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Theorem csbingVD 28976
Description: Virtual deduction proof of csbing 3389. The following User's Proof is a Virtual Deduction proof completed automatically by the tools program completeusersproof.cmd, which invokes Mel O'Cat's mmj2 and Norm Megill's Metamath Proof Assistant. csbing 3389 is csbingVD 28976 without virtual deductions and was automatically derived from csbingVD 28976.
1::  |-  (. A  e.  B  ->.  A  e.  B ).
2::  |-  ( C  i^i  D )  =  { y  |  ( y  e.  C  /\  y  e.  D )  }
20:2:  |-  A. x ( C  i^i  D )  =  { y  |  ( y  e.  C  /\  y  e.  D ) }
30:1,20:  |-  (. A  e.  B  ->.  [. A  /  x ]. ( C  i^i  D )  =  { y  |  ( y  e.  C  /\  y  e.  D ) } ).
3:1,30:  |-  (. A  e.  B  ->.  [_ A  /  x ]_ ( C  i^i  D )  =  [_ A  /  x ]_ { y  |  ( y  e.  C  /\  y  e.  D ) } ).
4:1:  |-  (. A  e.  B  ->.  [_ A  /  x ]_ { y  |  ( y  e.  C  /\  y  e.  D ) }  =  { y  |  [. A  /  x ]. ( y  e.  C  /\  y  e.  D ) } ).
5:3,4:  |-  (. A  e.  B  ->.  [_ A  /  x ]_ ( C  i^i  D )  =  { y  |  [. A  /  x ]. ( y  e.  C  /\  y  e.  D ) } ).
6:1:  |-  (. A  e.  B  ->.  ( [. A  /  x ]. y  e.  C  <->  y  e.  [_ A  /  x ]_ C ) ).
7:1:  |-  (. A  e.  B  ->.  ( [. A  /  x ]. y  e.  D  <->  y  e.  [_ A  /  x ]_ D ) ).
8:6,7:  |-  (. A  e.  B  ->.  ( ( [. A  /  x ]. y  e.  C  /\  [. A  /  x ]. y  e.  D )  <->  ( y  e.  [_ A  /  x ]_ C  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ D )  ) ).
9:1:  |-  (. A  e.  B  ->.  ( [. A  /  x ]. ( y  e.  C  /\  y  e.  D )  <->  ( [. A  /  x ]. y  e.  C  /\  [. A  /  x ]. y  e.  D ) ) ).
10:9,8:  |-  (. A  e.  B  ->.  ( [. A  /  x ]. ( y  e.  C  /\  y  e.  D )  <->  ( y  e.  [_ A  /  x ]_ C  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ D ) ) ).
11:10:  |-  (. A  e.  B  ->.  A. y ( [. A  /  x ]. ( y  e.  C  /\  y  e.  D )  <->  ( y  e.  [_ A  /  x ]_ C  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ D ) ) ).
12:11:  |-  (. A  e.  B  ->.  { y  |  [. A  /  x ]. ( y  e.  C  /\  y  e.  D ) }  =  { y  |  ( y  e.  [_ A  /  x ]_ C  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ D ) } ).
13:5,12:  |-  (. A  e.  B  ->.  [_ A  /  x ]_ ( C  i^i  D )  =  { y  |  ( y  e.  [_ A  /  x ]_ C  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ D ) } ).
14::  |-  ( [_ A  /  x ]_ C  i^i  [_ A  /  x ]_ D )  =  {  y  |  ( y  e.  [_ A  /  x ]_ C  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ D ) }
15:13,14:  |-  (. A  e.  B  ->.  [_ A  /  x ]_ ( C  i^i  D )  =  ( [_ A  /  x ]_ C  i^i  [_ A  /  x ]_ D ) ).
qed:15:  |-  ( A  e.  B  ->  [_ A  /  x ]_ ( C  i^i  D )  =  (  [_ A  /  x ]_ C  i^i  [_ A  /  x ]_ D ) )
(Contributed by Alan Sare, 22-Jul-2012.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
csbingVD  |-  ( A  e.  B  ->  [_ A  /  x ]_ ( C  i^i  D )  =  ( [_ A  /  x ]_ C  i^i  [_ A  /  x ]_ D ) )

Proof of Theorem csbingVD
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 idn1 28641 . . . . . 6  |-  (. A  e.  B  ->.  A  e.  B ).
