  e.  D ) } ).
4:1:  |-  (. A  e.  B  ->.  [_ A  /  x ]_ { y  |  ( y  e.  C  /\  y  e.  D ) }  =  { y  |  [. A  /  x ]. ( y  e.  C  /\  y  e.  D ) } ).
5:3,4:  |-  (. A  e.  B  ->.  [_ A  /  x ]_ ( C  i^i  D )  =  { y  |  [. A  /  x ]. ( y  e.  C  /\  y  e.  D ) } ).
6:1:  |-  (. A  e.  B  ->.  ( [. A  /  x ]. y  e.  C  <->  y  e.  [_ A  /  x ]_ C ) ).
7:1:  |-  (. A  e.  B  ->.  ( [. A  /  x ]. y  e.  D  <->  y  e.  [_ A  /  x ]_ D ) ).
8:6,7:  |-  (. A  e.  B  ->.  ( ( [. A  /  x ]. y  e.  C  /\  [. A  /  x ]. y  e.  D )  <->  ( y  e.  [_ A  /  x ]_ C  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ D )  ) ).
9:1:  |-  (. A  e.  B  ->.  ( [. A  /  x ]. ( y  e.  C  /\  y  e.  D )  <->  ( [. A  /  x ]. y  e.  C  /\  [. A  /  x ]. y  e.  D ) ) ).
10:9,8:  |-  (. A  e.  B  ->.  ( [. A  /  x ]. ( y  e.  C  /\  y  e.  D )  <->  ( y  e.  [_ A  /  x ]_ C  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ D ) ) ).
11:10:  |-  (. A  e.  B  ->.  A. y ( [. A  /  x ]. ( y  e.  C  /\  y  e.  D )  <->  ( y  e.  [_ A  /  x ]_ C  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ D ) ) ).
12:11:  |-  (. A  e.  B  ->.  { y  |  [. A  /  x ]. ( y  e.  C  /\  y  e.  D ) }  =  { y  |  ( y  e.  [_ A  /  x ]_ C  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ D ) } ).
13:5,12:  |-  (. A  e.  B  ->.  [_ A  /  x ]_ ( C  i^i  D )  =  { y  |  ( y  e.  [_ A  /  x ]_ C  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ D ) } ).
14::  |-  ( [_ A  /  x ]_ C  i^i  [_ A  /  x ]_ D )  =  {  y  |  ( y  e.  [_ A  /  x ]_ C  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ D ) }
15:13,14:  |-  (. A  e.  B  ->.  [_ A  /  x ]_ ( C  i^i  D )  =  ( [_ A  /  x ]_ C  i^i  [_ A  /  x ]_ D ) ).
qed:15:  |-  ( A  e.  B  ->  [_ A  /  x ]_ ( C  i^i  D )  =  (  [_ A  /  x ]_ C  i^i  [_ A  /  x ]_ D ) )
(Contributed by Alan Sare, 22-Jul-2012.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
csbingVD  |-  ( A  e.  B  ->  [_ A  /  x ]_ ( C  i^i  D )  =  ( [_ A  /  x ]_ C  i^i  [_ A  /  x ]_ D ) )

Proof of Theorem csbingVD
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 idn1 28342 . . . . . 6  |-  (. A  e.  B  ->.  A  e.  B ).
2 df-in 3159 . . . . . . . 8  |-  ( C  i^i  D )  =  { y  |  ( y  e.  C  /\  y  e.  D ) }
32ax-gen 1533 . . . . . . 7  |-  A. x
( C  i^i  D
)  =  { y  |  ( y  e.  C  /\  y  e.  D ) }
4 spsbc 3003 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  B  ->  ( A. x ( C  i^i  D )  =  { y  |  ( y  e.  C  /\  y  e.  D ) }  ->  [. A  /  x ]. ( C  i^i  D )  =  { y  |  ( y  e.  C  /\  y  e.  D
) } ) )
51, 3, 4e10 28467 . . . . . 6  |-  (. A  e.  B  ->.  [. A  /  x ]. ( C  i^i  D
)  =  { y  |  ( y  e.  C  /\  y  e.  D ) } ).
