Theorem csboprg 3986

Description: Move class substitution in and out of an operation.

Assertion

Ref	Expression
csboprg	|- (A e. D -> [_A / x]_(BFC) = ([_A / x]_B[_A / x]_F[_A / x]_C))

Proof of Theorem csboprg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-17 971	. . . 4 |- (A e. D -> A.y A e. D)
2		ax-17 971	. . . . 5 |- (z e. A -> A.y z e. A)
3	2	hbcsb1g 2024	. . . 4 |- (A e. D -> (z e. [_A / y]_[_y / x]_B -> A.y z e. [_A / y]_[_y / x]_B))
4	2	hbcsb1g 2024	. . . 4 |- (A e. D -> (z e. [_A / y]_[_y / x]_F -> A.y z e. [_A / y]_[_y / x]_F))
5	2	hbcsb1g 2024	. . . 4 |- (A e. D -> (z e. [_A / y]_[_y / x]_C -> A.y z e. [_A / y]_[_y / x]_C))
6	1, 3, 4, 5	hboprd 3982	. . 3 |- (A e. D -> (z e. ([_A / y]_[_y / x]_B[_A / y]_[_y / x]_F[_A / y]_[_y / x]_C) -> A.y z e. ([_A / y]_[_y / x]_B[_A / y]_[_y / x]_F[_A / y]_[_y / x]_C)))
7		a9e 1125	. . . . . 6 |- E.x x = y
8		visset 1813	. . . . . . . . 9 |- y e. V
9		ax-17 971	. . . . . . . . 9 |- (z e. y -> A.x z e. y)
10	8, 9	hbcsb1 2025	. . . . . . . 8 |- (z e. [_y / x]_(BFC) -> A.x z e. [_y / x]_(BFC))
11	8, 9	hbcsb1 2025	. . . . . . . . 9 |- (z e. [_y / x]_B -> A.x z e. [_y / x]_B)
12	8, 9	hbcsb1 2025	. . . . . . . . 9 |- (z e. [_y / x]_F -> A.x z e. [_y / x]_F)
13	8, 9	hbcsb1 2025	. . . . . . . . 9 |- (z e. [_y / x]_C -> A.x z e. [_y / x]_C)
14	11, 12, 13	hbopr 3981	. . . . . . . 8 |- (z e. ([_y / x]_B[_y / x]_F[_y / x]_C) -> A.x z e. ([_y / x]_B[_y / x]_F[_y / x]_C))
15	10, 14	hbeq 1565	. . . . . . 7 |- ([_y / x]_(BFC) = ([_y / x]_B[_y / x]_F[_y / x]_C) -> A.x[_y / x]_(BFC) = ([_y / x]_B[_y / x]_F[_y / x]_C))
16		csbeq1a 2006	. . . . . . . . 9 |- (x = y -> B = [_y / x]_B)
17		csbeq1a 2006	. . . . . . . . 9 |- (x = y -> C = [_y / x]_C)
18	16, 17	opreq12d 3978	. . . . . . . 8 |- (x = y -> (BFC) = ([_y / x]_BF[_y / x]_C))
19		csbeq1a 2006	. . . . . . . 8 |- (x = y -> (BFC) = [_y / x]_(BFC))
20		csbeq1a 2006	. . . . . . . . 9 |- (x = y -> F = [_y / x]_F)
21	20	opreqd 3977	. . . . . . . 8 |- (x = y -> ([_y / x]_BF[_y / x]_C) = ([_y / x]_B[_y / x]_F[_y / x]_C))
22	18, 19, 21	3eqtr3d 1515	. . . . . . 7 |- (x = y -> [_y / x]_(BFC) = ([_y / x]_B[_y / x]_F[_y / x]_C))
23	15, 22	19.23ai 1064	. . . . . 6 |- (E.x x = y -> [_y / x]_(BFC) = ([_y / x]_B[_y / x]_F[_y / x]_C))
24	7, 23	ax-mp 7	. . . . 5 |- [_y / x]_(BFC) = ([_y / x]_B[_y / x]_F[_y / x]_C)
25	24	a1i 8	. . . 4 |- (y = A -> [_y / x]_(BFC) = ([_y / x]_B[_y / x]_F[_y / x]_C))
26		csbeq1a 2006	. . . . 5 |- (y = A -> [_y / x]_B = [_A / y]_[_y / x]_B)
27		csbeq1a 2006	. . . . 5 |- (y = A -> [_y / x]_C = [_A / y]_[_y / x]_C)
28	26, 27	opreq12d 3978	. . . 4 |- (y = A -> ([_y / x]_B[_y / x]_F[_y / x]_C) = ([_A / y]_[_y / x]_B[_y / x]_F[_A / y]_[_y / x]_C))
29		csbeq1a 2006	. . . . 5 |- (y = A -> [_y / x]_F = [_A / y]_[_y / x]_F)
30	29	opreqd 3977	. . . 4 |- (y = A -> ([_A / y]_[_y / x]_B[_y / x]_F[_A / y]_[_y / x]_C) = ([_A / y]_[_y / x]_B[_A / y]_[_y / x]_F[_A / y]_[_y / x]_C))
31	25, 28, 30	3eqtrd 1511	. . 3 |- (y = A -> [_y / x]_(BFC) = ([_A / y]_[_y / x]_B[_A / y]_[_y / x]_F[_A / y]_[_y / x]_C))
32	6, 31	csbiegf 2031	. 2 |- (A e. D -> [_A / y]_[_y / x]_(BFC) = ([_A / y]_[_y / x]_B[_A / y]_[_y / x]_F[_A / y]_[_y / x]_C))
33		csbcog 2007	. 2 |- (A e. D -> [_A / y]_[_y / x]_(BFC) = [_A / x]_(BFC))
34		csbcog 2007	. . . 4 |- (A e. D -> [_A / y]_[_y / x]_B = [_A / x]_B)
35		csbcog 2007	. . . 4 |- (A e. D -> [_A / y]_[_y / x]_C = [_A / x]_C)
36	34, 35	opreq12d 3978	. . 3 |- (A e. D -> ([_A / y]_[_y / x]_B[_A / y]_[_y / x]_F[_A / y]_[_y / x]_C) = ([_A / x]_B[_A / y]_[_y / x]_F[_A / x]_C))
37		csbcog 2007	. . . 4 |- (A e. D -> [_A / y]_[_y / x]_F = [_A / x]_F)
38	37	opreqd 3977	. . 3 |- (A e. D -> ([_A / x]_B[_A / y]_[_y / x]_F[_A / x]_C) = ([_A / x]_B[_A / x]_F[_A / x]_C))
39	36, 38	eqtrd 1507	. 2 |- (A e. D -> ([_A / y]_[_y / x]_B[_A / y]_[_y / x]_F[_A / y]_[_y / x]_C) = ([_A / x]_B[_A / x]_F[_A / x]_C))
40	32, 33, 39	3eqtr3d 1515	1 |- (A e. D -> [_A / x]_(BFC) = ([_A / x]_B[_A / x]_F[_A / x]_C))

Syntax hints:   -> wi 3   = wceq 956   e. wcel 958  E.wex 980  [_csb 2001  (class class class)co 3963

This theorem is referenced by:  csbopr12g 3987

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-rex 1650  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-xp 3184  df-cnv 3186  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fv 3198  df-opr 3965

Copyright terms: Public domain