2 df-in 3172 . . . . . . . 8  |-  ( C  i^i  D )  =  { y  |  ( y  e.  C  /\  y  e.  D ) }
32ax-gen 1536 . . . . . . 7  |-  A. x
( C  i^i  D
)  =  { y  |  ( y  e.  C  /\  y  e.  D ) }
4 spsbc 3016 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  B  ->  ( A. x ( C  i^i  D )  =  { y  |  ( y  e.  C  /\  y  e.  D ) }  ->  [. A  /  x ]. ( C  i^i  D )  =  { y  |  ( y  e.  C  /\  y  e.  D
) } ) )
51, 3, 4e10 28772 . . . . . 6  |-  (. A  e.  B  ->.  [. A  /  x ]. ( C  i^i  D
)  =  { y  |  ( y  e.  C  /\  y  e.  D ) } ).
6 sbceqg 3110 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  B  ->  ( [. A  /  x ]. ( C  i^i  D
)  =  { y  |  ( y  e.  C  /\  y  e.  D ) }  <->  [_ A  /  x ]_ ( C  i^i  D )  =  [_ A  /  x ]_ { y  |  ( y  e.  C  /\  y  e.  D ) } ) )
76biimpd 198 . . . . . 6  |-  ( A  e.  B  ->  ( [. A  /  x ]. ( C  i^i  D
)  =  { y  |  ( y  e.  C  /\  y  e.  D ) }  ->  [_ A  /  x ]_ ( C  i^i  D )  =  [_ A  /  x ]_ { y  |  ( y  e.  C  /\  y  e.  D
) } ) )
81, 5, 7e11 28765 . . . . 5  |-  (. A  e.  B  ->.  [_ A  /  x ]_ ( C  i^i  D
)  =  [_ A  /  x ]_ { y  |  ( y  e.  C  /\  y  e.  D ) } ).
9 csbabg 3155 . . . . . 6  |-  ( A  e.  B  ->  [_ A  /  x ]_ { y  |  ( y  e.  C  /\  y  e.  D ) }  =  { y  |  [. A  /  x ]. (
y  e.  C  /\  y  e.  D ) } )
101, 9e1_ 28704 . . . . 5  |-  (. A  e.  B  ->.  [_ A  /  x ]_ { y  |  ( y  e.  C  /\  y  e.  D ) }  =  { y  |  [. A  /  x ]. ( y  e.  C  /\  y  e.  D
) } ).
11 eqeq1 2302 . . . . . 6  |-  ( [_ A  /  x ]_ ( C  i^i  D )  = 
[_ A  /  x ]_ { y  |  ( y  e.  C  /\  y  e.  D ) }  ->  ( [_ A  /  x ]_ ( C  i^i  D )  =  { y  |  [. A  /  x ]. (
y  e.  C  /\  y  e.  D ) } 
<-> 
[_ A  /  x ]_ { y  |  ( y  e.  C  /\  y  e.  D ) }  =  { y  |  [. A  /  x ]. ( y  e.  C  /\  y  e.  D
) } ) )
1211biimprd 214 . . . . 5  |-  ( [_ A  /  x ]_ ( C  i^i  D )  = 
[_ A  /  x ]_ { y  |  ( y  e.  C  /\  y  e.  D ) }  ->  ( [_ A  /  x ]_ { y  |  ( y  e.  C  /\  y  e.  D ) }  =  { y  |  [. A  /  x ]. (
y  e.  C  /\  y  e.  D ) }  ->  [_ A  /  x ]_ ( C  i^i  D
)  =  { y  |  [. A  /  x ]. ( y  e.  C  /\  y  e.  D ) } ) )
138, 10, 12e11 28765 . . . 4  |-  (. A  e.  B  ->.  [_ A  /  x ]_ ( C  i^i  D
)  =  { y  |  [. A  /  x ]. ( y  e.  C  /\  y  e.  D ) } ).