6 sbceqg 3097 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  B  ->  ( [. A  /  x ]. ( C  i^i  D
)  =  { y  |  ( y  e.  C  /\  y  e.  D ) }  <->  [_ A  /  x ]_ ( C  i^i  D )  =  [_ A  /  x ]_ { y  |  ( y  e.  C  /\  y  e.  D ) } ) )
76biimpd 198 . . . . . 6  |-  ( A  e.  B  ->  ( [. A  /  x ]. ( C  i^i  D
)  =  { y  |  ( y  e.  C  /\  y  e.  D ) }  ->  [_ A  /  x ]_ ( C  i^i  D )  =  [_ A  /  x ]_ { y  |  ( y  e.  C  /\  y  e.  D
) } ) )
81, 5, 7e11 28460 . . . . 5  |-  (. A  e.  B  ->.  [_ A  /  x ]_ ( C  i^i  D
)  =  [_ A  /  x ]_ { y  |  ( y  e.  C  /\  y  e.  D ) } ).
9 csbabg 3142 . . . . . 6  |-  ( A  e.  B  ->  [_ A  /  x ]_ { y  |  ( y  e.  C  /\  y  e.  D ) }  =  { y  |  [. A  /  x ]. (
y  e.  C  /\  y  e.  D ) } )
101, 9e1_ 28399 . . . . 5  |-  (. A  e.  B  ->.  [_ A  /  x ]_ { y  |  ( y  e.  C  /\  y  e.  D ) }  =  { y  |  [. A  /  x ]. ( y  e.  C  /\  y  e.  D
) } ).
11 eqeq1 2289 . . . . . 6  |-  ( [_ A  /  x ]_ ( C  i^i  D )  = 
[_ A  /  x ]_ { y  |  ( y  e.  C  /\  y  e.  D ) }  ->  ( [_ A  /  x ]_ ( C  i^i  D )  =  { y  |  [. A  /  x ]. (
y  e.  C  /\  y  e.  D ) } 
<-> 
[_ A  /  x ]_ { y  |  ( y  e.  C  /\  y  e.  D ) }  =  { y  |  [. A  /  x ]. ( y  e.  C  /\  y  e.  D
) } ) )
1211biimprd 214 . . . . 5  |-  ( [_ A  /  x ]_ ( C  i^i  D )  = 
[_ A  /  x ]_ { y  |  ( y  e.  C  /\  y  e.  D ) }  ->  ( [_ A  /  x ]_ { y  |  ( y  e.  C  /\  y  e.  D ) }  =  { y  |  [. A  /  x ]. (
y  e.  C  /\  y  e.  D ) }  ->  [_ A  /  x ]_ ( C  i^i  D
)  =  { y  |  [. A  /  x ]. ( y  e.  C  /\  y  e.  D ) } ) )
138, 10, 12e11 28460 . . . 4  |-  (. A  e.  B  ->.  [_ A  /  x ]_ ( C  i^i  D
)  =  { y  |  [. A  /  x ]. ( y  e.  C  /\  y  e.  D ) } ).
14 sbcang 3034 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  B  ->  ( [. A  /  x ]. ( y  e.  C  /\  y  e.  D
)  <->  ( [. A  /  x ]. y  e.  C  /\  [. A  /  x ]. y  e.  D ) ) )
151, 14e1_ 28399 . . . . . . 7  |-  (. A  e.  B  ->.  ( [. A  /  x ]. ( y  e.  C  /\  y  e.  D )  <->  ( [. A  /  x ]. y  e.  C  /\  [. A  /  x ]. y  e.  D ) ) ).
16 sbcel2g 3102 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  B  ->  ( [. A  /  x ]. y  e.  C  <->  y  e.  [_ A  /  x ]_ C ) )
171, 16e1_ 28399 . . . . . . . 8  |-  (. A  e.  B  ->.  ( [. A  /  x ]. y  e.  C  <->  y  e.  [_ A  /  x ]_ C
) ).