14 sbcang 3047 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  B  ->  ( [. A  /  x ]. ( y  e.  C  /\  y  e.  D
)  <->  ( [. A  /  x ]. y  e.  C  /\  [. A  /  x ]. y  e.  D ) ) )
151, 14e1_ 28704 . . . . . . 7  |-  (. A  e.  B  ->.  ( [. A  /  x ]. ( y  e.  C  /\  y  e.  D )  <->  ( [. A  /  x ]. y  e.  C  /\  [. A  /  x ]. y  e.  D ) ) ).
16 sbcel2g 3115 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  B  ->  ( [. A  /  x ]. y  e.  C  <->  y  e.  [_ A  /  x ]_ C ) )
171, 16e1_ 28704 . . . . . . . 8  |-  (. A  e.  B  ->.  ( [. A  /  x ]. y  e.  C  <->  y  e.  [_ A  /  x ]_ C
) ).
18 sbcel2g 3115 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  B  ->  ( [. A  /  x ]. y  e.  D  <->  y  e.  [_ A  /  x ]_ D ) )
191, 18e1_ 28704 . . . . . . . 8  |-  (. A  e.  B  ->.  ( [. A  /  x ]. y  e.  D  <->  y  e.  [_ A  /  x ]_ D
) ).
20 pm4.38 842 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( [. A  /  x ]. y  e.  C  <->  y  e.  [_ A  /  x ]_ C )  /\  ( [. A  /  x ]. y  e.  D  <->  y  e.  [_ A  /  x ]_ D ) )  ->  ( ( [. A  /  x ]. y  e.  C  /\  [. A  /  x ]. y  e.  D )  <->  ( y  e.  [_ A  /  x ]_ C  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ D ) ) )
2120ex 423 . . . . . . . 8  |-  ( (
[. A  /  x ]. y  e.  C  <->  y  e.  [_ A  /  x ]_ C )  -> 
( ( [. A  /  x ]. y  e.  D  <->  y  e.  [_ A  /  x ]_ D
)  ->  ( ( [. A  /  x ]. y  e.  C  /\  [. A  /  x ]. y  e.  D
)  <->  ( y  e. 
[_ A  /  x ]_ C  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ D ) ) ) )
2217, 19, 21e11 28765 . . . . . . 7  |-  (. A  e.  B  ->.  ( ( [. A  /  x ]. y  e.  C  /\  [. A  /  x ]. y  e.  D )  <->  ( y  e.  [_ A  /  x ]_ C  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ D ) ) ).
23 bibi1 317 . . . . . . . 8  |-  ( (
[. A  /  x ]. ( y  e.  C  /\  y  e.  D
)  <->  ( [. A  /  x ]. y  e.  C  /\  [. A  /  x ]. y  e.  D ) )  -> 
( ( [. A  /  x ]. ( y  e.  C  /\  y  e.  D )  <->  ( y  e.  [_ A  /  x ]_ C  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ D ) )  <->  ( ( [. A  /  x ]. y  e.  C  /\  [. A  /  x ]. y  e.  D
)  <->  ( y  e. 
[_ A  /  x ]_ C  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ D ) ) ) )
2423biimprd 214 . . . . . . 7  |-  ( (
[. A  /  x ]. ( y  e.  C  /\  y  e.  D
)  <->  ( [. A  /  x ]. y  e.  C  /\  [. A  /  x ]. y  e.  D ) )  -> 
( ( ( [. A  /  x ]. y  e.  C  /\  [. A  /  x ]. y  e.  D )  <->  ( y  e.  [_ A  /  x ]_ C  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ D ) )  -> 
( [. A  /  x ]. ( y  e.  C  /\  y  e.  D
)  <->  ( y  e. 
[_ A  /  x ]_ C  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ D ) ) ) )
2515, 22, 24e11 28765 . . . . . 6  |-  (. A  e.  B  ->.  ( [. A  /  x ]. ( y  e.  C  /\  y  e.  D )  <->  ( y  e.  [_ A  /  x ]_ C  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ D ) ) ).
2625gen11 28693 . . . . 5  |-  (. A  e.  B  ->.  A. y ( [. A  /  x ]. (
y  e.  C  /\  y  e.  D )  <->  ( y  e.  [_ A  /  x ]_ C  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ D ) ) ).
27 abbi 2406 . . . . . 6  |-  ( A. y ( [. A  /  x ]. ( y  e.  C  /\  y  e.  D )  <->  ( y  e.  [_ A  /  x ]_ C  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ D ) )  <->  { y  |  [. A  /  x ]. ( y  e.  C  /\  y  e.  D
) }  =  {
y  |  ( y  e.  [_ A  /  x ]_ C  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ D ) } )
2827biimpi 186 . . . . 5  |-  ( A. y ( [. A  /  x ]. ( y  e.  C  /\  y  e.  D )  <->  ( y  e.  [_ A  /  x ]_ C  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ D ) )  ->  { y  |  [. A  /  x ]. (
y  e.  C  /\  y  e.  D ) }  =  { y  |  ( y  e. 
[_ A  /  x ]_ C  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ D ) } )
2926, 28e1_ 28704 . . . 4  |-  (. A  e.  B  ->.  { y  | 
[. A  /  x ]. ( y  e.  C  /\  y  e.  D
) }  =  {
y  |  ( y  e.  [_ A  /  x ]_ C  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ D ) } ).
30 eqeq1 2302 . . . . 5  |-  ( [_ A  /  x ]_ ( C  i^i  D )  =  { y  |  [. A  /  x ]. (
y  e.  C  /\  y  e.  D ) }  ->  ( [_ A  /  x ]_ ( C  i^i  D )  =  { y  |  ( y  e.  [_ A  /  x ]_ C  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ D ) }  <->  { y  |  [. A  /  x ]. (
y  e.  C  /\  y  e.  D ) }  =  { y  |  ( y  e. 
[_ A  /  x ]_ C  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ D ) } ) )
3130biimprd 214 . . . 4  |-  ( [_ A  /  x ]_ ( C  i^i  D )  =  { y  |  [. A  /  x ]. (
y  e.  C  /\  y  e.  D ) }  ->  ( { y  |  [. A  /  x ]. ( y  e.  C  /\  y  e.  D ) }  =  { y  |  ( y  e.  [_ A  /  x ]_ C  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ D ) }  ->  [_ A  /  x ]_ ( C  i^i  D
)  =  { y  |  ( y  e. 
[_ A  /  x ]_ C  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ D ) } ) )
3213, 29, 31e11 28765 . . 3  |-  (. A  e.  B  ->.  [_ A  /  x ]_ ( C  i^i  D
)  =  { y  |  ( y  e. 
[_ A  /  x ]_ C  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ D ) } ).
33 df-in 3172 . . 3  |-  ( [_ A  /  x ]_ C  i^i  [_ A  /  x ]_ D )  =  {
y  |  ( y  e.  [_ A  /  x ]_ C  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ D ) }
34 eqeq2 2305 . . . 4  |-  ( (
[_ A  /  x ]_ C  i^i  [_ A  /  x ]_ D )  =  { y  |  ( y  e.  [_ A  /  x ]_ C  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ D ) }  ->  ( [_ A  /  x ]_ ( C  i^i  D )  =  ( [_ A  /  x ]_ C  i^i  [_ A  /  x ]_ D )  <->  [_ A  /  x ]_ ( C  i^i  D
)  =  { y  |  ( y  e. 
[_ A  /  x ]_ C  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ D ) } ) )
3534biimprcd 216 . . 3  |-  ( [_ A  /  x ]_ ( C  i^i  D )  =  { y  |  ( y  e.  [_ A  /  x ]_ C  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ D ) }  ->  ( ( [_ A  /  x ]_ C  i^i  [_ A  /  x ]_ D )  =  {
y  |  ( y  e.  [_ A  /  x ]_ C  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ D ) }  ->  [_ A  /  x ]_ ( C  i^i  D )  =  ( [_ A  /  x ]_ C  i^i  [_ A  /  x ]_ D ) ) )
3632, 33, 35e10 28772 . 2  |-  (. A  e.  B  ->.  [_ A  /  x ]_ ( C  i^i  D
)  =  ( [_ A  /  x ]_ C  i^i  [_ A  /  x ]_ D ) ).
3736in1 28638 1  |-  ( A  e.  B  ->  [_ A  /  x ]_ ( C  i^i  D )  =  ( [_ A  /  x ]_ C  i^i  [_ A  /  x ]_ D ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   A.wal 1530    = wceq 1632    e. wcel 1696   {cab 2282   [.wsbc 3004   [_csb 3094    i^i cin 3164
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-in 3172  df-vd1 28637
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