18 sbcel2g 3102 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  B  ->  ( [. A  /  x ]. y  e.  D  <->  y  e.  [_ A  /  x ]_ D ) )
191, 18e1_ 28399 . . . . . . . 8  |-  (. A  e.  B  ->.  ( [. A  /  x ]. y  e.  D  <->  y  e.  [_ A  /  x ]_ D
) ).
20 pm4.38 842 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( [. A  /  x ]. y  e.  C  <->  y  e.  [_ A  /  x ]_ C )  /\  ( [. A  /  x ]. y  e.  D  <->  y  e.  [_ A  /  x ]_ D ) )  ->  ( ( [. A  /  x ]. y  e.  C  /\  [. A  /  x ]. y  e.  D )  <->  ( y  e.  [_ A  /  x ]_ C  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ D ) ) )
2120ex 423 . . . . . . . 8  |-  ( (
[. A  /  x ]. y  e.  C  <->  y  e.  [_ A  /  x ]_ C )  -> 
( ( [. A  /  x ]. y  e.  D  <->  y  e.  [_ A  /  x ]_ D
)  ->  ( ( [. A  /  x ]. y  e.  C  /\  [. A  /  x ]. y  e.  D
)  <->  ( y  e. 
[_ A  /  x ]_ C  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ D ) ) ) )
2217, 19, 21e11 28460 . . . . . . 7  |-  (. A  e.  B  ->.  ( ( [. A  /  x ]. y  e.  C  /\  [. A  /  x ]. y  e.  D )  <->  ( y  e.  [_ A  /  x ]_ C  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ D ) ) ).
23 bibi1 317 . . . . . . . 8  |-  ( (
[. A  /  x ]. ( y  e.  C  /\  y  e.  D
)  <->  ( [. A  /  x ]. y  e.  C  /\  [. A  /  x ]. y  e.  D ) )  -> 
( ( [. A  /  x ]. ( y  e.  C  /\  y  e.  D )  <->  ( y  e.  [_ A  /  x ]_ C  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ D ) )  <->  ( ( [. A  /  x ]. y  e.  C  /\  [. A  /  x ]. y  e.  D
)  <->  ( y  e. 
[_ A  /  x ]_ C  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ D ) ) ) )
2423biimprd 214 . . . . . . 7  |-  ( (
[. A  /  x ]. ( y  e.  C  /\  y  e.  D
)  <->  ( [. A  /  x ]. y  e.  C  /\  [. A  /  x ]. y  e.  D ) )  -> 
( ( ( [. A  /  x ]. y  e.  C  /\  [. A  /  x ]. y  e.  D )  <->  ( y  e.  [_ A  /  x ]_ C  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ D ) )  -> 
( [. A  /  x ]. ( y  e.  C  /\  y  e.  D
)  <->  ( y  e. 
[_ A  /  x ]_ C  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ D ) ) ) )
2515, 22, 24e11 28460 . . . . . 6  |-  (. A  e.  B  ->.  ( [. A  /  x ]. ( y  e.  C  /\  y  e.  D )  <->  ( y  e.  [_ A  /  x ]_ C  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ D ) ) ).
2625gen11 28388 . . . . 5  |-  (. A  e.  B  ->.  A. y ( [. A  /  x ]. (
y  e.  C  /\  y  e.  D )  <->  ( y  e.  [_ A  /  x ]_ C  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ D ) ) ).
27 abbi 2393 . . . . . 6  |-  ( A. y ( [. A  /  x ]. ( y  e.  C  /\  y  e.  D )  <->  ( y  e.  [_ A  /  x ]_ C  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ D ) )  <->  { y  |  [. A  /  x ]. ( y  e.  C  /\  y  e.  D
) }  =  {
y  |  ( y  e.  [_ A  /  x ]_ C  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ D ) } )
2827biimpi 186 . . . . 5  |-  ( A. y ( [. A  /  x ]. ( y  e.  C  /\  y  e.  D )  <->  ( y  e.  [_ A  /  x ]_ C  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ D ) )  ->  { y  |  [. A  /  x ]. (
y  e.  C  /\  y  e.  D ) }  =  { y  |  ( y  e. 
[_ A  /  x ]_ C  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ D ) } )
2926, 28e1_ 28399 . . . 4  |-  (. A  e.  B  ->.  { y  | 
[. A  /  x ]. ( y  e.  C  /\  y  e.  D
) }  =  {
y  |  ( y  e.  [_ A  /  x ]_ C  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ D ) } ).
30 eqeq1 2289 . . . . 5  |-  ( [_ A  /  x ]_ ( C  i^i  D )  =  { y  |  [. A  /  x ]. (
y  e.  C  /\  y  e.  D ) }  ->  ( [_ A  /  x ]_ ( C  i^i  D )  =  { y  |  ( y  e.  [_ A  /  x ]_ C  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ D ) }  <->  { y  |  [. A  /  x ]. (
y  e.  C  /\  y  e.  D ) }  =  { y  |  ( y  e. 
[_ A  /  x ]_ C  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ D ) } ) )
3130biimprd 214 . . . 4  |-  ( [_ A  /  x ]_ ( C  i^i  D )  =  { y  |  [. A  /  x ]. (
y  e.  C  /\  y  e.  D ) }  ->  ( { y  |  [. A  /  x ]. ( y  e.  C  /\  y  e.  D ) }  =  { y  |  ( y  e.  [_ A  /  x ]_ C  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ D ) }  ->  [_ A  /  x ]_ ( C  i^i  D
)  =  { y  |  ( y  e. 
[_ A  /  x ]_ C  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ D ) } ) )
3213, 29, 31e11 28460 . . 3  |-  (. A  e.  B  ->.  [_ A  /  x ]_ ( C  i^i  D
)  =  { y  |  ( y  e. 
[_ A  /  x ]_ C  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ D ) } ).
33 df-in 3159 . . 3  |-  ( [_ A  /  x ]_ C  i^i  [_ A  /  x ]_ D )  =  {
y  |  ( y  e.  [_ A  /  x ]_ C  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ D ) }
34 eqeq2 2292 . . . 4  |-  ( (
[_ A  /  x ]_ C  i^i  [_ A  /  x ]_ D )  =  { y  |  ( y  e.  [_ A  /  x ]_ C  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ D ) }  ->  ( [_ A  /  x ]_ ( C  i^i  D )  =  ( [_ A  /  x ]_ C  i^i  [_ A  /  x ]_ D )  <->  [_ A  /  x ]_ ( C  i^i  D
)  =  { y  |  ( y  e. 
[_ A  /  x ]_ C  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ D ) } ) )
3534biimprcd 216 . . 3  |-  ( [_ A  /  x ]_ ( C  i^i  D )  =  { y  |  ( y  e.  [_ A  /  x ]_ C  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ D ) }  ->  ( ( [_ A  /  x ]_ C  i^i  [_ A  /  x ]_ D )  =  {
y  |  ( y  e.  [_ A  /  x ]_ C  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ D ) }  ->  [_ A  /  x ]_ ( C  i^i  D )  =  ( [_ A  /  x ]_ C  i^i  [_ A  /  x ]_ D ) ) )
3632, 33, 35e10 28467 . 2  |-  (. A  e.  B  ->.  [_ A  /  x ]_ ( C  i^i  D
)  =  ( [_ A  /  x ]_ C  i^i  [_ A  /  x ]_ D ) ).
3736in1 28339 1  |-  ( A  e.  B  ->  [_ A  /  x ]_ ( C  i^i  D )  =  ( [_ A  /  x ]_ C  i^i  [_ A  /  x ]_ D ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   A.wal 1527    = wceq 1623    e. wcel 1684   {cab 2269   [.wsbc 2991   [_csb 3081    i^i cin 3151
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-in 3159  df-vd1 28338
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